LA TRASFORMATA DI LAPLACE risposta libera e forzata
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LA TRASFORMATA DI LAPLACE risposta libera e forzata
LA TRASFORMATA DI LAPLACE I sistemi dinamici invarianti e lineari (e tali sono le reti elettriche) possono essere studiati , nel dominio del tempo, attraverso le equazioni differenziali nelle quali l'incognita non è un numero reale, come nelle equazioni algebriche, bensì una funzione del tempo. e(t) Ad esempio la condizione d’equilibrio (legge generalizzata di Ohm) per una rete elettrica costituita dalla serie di un condensatore di capacità C ed una resistenza di valore R, alimentata da un generatore di tensione qualsiasi avente f.e.m. e(t), si scrive: che costituisce appunto una equazione differenziale dove l’incognita è vc(t), ovvero una funzione del tempo (che oltretutto dipende anche dal valore che nell’istante iniziale aveva la tensione ai capi del condensatore vc(0¯), ovvero che dipende dalle condizioni iniziali). Lo studio analitico di una simile equazione sarà visto nel corso di matematica ove si impareranno le regole per la risoluzione delle equazioni differenziali. Lo studio dei transitori, tuttavia, diventa più agevole, pur restando rigoroso, se si trasferisce il calcolo dal campo reale, ove le variabili sono funzione del tempo t , al campo complesso, ove le variabili sono funzione di s = s + j w ed s è chiamata frequenza complessa. Tale operazione avviene mediante la trasformazione di Laplace L: dove deve essere f(t)=0 per t<0 , f(t) definita per ogni t ³ 0 , f(t) soddisfacente alle condizioni di Dirichlet in ogni intervallo finito di tempo (ovvero presentare un numero finito di discontinuità, oscillare tra un valore massimo e minimo un numero finito di volte, assumere solamente valori finiti). Tali condizioni sono, almeno nelle applicazioni che ci interessano, sempre soddisfatte. E' possibile anche la antitrasformazione L -1 ossia il passaggio dalla F(s) alla f(t): Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra le funzioni f(t) trasformabili secondo Laplace e le loro trasformate F(s). Nei casi più comuni non è necessario calcolare l'integrale ma è sufficiente consultare la tabella riportata nelle pagine seguenti. Le regole fondamentali di trasformazione, utilizzate nelle applicazioni che ci interessano, sono le seguenti: 1) La trasformata di Laplace del prodotto di una costante K per la funzione f(t) è data dal prodotto fra la costante stessa e la trasformata F(s) della f(t): L[ K·f(t) ] = K·F(s) 2) La trasformata della derivata di una funzione f(t) è data dalla trasformata F(s) della funzione moltiplicata per s e diminuita del valore f(0-) che la funzione assume all'istante t = 0- (condizioni iniziali); in detto enunciato è anche riassunto il cosiddetto teorema della trasformata della derivata generalizzata: 3) La trasformata dell'integrale di una funzione f(t) corrisponde alla F(s) divisa per s: dove, nei casi pratici, l’integrale scritto a secondo membro altro non è che la grandezza f(t)·t calcolata nell’istante iniziale. 4) Teorema del valore iniziale: il valore assunto dalla funzione f(t) all'istante t=0 si ottiene moltiplicando s per la trasformata della funzione stessa e calcolandone successivamente il limite per s tendente all'infinito: 5) Teorema del valore finale: il valore assunto dalla funzione f(t) quando t tende a infinito si ottiene moltiplicando s per la trasformata della funzione stessa e calcolandone successivamente il limite per s che tende a 0. Questo teorema vale solo se il denominatore della s·F(s) ha radici tutte a parte reale minore di zero. Questi due teoremi consentono di valutare rispettivamente il valore iniziale e quello finale (condizione di regime statico) della grandezza assoggettata ad un fenomeno transitorio, nota che sia latrasformata della grandezza stessa. 6) La trasformata della somma di due funzioni f1(t) e f2(t) è data dalla somma delle trasformate delle due funzioni (la stessa regola vale anche per le antitrasformate): L [ f1(t) + f2(t) ] = F1(s) + F2(s) 7) Teorema della moltiplicazione per t: 8) Teorema della traslazione in s: Ovvero una traslazione a nel dominio della variabile s corrisponde nel tempo a moltiplicare per la quantità e-a·t . 9) Teorema della traslazione nel tempo: Ovvero una traslazione t nel dominio del tempo corrisponde a moltiplicare per il termine e-s·t nel dominio della s. Il grande vantaggio di condurre l'analisi del transitorio nel dominio della frequenza complessa consiste nel fatto che la trasformazione di Laplace consente di ricondurre operazioni con derivate ed integrali ad operazioni algebriche ovvero di ricondurre equazioni differenziali ad equazioni algebriche. Quindi, in linea del tutto generale, possiamo concludere che assegnata una qualsiasi equazione differenziale, purché siano rispettate le condizioni sopra richiamate, è possibile mediante la trasformata di Laplace passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza complessa, risolvere algebricamente l’equazione in s così ottenuta, ed infine antitrasformare per avere la soluzione nel dominio del tempo. Risposta libera e risposta forzata di un sistema lineare Abbiamo in precedenza ricavato vi = RC dvc + vc nel dominio del tempo t dt Ora trasformo con Laplace L applicando i teoremi e le proprietà : Vi = RC ( sVc − vc (0 − ) + Vc nel dominio di s Notiamo che l’uscita Vc(s) dipende sia dall’ingresso Vi che dalla condizione iniziale vc(0). Ricavo la risposta libera ossia l’uscita che dipende dalle sole condizioni iniziali con ingresso nullo Vi=0. 0 = RC ( sVc − vc (0 − ) + Vc − 0 = sRCVc − RCvc (0 ) + Vc ed infine V lib c RCvc (0 − ) = 1 + RCs risposta libera Ricavo la risposta forzata ossia l’uscita che dipende dal solo ingresso e condizioni iniziali vc(0-)=0. Vi = RCsVc + Vc ed infine V for c = Vi . risposta forzata 1 + RCs Applicando la sovrapposizione si ha che la risposta totale è la somma della risposta libera e di quella forzata: Vc = RCvc (0 − ) Vi + . 1 + RCs 1 + RCs Esercizio Analizzare un circuito RL e ricavare la risposta libera e forzata nel dominio di s relativa alla corrente imposta da un generatore di tensione in ingresso vi. Relazioni costitutive componente Relazione costitutiva Con condizione iniziale In s trasformando si ha capacità V = v (0 − ) + I = sCV Xc = 1 sC I = i (0 − ) + induttanza I sC In s trasformando si ha V = sLI X L = sL v(t ) = Ri (t ) In s trasformando si ha V = RI resistenza In pratica rispetto le reattanze in alternata al posto di jω si sostituisce s. Tutte le leggi dell’elettrotecnica continuano a valere nel dominio trasformato. V sL Il serbatoio termico Per un corpo dotato di capacità termica CTh esiste la seguente relazione fra quantità di calore Q accumulata e temperatura assoluta T raggiunta: Q = CTh · T La capacità termica è una grandezza fisica che si misura in Watt · secondo/°C [W · s/°C]. Pertanto, la legge che lega le variazioni di quantità di calore alle variazioni di temperatura è data da: ΔQ = CTh · ΔT Dividendo entrambi i membri per l'intervallo di tempo in cui tali variazioni avvengono, facendo tendere a zero tale intervallo e sostituendo gli incrementi finiti con gli infinitesimi, si ottiene il modello matematico di un serbatoio termico: dQ/dt = CTh · dT/dt Questa formula mette in relazione la potenza accumulata (o ceduta) ad un certo istante dal sebatoio termico con la velocità di variazione della sua temperatura. La trasmissione termica Se l’interno e l’esterno di un corpo sono poste rispettivamente a temperatura T e Ta, al suo interno si stabilisce un flusso di calore, dall'estremità più calda verso quello più fredda, dato da: dQ/dt = (1/RTh) (T - Ta) Il flusso di calore rappresenta la quantità di energia che attraversa il corpo nell'unità di tempo e si misura in Watt [W]. La resistenza termica è un parametro che dipende dal tipo di materiale che costituisce il corpo, dalla sua forma e dalle sue dimensioni. Si misura in °C/Watt [°C/W]. Per calcolare, ad esempio, la resistenza termica di un cavo di superficie A e coefficiente globale i trasmissione termica λ, si deve utilizzare la formula seguente: RTh = 1/λA Il modello complessivo Per ottenere il modello complessivo di un sistema termico bisogna impostare la cosiddetta equazione delbilancio energetico: Tradotta in formule, diventa: CTh · dT/dt + (1/RTh) [ T - Ta] = P (t) T e Ta sono rispettivamente la temperatura interna del sistema e la temperatura esterna (ambiente). Se assumiamo che la temperatura ambiente abbia valore costante, sfruttando una nota proprietà delle derivate che pone: d [ T - Ta]/dt = dT/dt si ottiene : CTh · d [ T - Ta]/dt + (1/RTh) [ T (t) - Ta] = P (t) Sostituendo θ (t) = T (t) - Ta : CTh · dθ/dt + (1/RTh) θ (t) = P (t) Moltiplicando tutto per RTh : RTh CTh · dθ/dt + θ (t) = RTh · P (t) Sostituendo la costante di tempo τ definita come τ = RTh CTh , si ottiene infine: τ · dθ/dt + θ (t) = RTh · P (t) Questa equazione costituisce il modello matematico di un sistema termico e risulta analoga all’equazione già vista di un sistema RC elettrico. Sistema elettrico RL. E (t ) = vr + vL e ricordando che vr = Ri vL = L di dt si ottiene di nuovo un’equazione differenziale del primo ordine: di E (t ) L di =i+ ⇒ dove la τ=L/R. dt R R dt E (t ) = Ri + L Soluzione generale dei sistemi del primo ordine al gradino. − y (t ) = Yin ⋅ e t τ − + Y fin − Y fin ⋅ e t τ Dove Yin è il valore iniziale del transitorio e Yfin è quello finale.