Analisi Matematica 1 - Corso di Laurea in Fisica. Esercizi per le

Analisi Matematica 1 - Corso di Laurea in Fisica.
Esercizi per le vacanze di Natale
1. Studiare l’andamento delle seguenti funzioni e tracciarne un diagramma qualitativo (insieme di definizione, limiti di f e f 0 alla frontiera di tale insieme, eventuali asintoti, crescere
e decrescere, eventuali estremanti)
a) f (x) =
√
3
b) f (x) = x6 − x5 − 2x4
x2 − x + 1
c) f (x) = 1 − x12 −
q
e) f (x) = x x−4
x+4
2
x4
d) f (x) = x3 log |x|
f ) f (x) =
g) f (x) = arctan x − log(1 + x2 )
i) f (x) = 1 + 2x +
1
Sh x
sin 2x
1+sin x ,
x ∈ (− π2 , 3π
2 )
h)f (x) = log x + log(cos x), x ∈ (− π2 , π2 )
l)f (x) = 2x + arctan x2x−1
√
3
n)f (x) = 2x + 1 + arctan x2
m) f (x) = 1 − e2x log |x|
—————————————————————————————————————————————2. Quale delle seguenti funzioni ammette almeno uno zero nell’intervallo (0, 2)?

x+1
se 0 < x ≤ 1



a) f (x) =
1


se 1 < x < 2
 −
(x − 1)2
b) f (x) = 12 + x(x − 2)
c) f (x) = x2 + log x
—————————————————————————————————————————————3. Stabilire per quali valori del parametro reale α è continua in R la seguente funzione

se x 6= 0
 |x|α cos x1
f (x) =

0
se x = 0
Per quali α è derivabile in R?
—————————————————————————————————————————————4. Calcolare la derivata prima e la derivata seconda della funzione inversa (esistente) di
y = x − arctan x.
—————————————————————————————————————————————5. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni
f (x) = xx
2 −1
1
f (x) = (cos x) x
6. Sia
f (x) =
x≥0
x<0
2 x sin x
a x2 + b x2 sin x1
Determinare i valori di a e b per i quali f è derivabile con continuità su R
—————————————————————————————————————————————7. Sia data la funzione f (x) = |x log x| e si consideri l’intervallo I = (0, e2 ). Allora
f (I) = . . . . . .
—————————————————————————————————————————————8. Sia:

 0
x log x
f (x) =
 2
x (1 + log x)
x=0
0 < x ≤ e1
1
e <x≤1
(a) f non è invertibile su [0,1] perché non è continua.
(b) f non è invertibile su [0,1] perché non è monotona.
(c) esiste la funzione inversa f −1 : [− e1 , 1] → [0, 1].
(d) f è continua ma non è invertibile.
—————————————————————————————————————————————9. Si consideri la funzione
√
f (x) =
x log x
ex − 1
x>0
x≤0
Allora
(a) f non è uniformemente continua perché non è continua in x = 0.
(b) f è uniformemente continua su R.
(c) f è uniformemente continua su (−∞, 0) ma non su (0, +∞).
(d) f è uniformemente continua su (0, +∞) ma non su (−∞, 0).
—————————————————————————————————————————————10. Si consideri la funzione
(
f (x) =
x2 −2x
x+1
sin x
x>0
x≤0
Allora
(a) f non è uniformemente continua perché non è continua in x = 0.
(b) f è uniformemente continua su R.
(c) f è uniformemente continua su (−∞, 0) ma non su (0, +∞).
(d) f è uniformemente continua su (0, +∞) ma non su (−∞, 0).
11. Sia f (x) = 2 arctan x −
x−1
x+1
i) Determinare dominio ed eventuali asintoti;
ii) Determinare intervalli di monotonia e eventuali punti di estremo;
iii) Tracciare un grafico qualitativo di f (x).
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12. Sia f (x) =
2+log x
3−log x
i) Determinare dominio ed eventuali asintoti
ii) Discutere l’invertibilità della funzione
iii) Tracciare un grafico qualitativo di f (x)
iv) Calcolare (f −1 )0 (2/3).
—————————————————————————————————————————————√
2|x|−1
13. Sia f (x) = 2x−1
i) Determinare dominio ed eventuali asintoti
ii) Determinare intervalli di monotonia e eventuali punti di estremo
iii) Determinare l’insieme immagine
iv) Tracciare un grafico qualitativo di f (x).
—————————————————————————————————————————————14. Sia f (x) = x2 log x
(a) f è invertibile in (0, +∞)
(b) f è invertibile in (e−1/3 , +∞)
(c) f è invertibile in (e−1 , e−1/4 )
(d) nessuna delle precedenti risposte è vera.
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15. Sia
f (x) =
x3 cos x22
0
sex 6= 0
x=0
Allora
(a) f non è continua in x = 0
(b) f non è derivabile in x = 0
(c) f è derivabile in R, ma f 0 non è continua in x = 0
(d) f 0 è continua in R.
16. Nel campo reale l’equazione log(1 + x) − ax = 0 ammette, in dipendenza del parametro a,
(a) una soluzione per a ≤ 0 e a = 1; due soluzioni per a > 1 e 0 < a < 1;
(b) nessuna soluzione;
(c) una soluzione per a ≤ 0 e due soluzioni per a > 0;
(d) una soluzione ∀a ∈ R.
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17. Il diagramma della funzione f (x) = x3 −
1
x
(a) non ha punti di flesso in (0, +∞)
(b) ha un solo punto di flesso in (0, 1)
(c) ha un solo punto di flesso in (1, +∞)
(d) ha tre punti di flesso in (0, +∞).
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p
18. La funzione f (x) = x|x2 − 4| nel punto x = 2
(a) presenta una cuspide rivolta verso il basso
(b) è derivabile
(c) presenta un flesso a tangente verticale
(d) non è definita.
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Buon Natale e buon lavoro!