Zx = {kx : k ∈ Z \ {0}} ⊂ Q . f(x)
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Zx = {kx : k ∈ Z \ {0}} ⊂ Q . f(x)
Geometria I - Scritto #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10) p1/2 Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dare una dimostrazione esauriente di tue le risposte, su un foglio a parte (scrivere nome e matricola su tui i fogli consegnati). Il peso relativo di ogni esercizio è indicato tra parentesi. (1) (6u) Si consideri la topologia euclidea standard su Q. Per ogni x ∈ Q si indichi con Zx l’insieme definito da Zx = {kx : k ∈ Z ∖ {0}} ⊂ Q . (a) Determinare per quali x ∈ Q risulta che Zx è chiuso in Q. (b) Per quali x ∈ Q risulta che Zx è compao? Per quali risulta connesso? (c) Dimostrare che per ogni x ∈ Q l’insieme Zx ∩ N è chiuso in Q, e che il suo estremo inferiore è un elemento di Zx . Chiamiamo tale estremo inferiore b( x ). (d) Si consideri la funzione f : Q → Q definita da 1 1 , f ( x ) = b( ) x 0, se x ̸= 0; se x = 0 . Mostrare che la funzione f è ben definita. (e) Mostrare che f è continua in 0. () Esiste x0 ∈ Q, x0 ̸= 0, tale che la funzione f è continua in x0 ? (2) (6u) Sia X = P2 (C) e si consideri la mappa ρ : R × X → X, ρ(t, [ x : y : u]) = [eit x : y : u]. (a) Dimostrare che ρ definisce un’azione di R su X. (b) Deteminare lo stabilizzatore di ogni punto di X. (c) Determinare se lo spazio quoziente X/R è compao e se è connesso. (d) Determinare se lo spazio quoziente X/R è di Hausdorff. (3) (6u) Sia γ ⊂ E2 una circonferenza nel piano euclideo E2 , con centro A e raggio r. Per ogni P ∈ E2 si definisca la quantità w( P; γ) = ∥ P − A∥2 − r2 . (a) Mostrare che se P è un punto esterno alla circonferenza γ, allora w( P; γ) è il quadrato della distanza tra P ed i due punti in cui le due tangenti a γ passanti per P toccano γ. Geometria I - Scritto #4 - 2012-09-18 (14:30-16:30, U1-10) p2/2 (b) Date due circonferenze distinte γ e Γ in E2 , dimostrare che il luogo dei punti R(γ, Γ) = { P ∈ E2 : w( P; γ) = w( P; Γ)} è una rea se γ e Γ hanno centri distinti, ed è vuoto se esse sono concentriche. (c) Mostrare che se A e B sono i centri di γ e Γ, e se A ̸= B, allora R(γ, Γ) è ortogonale alla rea passante per A e B. (d) Mostrare che γ ∩ Γ ⊂ R(γ, Γ). (e) Mostrare che se A, B e C sono tre punti non allineati in E2 , e γ A , γB e γC tre circonferenze con centri rispeivamente in A, B e C, allora esiste un unico punto Q ∈ E2 tale che Q ∈ R(γ A , γB ) ∩ R(γB , γC ) ∩ R(γC , γ A ) . () Dedurre dai punti precedenti che se tre circonferenze sono mutuamente tangenti e con centri non allineati, allora le tre tangenti comuni si incontrano in un punto.