diario delle lezioni. - Dipartimento di Matematica e Informatica

DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI
MATEMATICA I - SCIENZE AMBIENTALI E NATURALI.
ANNO ACCADEMICO 2016-2017
(PROF. D. PUGLISI)
17-10-2016 Cenni di teoria degli insiemi. Introduzione. Concetti primitivi e postulati. Postulato fondamentale della teoria degli insiemi. Terminologia e
simboli di logica. Nozione di insieme. Elementi di un insieme. Rappresentazione di un insieme. Insieme dei numeri naturali N. Insieme degli interi
relativi Z. Insieme dei razionali Q. Insieme dei numeri reali R. Rappresentazione decimale di un numero reale (rappresentazione limitata, illimitata e
periodica). Regola per passare dalla forma decimale alla forma razionale di
un numero razionale. Proprietà delle operazioni sull’insieme R. Assioma di
esistenza dell’insieme vuoto. Sottoinsiemi. Principio della doppia inclusione. Operazioni tra insiemi (unione, intersezione). Proprietà commutativa,
associativa (non dimostrate) e distributiva.
19-10-2016 Cenni di teoria degli insiemi e Relazioni. Proprietà distributiva delle
operazioni di unione e intersezione. Differenza tra due insiemi. Diagrammi
di Eulero-Venn. Sottinsieme di un insieme. Formule di De Morgan. Unione
e intersezione di più insiemi. Famiglia di insiemi. Insieme delle parti. Prodotto cartesiano di due o più insiemi. Relazione tra due insiemi. Definizione
di funzione tra due insiemi. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica
e transitiva. Relazione di ordine. Relazione di ordine totale.
21-10-2016 Relazioni di ordine. Insiemi ordinati. Insiemi limitati superiormente
e inferiormente. Maggioranti e minoranti di un insieme. Esempi. Estremo superiore ed estremo inferiore. Condizioni caratteristiche. Esempio di
insieme limitato superiormente che non ammette estremo superiore.
24-10-2016 Vettori. Insiemi ordinati completi. Insiemi separati. Elemento di separazione tra due insiemi. Equivalenza di completezza. Esempi di insiemi
separati senza elemento di separazione. Relazione di equivalenza. Una
relazione di equivalenza descrive una partizione dell’insieme. Insieme quoziente. Vettori nel piano e nello spazio. Componenti di un vettore. Versori.
Operazioni di somma, differenza, prodotto tra scalare e vettore, prodotto
scalare tra due vettori. Retta in un piano. Corrispondenza biunivoca tra
rette del piano e equazioni lineari a due variabili. Condizione di parallelismo
e perpendicolarità tra due rette.
28-10-2016 Matrici. Equazione esplicita di una retta. Condizioni di parallelismo e
perpendicolarità nel caso esplicito. Distanza tra due punti. Distanza puntoretta.
Disposizioni con ripetizioni. Permutazioni. Disposizioni senza ripetizioni. Coefficiente binomiale. Binomio di Newton. Matrici. Ordine di un
.
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31-10-2016
02-11-2016
04-11-2016
11-11-2016
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18-11-2016
ANALISI I
elemento. Minore complementare associato ad un elemento. Determinante di una matrice quadrata. Operazioni tra matrici. Invertibilità di una
matrice. Matrice inversa. Rango di una matrice.
Sistemi Lineari. Sistemi lineari di m-equazioni ad n-incognite. Matrice associata al sistema. Matrice completa. Sistema in forma matriciale.
Teorema di Rouché-Capelli (non dimostrato). Metodo di Cramer. Approfondimento su Rouché-Capelli per determinare le soluzioni. Esercizi sui
sistemi.
Analisi su R. Densità di Q su R.
√ Intervalli e intorni di un punto. Esempio
di numero reale non razionale ( 2 6∈ R). Valore assoluto e proprietà. Potenza a esponente intero e proprietà. Teorema di esistenza e unicità della
radice n-esima (non dimostrato). Potenza a esponente razionale. Potenza
a esponente reale attraverso la completezza di R. Proprietà di monotonia
e algebriche. Teorema sull’invertibilità della funzione esponenziale (non
dimostrato). Definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca e di
funzione inversa. Definizione di logaritmo e proprietà. Definizione di dominio, codominio e grafico di una funzione. Composizione di due funzioni.
Funzione pari e dispari. Operazioni algebriche su funzioni. Esercizio su
dominio e codominio di una funzione.
Funzioni trigonometriche. Definizione di seno, coseno, tangente e proprietà. Formula fondamentale della trigonometria. Alcuni angoli notevoli.
Periodicità delle funzioni trigonometriche. Formule di addizione e sottrazione. Formule parametriche. Grafici delle funzioni trigonometriche. Funzioni
inverse. Studio delle disuguaglianze trigonometriche. Esercizi.
Topologia su R. Intorno circolare di un punto. Intorno di un punto. Proprietà degli intorni. Punti interni, esterni e di frontiera. Esempi. Punti di
accumulazione e isolati. Esempi. Caratterizzazione dei punti di accumulazione. Interno, frontiera e derivato di un insieme. Ogni punto interno è di
accumulazione. Ogni punto isolato è di frontiera. Successioni. Successioni
convergenti.
Successioni. Limite di una successione. Successioni convergenti, divergenti positivamente e divergenti negativamente. Esempi. Successione geometrica. Insieme non limitati superiormente (risp. inferiormente) attraverso
intorni di +∞ (risp. −∞). Successioni regolari. Teorema di unicità del
limite. Esercizi su inf e sup di un insieme.
Successione (np )n . Successione (loga n)n . Teorema della permanenza del
segno. Teoremi del confronto (dei carabinieri e delle divergenze). Esempi.
Funzioni limitate. sup e inf di una funzione. max e min di una funzione.
Estremo superiore ed estremo inferiore di una successione. Ogni successione
convergente è limitata. Non vale il viceversa. Ogni successione divergente
positivamente è limitata inferiormente ma non superiormente. Successioni
monotone. Ogni successione monotona è regolare. Teoremi di convergenza
di successioni monotone. Il numero e. Operazioni aritmetiche sui limiti.
Forme indeterminate.
Convergenza assoluta di una successione. Ogni successione convergente è
assolutamente convergente. Non vale il viceversa. Una successione è infinitesima se e solo se assolutamente converge a zero. Carattere del reciproco
ANALISI I
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di una successione. Rapporto di successioni. Successioni polinomiali. Successioni fratte. Esempi. Esempi di limite di successioni irrazionali (metodo
di razionalizzazione). Successioni composte. Se una successione è regolare allora ogni composta lo è, ed ha lo stesso limite (senza dimostrazione).
Esempi di limiti attraverso le composte. Successioni estratte. Ogni estratta
di una succesisone regolare è regolare, ed ha lo stesso limite (senza dimostrazione). Se da una successione esistono due estratte aventi limiti diversi,
allora la successione è oscillante. Esercizi.
Limiti notevoli. Esercizi.
Serie numeriche. Carattere di una serie numerica. Successioni delle
somme parziali. Esempi. Serie di Mengoli. Serie geometrica. Se una
serie converge allora la successione generatrice è infinitesima. Criterio di
Cauchy. Serie a termini non negativi. Ogni serie a termini non negativi
o è convergente oppure diverge positivamente. Teorema del confronto (non
dimostrato). Esercizi.
Criterio del Rapporto (dimostrato il caso convergenza). Criterio di Raabe
(non dimostrato). Assoluta convergenza. Ogni serie assolutamente convergente è convergente. Non vale il viceversa (controesempio). Serie a segno
alterno. Criterio di Leibnitz (non dimostrato). Esercizi.
Limiti di funzioni. Definizione di limite di funzione (per x → c con
c ∈ R). Esempi e verifiche. Teorema di unicità del limite (non dimostrato).
Teorema della permanenza del segno (non dimostrato). Teorema del confronto (non dimostrato). Teorema di locale limitatezza (non dimostrato).
Teorema di regolarità per funzioni monotone (non dimostrato).
Operazioni algebriche sui limiti. Limiti notevoli. Teorema sui limiti delle
restrizioni (non dimostrato). Criterio di non regolarità (non dimostrato).
Teorema sui limiti delle restrizioni larghe (non dimostrato). Teorema sui
limiti delle funzioni composte. Esercizi.
Calcolo dei limiti della funzione [f (x)]g(x) . Limiti notevoli. Esercizi. Limite
destro e sinistro. Relazione tra limite e limiti laterali. Funzione continua
in un punto. Funzione continua in un insieme. Continuità delle funzioni
elementari. Punti di discontinuità. Discontinuità eliminabile, di prima, di
seconda o di terza specie. Esempi. Continuità della restrizione. Teorema
della permanenza del segno. Continuità della somma, prodotto e rapporto
di funzioni. Teorema dell’esistenza degli zeri (non dimostrato). Esempi di
applicazioni. Teorema dei valori intermedi e corollario sull’immagine di una
funzione continua.
Relazione tra continuità e successioni. Teorema di Weiestrass. Teorema di
continuità delle funzioni composte (non dimostrato). Teorema di continuità
delle funzioni inverse (non dimostrato). Esempi.
Derivata di una funzione in un punto. Rapporto incrementale in
un punto. Definizione di derivata. Calcolo della derivata per le funzioni
notevoli (con relative formule). Derivata attraverso il rapporto incrementale
R1 (h).
Funzione derivabile in un punto è continua in tal punto, ma non vale il
viceversa. Derivata di una somma, prodotto e quoziente (non dimostrato). Esempi. La funzione derivata. Teorema di derivazione di una funzione
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09-01-2017
ANALISI I
composta (non dimostrato). Teorema di derivazione di una funzione inversa (non dimostrato). Esempi. Derivata delle funzioni trigonometriche
inverse. Significato geometrico della derivata. Monotonia in un punto.
Condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione sia crescente (risp.
descescente) in un punto.
Punti di estremo relativo per una funzione (massimi e minimi relativi). Se
f è strettamente monotona in un punto il punto non può essere di estremo
relativo, e viceversa. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di
Cauchy (non dimostrato). Teorema di Lagrange (non dimostrato). Conseguenze di Lagrange: una funzione è costante se e solo se ha derivata
(identicamente) nulla. Derivata prima non negativa (risp. strettamente
positiva) implica crescenza (risp. strettamente crescente). Derivate di ordine superiore. Condizione sufficiente affinchè un punto sia di massimo o
di minimo relativo attraverso le derivate seconde (non dimostrato). Condizione sufficiente affinchè un punto sia di crescenza o decrescenza attraverso
le derivate terze (non dimostrato). Teoremi di L’Hopital (non dimostrati).
Esercizi.
Convessità. Convessità di una funzione in un punto. Esempi. Punti di
flesso. Se un punto è di flesso allora la derivata seconda si annulla (non
dimostrato). Condizione sufficiente per un flesso e per convessità (risp.
concavità) puntuale attraverso le derivate di ordine superiore (non dimostrato). Convessità e concavità in un intervallo. Interpretazione geometrica.
Esercizi.
Integrali indefiniti. Primitiva di una funzione. Data F primitiva di f ,
allora tutte e sole le primitive di f (x) sono del tipo F (x) + c, c ∈ R.
Integrale indefinito. Tabella degli integrali indefiniti immediati. Integrale
di una somma. Integrale di k · f . Primo teorema di sostituzione (non
dimostrato). Secondo teorema di sostituzione (non dimostrato). Teorema
di integrazione per parti. Esercizi.
Integrale di Riemann Definizione di integrale di Riemann attraverso una
interpretazione geometrica. Teorema Fondamentale del Calcolo integrale.
Esempi. Integrazioni di funzioni fratte. Esercizi.