Efficienza con due beni [NB: a lezione ho presentato un mondo con

Efficienza con due beni
[NB: a lezione ho presentato un mondo con due soggetti, Primo e Secondo, e con due beni, Torta al
cioccolato e Torta al limone; nel testo sottostante, e in quelli successivi correlati a questo, si parla invece di
Rossi e Neri (anziché Primo e Secondo) e di Pane e Libri (anziché le due torte). Ma è ovvio che è solo un
problema di nomi, non di sostanza]
Dall’esempio della torta (tipicamente utilizzato per mostrare il mancato interesse del criterio di Pareto per i
problemi di equità) qualcuno potrebbe dedurre che sempre, nei casi in cui si debba distribuire qualcosa a
qualcuno, le situazioni efficienti siano tutte quelle esaustive. Questa deduzione, però, è errata quando si
consideri più di un bene da distribuire tra più individui. Consideriamo dunque una “società” formata da due
soggetti il cui problema è distribuirsi le quantità di due beni.
Supponiamo che la quantità complessivamente disponibile dei due beni considerati, pane e libri, sia data.
Supponiamo poi che la distribuzione dei due beni fra i due soggetti, i signori Rossi e Neri, sia esaustiva e
avvenga in modo casuale. Rossi e Neri, dunque, si trovano con una ricchezza iniziale costituita da quantità di
pane e libri, chiamate dotazioni iniziali. Siccome la distribuzione delle dotazioni iniziali è esaustiva non si
stanno verificando sprechi, ma non è detto che quella distribuzione sia efficiente.
Per capire il problema possiamo usare un grafico particolare, che è usualmente chiamato “diagramma a
scatola” e che è riportato nella Fig. 1. Gli assi orizzontali misurano la quantità complessiva di pane, OP,
mentre gli assi verticali misurano la quantità complessiva di libri, OL, dei quali possono disporre Rossi e
Neri. La quantità di pane della quale dispone Rossi è indicata, da sinistra verso destra, sull’asse orizzontale
inferiore, mentre la quantità di libri che egli possiede è indicata, dal basso verso l’alto, sull’asse verticale di
sinistra. Per esempio, il punto F indica che Rossi dispone della quantità OA di pane e della quantità OB di
libri. La quantità di pane della quale dispone Neri, invece, è indicata, da destra verso sinistra, sull’asse
orizzontale superiore, mentre la quantità di libri che egli possiede è indicata dall’alto verso il basso sull’asse
verticale di destra. Dunque, è come se la situazione di Neri fosse rappresentata su un grafico ruotato di 180
gradi rispetto all’usuale e avente origine in O’. Poiché la quantità di ciascun bene della quale dispone Neri è
uguale alla differenza tra la quantità totale disponibile e la quantità che ha Rossi, il punto F indica anche che
Neri ha la quantità O’C = OP – OA di pane e O’D = OL – OB di libri.
Figura 1
Un diagramma a scatola
Pane di Neri
C
L
N2
F
•
N1
D
Libri di Rossi
N3
Libri di Neri
B
0’
R3
R2
R1
A
0
P
Pane di Rossi
La lunghezza e l’altezza del grafico, dunque, misurano la quantità complessiva di pane e libri dei quali
dispone la società formata da Rossi e Neri, e ogni punto del grafico indica una possibile distribuzione
esaustiva, chiamata allocazione, di queste quantità dei due beni tra Rossi e Neri. Nel grafico, inoltre,
possiamo rappresentare anche le preferenze di Rossi e Neri, che sono indicate rispettivamente da curve di
indifferenza come la R1, R2 e R3 e da curve come la N1, N2 e N3. Poiché si suppone che non solo il pane, ma
anche i libri rappresentino un bene, queste curve hanno l’usuale forma delle curve di indifferenza che
esprimono le preferenze tra due beni. Dal punto di vista del consumatore al quale la curva si riferisce, infatti,
ogni curva di indifferenza è inclinata negativamente ed è convessa. Inoltre, sempre dal punto di vista del
consumatore al quale le curve si riferiscono, le curve di indifferenza più a destra e più in alto rappresentano
combinazioni di beni che assicurano una soddisfazione più alta: come ovvio, diremo che uno dei due sta
meglio (peggio) se, in seguito a qualche cambiamento, passa su una curva di indifferenza per lui superiore
(inferiore).
Proviamo ora a capire quali sono le allocazioni efficienti in questo mondo con due beni e due consumatori.
Consideriamo l’allocazione F riportata nella Fig. 2, che rappresenta le dotazioni iniziali di Rossi e Neri. Se
togliamo alcuni libri a Rossi per darli a Neri e togliamo un po’ di pane a Neri per darlo a Rossi, la nuova
allocazione che si ottiene può essere per esempio G. Tale nuova allocazione può essere attuata in due modi:
può esistere un soggetto esterno che si preoccupa di ridistribuire i due beni fra i due individui; oppure Rossi e
Neri possono farsi proposte reciproche di scambio dei due beni. Adotteremo questo secondo punto di vista,
anche se ai fini della ricerca delle allocazioni efficienti ciò non è essenziale: l’importante è che il passaggio
da una allocazione ad un’altra avvenga solo se entrambi non si oppongono, come afferma il criterio
paretiano. Si noti che gli scambi che i due fanno tra di loro non avvengono su qualche mercato, né le quantità
che essi possono scambiare dipendono da prezzi predefiniti: uno scambio avviene solo se nessuno dei due
peggiora la propria posizione in termini di soddisfazione.
Figura 2
Efficienza
Pane di Neri
C
0’
L
Libri di Rossi
N1
N2
N3
F
•
G
D
•
•
H
Libri di Neri
B
R3
R2
R1
0
A
Pane di Rossi
P
Come si vede, l’allocazione G della Fig. 2 comporta un miglioramento per entrambi i consumatori perché per
entrambi G si trova su una curva di indifferenza più alta rispetto a quella sulla quale si trova F. In generale,
tutte le allocazioni rappresentate da punti che appartengono all’area ombreggiata costituiscono un
miglioramento nel senso di Pareto rispetto a F. Allora, se esistono allocazioni che sono migliori di F nel
senso di Pareto, ne segue che F non può essere un’allocazione efficiente.
Le allocazioni che rappresentano un miglioramento rispetto a F, però, sono efficienti? Consideriamo, per
esempio, l’allocazione G. L’allocazione H rappresenta un miglioramento paretiano rispetto a G, perché per
entrambi i consumatori H si trova su una curva di indifferenza più alta. In generale, tutte le allocazioni che
appartengono all’area ombreggiata più chiara rappresentano un miglioramento paretiano rispetto a G.
Nemmeno G, dunque, è efficiente.
Ormai avete mangiato la foglia: prendete una qualsiasi allocazione X e tracciate le due curve di indifferenza
di Rossi e Neri che passano per quel punto: se le due curve si intersecano in modo da formare una “lente”,
allora esistono altre allocazioni, tutte quelle all’interno della lente appunto, in cui entrambi possono stare
meglio, e dunque l’allocazione X non è efficiente. Consideriamo, allora, l’allocazione H: le curve di
indifferenza di Rossi e Neri passanti per quel punto, R3 e N3, non formano più alcuna lente. Si può
facilmente verificare che qualsiasi ulteriore modificazione della distribuzione del pane e dei libri
comporterebbe un peggioramento per almeno un consumatore: questa allocazione dei beni è efficiente.
In generale, dunque, se per un’allocazione passano due curve di indifferenza di Rossi e Neri che non sono tra
loro tangenti, quella allocazione non è efficiente, perché procedendo come abbiamo fatto sopra potremo
sempre trovare altre allocazioni che rappresentano un miglioramento paretiano rispetto a quella considerata.
Se per un’allocazione, invece, passano due curve di indifferenza che sono tangenti, non potremo trovare altre
allocazioni che siano migliori nel senso di Pareto. Quindi, le allocazioni efficienti sono quelle in
corrispondenza delle quali due curve di indifferenza di Rossi e Neri sono tangenti. In un punto in cui le
curve di indifferenza si intersecano le loro inclinazioni sono diverse, mentre nel punto in cui sono tangenti le
loro inclinazioni sono uguali. Allora, poiché l’inclinazione di una curva di indifferenza è uguale al saggio
marginale di sostituzione (vedi Micro base), non sono efficienti le allocazioni dove i saggi marginali di
sostituzione dei consumatori sono diversi, mentre sono efficienti quelle dove i saggi marginali di sostituzione
dei due consumatori sono tra loro uguali.
Il principio appena enunciato può essere esposto in modo alternativo. Per ciascuno dei due partecipanti il
saggio marginale di sostituzione rappresenta il beneficio marginale del pane misurato in termini di quantità
di libri (vedi Micro base). Dunque il saggio marginale di sostituzione di Rossi misura la quantità massima di
libri che Rossi è disposto a cedere per ottenere una unità di pane, ovvero la quantità minima di libri che
pretende di ottenere per rinunciare ad una unità di pane: se riesce a scambiare pane e libri a termini per lui
migliori di questi, Rossi migliora la propria posizione. Lo stesso vale anche per Neri. Per esempio, il
passaggio dall’allocazione G alla H della Fig. 2 costituisce un miglioramento paretiano perché la
“inclinazione” dello spostamento è intermedia fra le inclinazioni delle due curve di indifferenza passanti per
G: i termini dello scambio che avviene nel passaggio da G a H, cioè, sono migliori dei saggi marginali di
sostituzione di Rossi e Neri, e dunque entrambi migliorano la propria posizione.
Dal punto di vista di Rossi, però, i termini minimi ai quali Neri è disposto ad effettuare scambi (il saggio
marginale di sostituzione di Neri) costituiscono un vincolo: Rossi deve accettare i termini che Neri ritiene
irrinunciabili per accettare una proposta di scambio, e non può scambiare con rapporti inferiori a quelli.
Dunque per Rossi il saggio marginale di sostituzione di Neri può essere visto come un costo marginale: non
può cedere meno libri di così per avere una unità di pane. Per esempio, sempre nella Fig. 2, Rossi non può
pretendere di spostarsi da G verso il basso e verso destra ma rimanendo nell’area ombreggiata più scura:
questo cambiamento certo farebbe stare meglio Rossi, ma Neri non accetterebbe tale scambio. Ne segue
allora che l’uguaglianza dei due saggi marginali di sostituzione, che si realizza in una allocazione efficiente,
può essere vista, dalla prospettiva di entrambi i partecipanti, come l’uguaglianza fra il loro beneficio
marginale e il loro costo marginale. Per l’ennesima volta incontriamo questo principio.