Instabilità elastica
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Instabilità elastica
Instabilità elastica In alcuni casi una struttura soggetta a carichi statici può collassare con un meccanismo diverso da quello del superamento dei limiti di resistenza del materiale. Uno di questi casi è rappresentato dal cedimento in elementi di strutture soggetti a carichi di compressione che danno luogo ad instabilità elastica Tale collasso è particolarmente pericoloso poiché avviene a carichi inferiori a quelli limite del materiale e, in vari casi, senza preavviso. 1 Instabilità elastica 2 Instabilità elastica 3 Instabilità elastica In pratica alcune combinazioni di geometria e carico danno luogo ad instabilità instabilità. Spostamenti e rotazioni non sono linearmente proporzionali con il carico Esempi p nella p progettazione g di componenti p meccanici: biella molle ad elica viti di trasmissione All’aumentare della lunghezza del componente, il ruolo della geometria e della rigidezza diventa cruciale nell’assicurare la resistenza 4 Instabilità elastica Il caso più semplice di elementi soggetti a carico di punta è quello dell’asta di Eulero: P Condizioni iniziali: P trave perfettamente rettilinea sollecitata a compressione carico perfettamente assiale omogenea tensioni entro il limite elastico L Le 5 Instabilità elastica Si definisce carico critico ((Pcr) quel q carico limite oltre il q quale se si verifica anche un minimo movimento dell’asta, o dei supporti o del carico, la struttura collassa . x P P y x L y y M P’ 6 Instabilità elastica soluzione l i generale: l che ovviamente dipenderà dalle condizioni al contorno 7 Instabilità elastica formula di Eulero per P < P cr situazione stabile Æ configurazione rettilinea con A = area sezione trave e w = raggio inerzia (di A) 8 Instabilità elastica per un acciaio strutturale: σ snerv. = 250 MPa E = 200 GPa 350 300 250 σ 200 150 100 50 0 0 50 100 150 200 250 L/r 9 Instabilità elastica 10 Instabilità elastica Il carico unitario ha le stesse dimensioni di una sollecitazione ma si tratta della resistenza di un’asta un asta specifica non del materiale materiale. Raddoppiare la lunghezza (ad esempio) ha un drastico effetto sul valore del carico unitario ma non influenza in alcun modo la resistenza del materiale di cui è fatta l’asta Il carico critico unitario dipende solo dal modulo di elasticità e dalla snellezza e NON dal carico di snervamento o di rottura del materiale 11 Instabilità elastica per differenti condizioni al contorno: 12 Instabilità elastica Nella progettazione di aste sottoposte a compressione, il progettista cercherà di fissare le estremità nel modo più opportuno per realizzare le condizioni di vincolo desiderate (utilizzando ad es. saldature, perni, bulloni ecc.) Si è visto sperimentalmente che si possono verificare collassi (a causa di eccentricità del carico e deformazioni localizzate) anche sotto la curva di Eulero in prossimità del punto di intersezione con la retta di snervamento, perciò tale motivo quando la snellezza è prossima a valori vicini al punto di intersezione motivo, suddetto, non si dovrebbe impiegare né la curva di Eulero né il metodo di compressione semplice Un possibile approccio è quello di scegliere un generico punto T sulla curva e impiegare la relazione di Eulero solo se la snellezza è superiore a quella corrispondente p al p punto T. In caso contrario si devono utilizzare delle tecniche alternative 13 Instabilità elastica 14 Instabilità elastica Per tenere conto delle evidenze sperimentali (che riportavano collassi anche per combinazioni ‘carico carico critico-snellezza critico snellezza’teoricamente teoricamente sicure sicure, sono state proposte alcune modifiche empiriche alla relazione di Eulero•Una delle più utilizzate è la cosiddetta formula parabolica proposta da J.B. Johnson la parabola è sempre tangente alla curva di Eulero nel punto 15 Instabilità elastica 16 Instabilità elastica Il punto di tangenza può aiutare a distinguere le travi “intermedie” (campo parabolico di Johnson) da quelle “lunghe” (campo Euleriano) Le travi “corte” sono comunemente definite come quelle aventi snellezza inferiore a 10 In 10. I questo t caso il carico i unitario critico può essere assunto pari alla tensione di snervamento A volte i coefficienti della parabola di Johnson vengono variati per trovare un migliore accordo con i dati sperimentali 17 Instabilità elastica Travi “tozze” α=1 Eulero Johnson 18 Instabilità elastica 19 Instabilità elastica 20 Instabilità elastica 21 Instabilità elastica Esempi 22