Mediterranean Storms - Università di Trento

XXXII Convegno Nazionale di Idraulica e Costruzioni Idrauliche
Palermo, 14-17 settembre 2010
EQUILIBRIO MORFOLOGICO DEI CANALI
NEI BASSIFONDI LAGUNARI
M. Toffolon1, S. Lanzoni2
(1) Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Università di Trento, Italia, e-mail:
[email protected]
(2) Dipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima, Ambientale e Geotecnica, Università di
Padova, Italia, e-mail: [email protected]
SOMMARIO
La memoria tratta della configurazione di equilibrio dei canali che innervano i
bassifondi di una laguna costiera. Il profilo longitudinale di tali canali è studiato in
un contesto monodimensionale semplificato, che consente di ottenere una soluzione
puramente analitica in funzione di una coordinata longitudinale modificata in modo
tale da tenere implicitamente conto della convergenza del canale e della presenza
dei bassifondi laterali. L'analisi dimensionale delle equazioni del moto mostra che i
termini di inerzia e attrito possono essere in prima approssimazione trascurati,
producendo una propagazione quasi-statica della marea. Il profilo del fondo risulta
simile sia nel caso in cui si imponga una condizione di equilibrio basata sugli
scambi residui con il fondo, sia in quello in cui venga assegnata la velocità
massima. La trattazione teorica perseguita rende altresì possibile individuare le
scale caratteristiche del problema e alcune relazioni morfologiche, che possono
essere ragionevolmente applicate in un contesto come quello della laguna di
Venezia.
1
INTRODUZIONE
Il problema di determinare le caratteristiche morfologiche dei canali a marea
continua a ricevere un’attenzione considerevole (de Swart and Zimmermann, 2009) e ha
visto negli ultimi anni lo sviluppo di due approcci complementari: il primo è basato su
soluzioni semplificate delle equazioni di conservazione della massa, della quantità di
moto e del bilancio di sedimenti, in grado di catturare gli elementi più importanti del
sistema dal punto di vista idrodinamico (Friedrichs and Aubrey, 1994; Lanzoni and
Seminara, 1998; Savenije et al., 2008) e morfodinamico (Friedrichs and Aubrey, 1996;
Schuttelaars and de Swart, 2000; Prandle, 2003; Seminara et al., 2010); il secondo,
sfrutta le sempre crescenti capacità di calcolo, risolvendo numericamente le equazioni
complete al fine di analizzare gli effetti delle varie non-linearità presenti in questo tipo
di problemi, difficilmente sintetizzabili attraverso una trattazione puramente analitica
(Lanzoni and Seminara, 2002; Pritchard et al., 2002; Tambroni et al., 2005; Todeschini
et al., 2008).
In questa memoria si propone uno schema semplificato delle condizioni di equilibrio
morfodinamico, che consente di ottenere una relazione sintetica per l’assetto del fondo
M. Toffolon, S. Lanzoni
di canali a marea la cui lunghezza sia corta rispetto alla lunghezza d’onda della marea,
una condizione tipica all’interno di molte lagune. La derivazione di una soluzione
completamente analitica richiede ovviamente molte semplificazioni, ma consente d’altra
parte di individuare alcune caratteristiche fondamentali che altrimenti sarebbe difficile
esplicitare ricorrendo a una descrizione più dettagliata del processo.
Si possono in generale individuare due tipologie di canali lagunari (Ashely and Zeff,
1988): canali che innervano le barene, la cui porzione più interna rimane asciutta
durante la bassa marea, e canali che drenano i bassifondi e rimangono quindi
costantemente bagnati durante tutte le fasi del ciclo di marea. Una soluzione per il
profilo di equilibrio del primo tipo di canali è stata recentemente ottenuta da Seminara
et al. (2010) utilizzando un approccio perturbativo che ha permesso di armonizzare la
soluzione esterna (valida per profondità maggiori dell’ampiezza della marea) con quella
interna (valida per la zona di bagnasciuga).
Figura 1. Caratteristiche morfologiche di alcuni canali a marea che drenano i bassifondi della
parte settentrionale della laguna di Venezia: (a) localizzazione; (b) andamento del fondo η(s) in
funzione della coordinata s misurata lungo la linea d’asse, partendo dalla testa del canale; (c)
distribuzione della larghezza B(s) ed interpolazione esponenziale della stessa (linea continua).
In questa sede viene studiata la seconda tipologia di canali, caratterizzati da una
condizione di flusso nullo in una sezione fissata alla testa degli stessi, prossima cioè al
partiacque del sottobacino di pertinenza del canale. Alcuni canali di questo tipo sono
illustrati in Figura 1a, con riferimento alla porzione della laguna di Venezia, quella
settentrionale, meno soggetta a pressioni antropiche. Il profilo longitudinale di questi
canali (Figura 1b) presenta una profondità che decresce verso terra, a meno di
Equilibrio morfologico di canali lagunari
oscillazioni anche rilevanti dovute alla presenza di curve e confluenze con altri canali,
mentre l’andamento della larghezza può essere ragionevolmente descritto da una
funzione esponenziale (Figura 1c).
2
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA
Il campo di moto semplificato necessario per ottenere analiticamente il profilo di
equilibrio del fondo è ottenuto a partire dalle usuali equazioni di De Saint Venant, che
esprimono la conservazione della massa e la variazione della quantità di moto in una
formulazione monodimensionale. Trascurando l'effetto della stratificazione e l’azione
del vento, il moto nei canali può essere descritto utilizzando la velocità media sulla
sezione U* (un asterisco indica variabili dimensionali), la quota della superficie libera
H*, la profondità media D*, la quota del fondo *, la larghezza del canale B* e la
larghezza BT* dei bassifondi laterali ad esso adiacenti, che svolgono principalmente una
funzione di accumulo del volume d’acqua scambiato con il canale durante il ciclo di
marea.
La condizione di equilibrio è analizzata esprimendo i termini di erosione e deposito
che compaiono nell'equazione del bilancio dei sedimenti tramite una versione
semplificata della classica relazione di Partheniades-Krone (e.g., D’Alpaos et al., 2006):
la tensione di soglia per il deposito, di difficile definizione (Winterwerp, 2006), è
ipotizzata uguale a quella per l’erosione, ed è individuata dalla velocità critica Uc* per
l'erosione dei sedimenti; anche l’effetto diretto della concentrazione sul processo di
sedimentazione è trascurato, introducendo un’unica constante di proporzionalità
identica per il deposito e l'erosione.
In termini di variabili adimensionali, le equazioni di continuità, della quantità di
moto e del bilancio dei sedimenti, mediata sul ciclo di marea, porgono
U  H

 U
U
 0 ,

x  x
D
 t

rs B
(1)
H BUD

0 ,
t
x

t
(2)
 U 2 1 ,
(3)
dove <...> rappresenta l'operazione di media sul ciclo di marea. Inoltre, ricordando che
un asterisco indica le variabili dimensionali,
t  t* *,
[ x, B, H , D, ]  [
rs 
BT*
B
*
,
x * * B * H * D *  *
,
,
,
, ],
U c* Bm* a * a * a *

U c*2
ga
*
,
 Cf
U
U*
,
U c*
U c*3
.
g a *2  *

*
, (4a)
 C f U c*2
(4b)
Si noti come le grandezze fondamentali utilizzate per normalizzare le varie quantità
coinvolgano, oltre all'accelerazione di gravità g, solo scale esterne, non dipendenti dal
processo morfodinamico (Toffolon et al., 2006), ovvero l’inverso della frequenza
M. Toffolon, S. Lanzoni
angolare * e l’ampiezza a* dell’onda di marea alla bocca, la velocità critica Uc*, la
larghezza del canale alla bocca Bm*. I parametri adimensionali rs,  e  tengono conto,
rispettivamente, degli effetti di immagazzinamento dei bassifondi adiacenti al canale,
dell’inerzia e dell’attrito.
Le condizioni al contorno associate alle (1)-(3) sono date dall'oscillazione della
marea alla bocca, assunta in prima approssimazione puramente sinusoidale, e la
condizione di flusso nullo alla testa del canale (x=0), data la sua vicinanze al partiacque
del sottobacino di pertinenza del canale.
I piccoli valori tipicamente assunti dai parametri  e , approssimativamente 5·10-3
e 4·10-2 nei canali considerati della laguna di Venezia, consentono di trascurare i termini
inerziali e d'attrito nell'equazione della quantità di moto. Ne consegue che la marea
tende a propagarsi quasi staticamente e, tenendo conto della (2),
U 

H ,
H   t
(5)
dove la coordinata longitudinale modificata

1 x
rs B dx  ,
B 0
(6)
consente di esprimere la distribuzione della velocità all'interno del canale in una forma
del tutto generale, indipendente dall’effettivo andamento della larghezza.
3
RISULTATI
L'equazione (3) del bilancio di sedimenti medio sul ciclo di marea indica che,
nell'ambito delle ipotesi semplificative introdotte per descrivere i processi di
erosione/deposito, la condizione di equilibrio è strettamente legata alla media sul ciclo
del quadrato della velocità.
Nell'ipotesi di marea puramente sinusoidale, H  cos t  , tenendo conto della (5) e
imponendo la condizione di equilibrio   t  0 nell’equazione di evoluzione (3),
l’assetto di equilibrio del fondo risulta caratterizzato da <U2>=1 e porge

1  2
1  2
.
(6)
2
È importante osservare come tale soluzione, essendo espressa in termini della variabile
longitudinale modificata ξ, risulta univocamente definita per qualsiasi andamento della
larghezza del canale e geometria delle zone di bassofondo adiacenti al canale. Nel caso
in cui (cfr. Figura 1c) la variazione della larghezza sia approssimabile con un
andamento esponenziale del tipo B  exp x  L Lb  , la coordinata modificata risulta
  rs Lb 1  exp  x Lb  , essendo L la lunghezza del canale e Lb la lunghezza di
convergenza, entrambe scalate con la lunghezza intrinseca Uc*/ω*.
Equilibrio morfologico di canali lagunari
Figura 2. Esempi di configurazioni di equilibrio del fondo espresso in funzione della coordinata
fisica x, al variare della lunghezza di convergenza adimensionale Lb e per rs = 1.
Il profilo del fondo espresso nella coordinata naturale x dipende ovviamente sia dal
grado di convergenza del canale sia dalla geometria dei bassifondi. Come illustrato in
Figura 2, tale profilo mostra invariabilmente una concavità verso il basso nella zona
vicina alla testa del canale; la porzione di canale verso la bocca ha invece un andamento
lineare nel caso di larghezza costante, mentre assume una concavità verso l’alto
all’aumentare del grado di convergenza, fino a diventare quasi orizzontale per canali
fortemente convergenti.
La condizione di equilibrio può anche essere definita in forma più restrittiva, in
termini del massimo della velocità (e.g., Seminara et al., 2010), ovvero imponendo che
il trasporto di sedimenti sia nullo ad ogni istante del ciclo di marea. Tale condizione può
tuttavia essere generalizzata al fine di tenere conto del trasporto residuo associato
all'evoluzione di lungo termine del canale, assumendo una velocità massima pari a k U c
, dove la costante di proporzionalità k dipende dalla quantità di sedimenti
importati/esportati dal canale nel lungo termine. Assumendo che la massima velocità sia
uguale al massimo di una funzione sinuosidale con media quadratica Uc, si ha k  2 e
l’assetto del fondo di equilibrio diventa
   1
2 .
(7)
2
Come si evince chiaramente dalla Figura 3, tale soluzione coincide con la (6) per valori
di  sufficientemente grandi, e solo piccole differenze sono presenti nella regione a
quote più elevate del canale.
M. Toffolon, S. Lanzoni
Figura 3. Confronto tra i profili del fondo adimensionali espressi in funzione della coordinata
modifica ed ottenuti imponendo: i) una velocità quadratica media costante (eq. 6, linea
tratteggiata nera); ii) una velocità massima costante (eq. 7, linea continua rossa). La linea
punteggiata magenta rappresenta la soluzione lineare asintotica  2 mentre la linea
continua nera indica la soluzione ottenuta da Friedrichs and Aubrey (1996) per canali a larghezza
costante che drenano aree di barena che tendono a emergere durante l'alta marea, ed estesa da
Seminara et al. (2010) al caso di canali convergenti.
Per valori sufficientemente grandi di , la (6) e la (7) tendono entrambe alla
condizione asintotica  2 (Figura 3). È interessante osservare come tale
soluzione corrisponda alla soluzione esterna ottenuta da Friedrichs and Aubrey (1996)
per canali di larghezza costante che drenano aree di barena, e quindi tendenti a emergere
anche durante l'alta marea, e recentemente estesa da Seminara et al. (2010) al caso di
canali convergenti.
4
SCALE TIPICHE E CONFRONTO CON DATI DI CAMPO
Il fatto che, per valori sufficientemente grandi della variabile longitudinale modificata,
la configurazione di equilibrio del fondo tenda invariabilmente alla funzione lineare
    2 consente di determinare alcune utili relazioni tra le grandezze morfologiche.
È innanzitutto facile dimostrare che la pendenza di riferimento del canale (definita come
rapporto tra la profondità alla bocca e la lunghezza del canale), nel caso di variazione
esponenziale della larghezza, è
S
rs a * * 1  exp    ,
* 


2 Uc 

(8)
con   L* L*b rapporto tra lunghezza del canale e lunghezza di convergenza. Per canali
Equilibrio morfologico di canali lagunari
poco convergenti (o a larghezza costante),   0 e la profondità dipende linearmente
dalla lunghezza del canale. Per canali molto convergenti, invece,    e la profondità
alla bocca tende al valore asintotico
Dm* 
rs a * * * ,
Lb
*
2 Uc
(9)
che rappresenta quindi la profondità massima compatibile con una lunghezza di
*
*
convergenza Lb  L .
Rovesciando il punto di vista, è possibile ottenere una stima della lunghezza del
canale quando sia assegnata la profondità alla bocca (Seminara et al., 2010). In termini
adimensionali, tale lunghezza è data da


2
L   Lb ln 1 
Dm  .
 rs Lb

(10)
È inoltre possibile ottenere una relazione tra il prisma di marea P e la sezione
trasversale , calcolata con riferimento al medio mare. Infatti, dalle relazioni (4) e (5)
segue

x
o
0
P   U H   Bdt  2 B  2 rs Bdx ,
(11)
Tale relazione, con opportune manipolazioni, fornisce la seguente relazione
 
 *     k * P *

,
(12)
del tutto analoga alla classica legge di O’Brien-Jarrett-Marchi discussa da D’Alpaos et
al. (2009). In tale relazione    è una funzione che dipende dal profilo di equilibrio,
k* un coefficiente dimensionale funzione di ω*, g, B*, della velocità di attrito critica per
l'erosione dei sedimenti u*c e del coefficiente di resistenza al moto e γ un coefficiente
che dipende dalla relazione utilizzata per esprimere la resistenza al moto. Nel caso in
cui si adoperi la relazione di Manning-Strickler, si ottiene k *  ( * g 1 / 2 B *1 / 6 ) /( 2 k s u*c ) e
  6 7 , dove ks [m1/3s-1] è il coefficiente di scabrezza secondo Strickler.
Il confronto con i dati di campo relativi ai canali riportati in Figura 1 pone il problema
della corretta stima dei parametri che controllano il profilo di equilibrio quali la velocità
critica per l'erosione/deposito dei sedimenti, e il rapporto di immagazzinamento rs. Per
quanto riguarda la velocità critica, essa è stata posta pari a Uc*=0.17m/s, in base ai
valori delle velocità massime nei canali, compresi tra 0.15 e 0.22 m/s, risultanti dalle
simulazioni numeriche effettuate da D’Alpaos e Defina (2007). Più difficile appare la
scelta di rs, dati l'andamento in genere non rettilineo dei canali, la presenza di
confluenze e, in taluni casi, di fasce di barene a ridosso dei bordi del canale. I profili di
equilibrio illustrati in Figura 4 sono pertanto stati determinati utilizzando un valore di
BT* costante, sebbene diverso per ogni canale. Il confronto tra profili osservati e profili
calcolati appare più che soddisfacente, tenuto conto delle ipotesi semplificative
utilizzate nella trattazione teorica e delle incertezze insite nella stima dei vari parametri.
M. Toffolon, S. Lanzoni
Figura 4. Confronto tra i profili del fondo osservati (cerchi) e quelli calcolati utilizzando il
profilo teorico (linea continua).
5
CONCLUSIONI
Il carattere quasi statico della propagazione dell'onda di marea all'interno delle
lagune costiere, connesso ai valori decisamente modesti assunti dal rapporto tra la
lunghezza tipica dei canali lagunari e quella dell'onda di marea, associato ad alcune
semplificazioni nella formulazione della legge che controlla il bilancio tra erosione e
deposito, hanno consentito di ottenere una espressione analitica del profilo di equilibrio
dei canali a marea che drenano i bassifondi lagunari.
In particolare, l’andamento della quota del fondo è stato determinato trascurando in
prima approssimazione gli effetti associati all'inerzia, all'attrito e alla presenza di
armoniche superiori, e utilizzando una coordinata longitudinale modificata  Tale
coordinata consente di ottenere una espressione univoca del profilo di equilibrio, non
dipendente dal grado di convergenza, dalla conformazione planimetrica dei bassifondi
laterali e dalla lunghezza del canale stesso. In altre parole, tale profilo rappresenta
implicitamente tutte le possibili configurazioni di equilibrio compatibili con l’ipotesi di
Equilibrio morfologico di canali lagunari
canale corto. Ciascuna configurazione può essere d'altra parte particolarizzata
esprimendo il profilo in funzione della usuale coordinata longitudinale x.
La forma del profilo non varia significativamente imponendo come condizione di
equilibrio che il bilancio locale tra erosione e deposito dia un contributo residuo nullo
(equazione 6), oppure che la velocità massima si mantenga costante (equazione 7).
Entrambi i profili tendono alla medesima configurazione asintotica per valori di 
sufficientemente elevati, suggerendo quindi l’esistenza di relazioni tipiche tra le scale
morfologiche del problema (profondità alla bocca, lunghezza del canale, pendenza di
riferimento, grado di convergenza, ampiezza di marea). La configurazione di equilibrio
assicura inoltre la verifica della legge di O’Brien-Jarrett-Marchi lungo tutto il canale.
La somiglianza tra i profili (6) e (7) è strettamente legata alla dipendenza non lineare
della portata solida dalla velocità, che amplifica il ruolo delle massime velocità di flusso
e riflusso nel determinare l'entità del trasporto solido residuo. Se, come tipicamente
avviene nei canali lagunari, l’onda di marea è solo debolmente distorta e i due picchi di
velocità sono simili, la condizione sulla velocità massima è praticamente equivalente a
quella che prevede l'annullamento del flusso residuo di sedimenti. D’altra parte, la
tendenza verso un andamento simmetrico del campo di moto e della portata solida totale
è tipica dell’evoluzione a lungo termine di canali a marea, anche relativamente lunghi,
risultante dalla soluzione numerica delle equazioni complete (Lanzoni e Seminara,
2002; Todeschini et al., 2008).
Malgrado la soluzione analitica proposta riproduca ragionevolmente la morfologia
dei canali reali, diverse questioni meritano ulteriori approfondimenti, in primo luogo
quella associata alla definizione della forma della sezione di equilibrio e, quindi, della
relazione tra profilo del fondo e andamento della larghezza del canale.
Ringraziamenti. Questo lavoro si inserisce nel contesto del progetto PRIN 2008
“Eco-morfodinamica di ambienti a marea e cambiamenti climatici”.
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