Esercitazione 3 maggio Esercizio 1 Scrivere una funzione matlab
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Esercitazione 3 maggio Esercizio 1 Scrivere una funzione matlab
Strumenti di Hedging e Risk Management (A.A. 2010/2011) Esercitazione 3 maggio Esercizio 1 Scrivere una funzione matlab che abbia come output M traiettorie del prezzo S di un titolo azionario, che evolve nel tempo secondo il moto brawniano geometrico. In particolare S deve essere la matrice dei prezzi in cui ogni colonna corrisponde ad una traiettoria. Esercizio 2 Usando il metodo monte carlo (si richiami la funzione scritta nell’esercitazione 1), 1. (a) si scriva una funzione matlab per calcolare il prezzo di una opzione asiatica il cui payo¤ alla scadenza T è T = max(S K; 0) dove S è la media aritmentica del prezzo del sottostante rilevato alle date discrete ti ; i = 1 : : : N con ti < T ; (b) dopo aver simulato M = 1000 traiettorie con N = 50 osservazioni giornaliere di un moto browniano geometrico con S0 = 100,r = 0 e = 0:2, si calcoli il prezzo della opzioni esotica sopra de…nita con K = 98, T = 50 giorni. (c) Determinare l’intervallo di …ducia al 95% per il prezzo ottenuto. Veri…care la riduzione dell’ampiezza di tale intervallo qualora si simulino M = 10000 traiettorie. Esercizio 3 Sia dato un mercato ideale in cui sia disponibile un titolo privo di rischio (che matura gli interessi in base ad un tasso istantaneo annuale r) e un titolo azionario S la cui dinamica, sotto la misura neutrale del rischio, è descritta da un moto Browniano Geometrico con parametri r e (modello Black and Scholes). Si consideri in tale mercato un titolo derivato con scadenza T il cui Payo¤ a scadenza é dato da T = ln(ST ). 1. Determinare la formula di valutazione di tale titolo al tempo t = 0 in base al principio di valutazione risk neutral e calcolare il prezzo corrispondente per S0 = 100; r = 5%; = 0:2 supponendo che la scadenza sia T = 6 mesi. 2. Calcolare esplicitamente il Delta del titolo e costruire la strategia di Delta hedging. Calcolare i valori delle quote al tempo t = 0 nell’esempio numerico del punto 1. 3. Calcolare esplicitamente il Gamma del titolo e costruire la strategia di Delta-Gamma hedging utilizzando una opzione Call Europea. 4. Scrivere una funzione Matlab che fornisca come output il prezzo, il Delta e il Gamma del derivato calcolato al punto precedente. 1