Misura - Dipartimento di Matematica

Misura
• Cosa significa misurare?
• Che cosa possiamo misurare?
• Come facciamo a misurare?
Dalla nostra esperienza, sappiamo che possiamo misurare la lunghezza (di un percorso, di un pezzo
di stoffa, di un tratto di strada), l’estensione di una superficie (di una stanza, di un appezzamento di
terreno), la potenza (di un motore o di un elettrodomestico), il tempo, la pressione, la temperatura,
la massa, la forza e così via.
Sappiamo anche che, quando effettuiamo una misurazione, per esempio quando pesiamo una certa
quantità di farina che ci serve per una ricetta, il risultato è un numero che ci dà indicazione del
fatto che la farina pesata sia sufficiente o meno per lo scopo: questo numero è però significativo solo
quando abbiamo prefissato una unità di misura! Dire che la farina pesata è 100 g ha senso, mentre
100 da solo non ci dice nulla.
Quindi, quando misuriamo una certa grandezza relativa ad un certo oggetto, come risultato otteniamo un numero, che, relativamente ad un’unità di misura prefissata, esprime questa grandezza
di tale oggetto mediante un confronto con una grandezza convenzionalmente fissata come unità di
misura.
Ma quali “grandezze” possiamo misurare, cioè quali caratteristiche deve avere una proprietà perché
sia misurabile?
E’ possibile misurare la generosità di una persona o la bontà di un piatto di lasagne? O la salinità
del mare nonchè l’intensità di un terremoto o la forza del vento? Mettiamo giù qualche punto fisso:
• una misura deve essere oggettiva, cioè non dipendere da chi la effettua
Questo ci permette già di eliminare come grandezze misurabili la generosità o la bontà, ma non
l’intensità di un terremoto o la forza di un vento. Infatti quando si parla di terremoto di settimo
grado della scala Mercalli o di vento forza 7, si ha un numero (oggettivo) che indica il livello (rispetto
ad una scala prefissata) dell’intensità del terremoto o la forza del vento. Ma questo numero 7 ha lo
stesso significato del 7 (cm) che può misurare un mozzicone di matita?
Quando in matematica si parla di misura si intende una situazione in cui si possono cmpiere due
azioni significative:
1. un’operazione di confronto: se misuriamo due pezzi di corda A e B con A più corto di B,
il numero a che misura la lunghezza di A (rispetto ad un’unità di misura u) deve essere più
piccolo del numero b che misura quella di B (sempre rispetto ad u).Ovviamente per confrontare
misure espresse con diverse unità, bisogna prima effettuare una conversione.
2. un’operazione di somma: unendo (senza sovrapposizione) i due pezzi di corda di prima, si
ottiene un pezzo di corda C che ha lunghezza misurata dalla somma a + b.
Ovviamente l’indice di intensità di un terremoto della scala Mercalli ci permette di confrontare due
terremoti di intensità diversi, ma non di poter misurare due terremoti che si sovrappongono mediante
la somma di tali indici (basti pensare all’azione combinata di due terremoti di indice massimo!). In
modo analogo per l’intensità del vento: due venti di forza 3 non danno un vento di forza 6.
1
In conclusione, le grandezze misurabili sono quelle in cui è possibile fare
un confronto e fare una somma, come per due masse, due tempi, due
superfici, due angoli (anche se qui il discorso è più delicato).
Veniamo ora all’ultima domanda, cioè cosa facciamo quando dobbiamo effettuare una misurazione.
Supponiamo di voler misurare per esempio una lunghezza ed esaminiamo come si procede. Innanzitutto dobbiamo scegliere un’unità di misura ed è opportuno farlo “ragionevolmente”: nessuno ci
impedisce di misurare in chilometri la lunghezza di una matita, ma chiaramente non è comodo
scrivere (magare fare conti) 0,00017 km . Supponiamo di dover misurare l’altezza di un armadio
avendo a disposizione un metro. Quello che cercheremo di fare sarà cercare di stimare il rapporto
tra l’altezza dell’armadio e la lunghezza del campione che abbiamo scelto come unità di misura.
Questo processo se, quando e come ha termine? Dipende: dal punto di vista pratico, ovviamente
ha termine e può finire per 2 diversi motivi:
1. Può succedere che la misura effettuata, anche se molto approssimata, sia sufficinete per quanto
mi serve: se devo comperare l’armadio per la mia casa alta 3,10, mi basta sapere che l’altezza
sia compresa tra 2 e 3 metri.
2. Se invece desidero una misura più precisa, può succedere che gli strumenti a disposizione non
me lo permettano. Per esempio, con un metro possiamo arrivare ai centimetri, forse può aver
senso arrivare ai millimetri, ma di certo non possiamo proseguire oltre.
Dal punto di vista teorico invece, non è affatto detto che il procedimento abbia termine, in quanto la
sua fine equivale a dire che il metro e l’altezza dell’armadio abbiano un sottomultiplo comune: dire
che l’armadio è alto esattamente 2,71 cm significa dire che esiste un segmento (lungo un centimetro)
che è sottomultiplo sia del segmento campione lungo un metro che del segmento corrispondente
all’altezza dell’armadio. In altri termini i due segmenti sono commensurabili ed il loro “rapporto”
è rappresentabile con un numero razionale (quale?).
Dire che il procedimento di misurazione di una lunghezza ha sempre
termine equivarrebbe ad affermare che due segmenti qualunque hanno
un sottomultiplo comune! E’ vero questo?
Abbiamo visto che per il lato e la diagonale di un quadrato questo non è vero, cioè che sono
“incommensurabili”: questo non vuol dire che non possiamo misurare la diagonale di un quadrato
di lato 1 m usando il metro come unità di misura, ma solo che il risultato è un numero irrazionale.
Attenzione comunque a distinguere il piano teorico dal piano pratico: se devo effettivamente misurare la diagonale di un rettangolo di lati 3 e 4 m (che so essere di 5 m), per trovare la misura
esatta dovrei usare tutti i sottomultipli del metro per distinguere 5 da 5,00001 o da 4,99999 e così
via. In conclusione, il processo di misurazione dà luogo a priori ad una risposta approssimata,
indipendentemente dal numero che risulta.
Tornando al processo di misurazione di una grandezza, forse senza troppo rendercene conto, usiamo
la somma (e quindi i multipli), i sottomultipli ed anche il confronto, insieme ad alcune proprietà di
cui le operazioni di somma e confronto godono:
• Se A < B, allora non è vero che B < A
• Se A < B e B < C, allora A < C
• Date A e B, o A = B o A < B o B < A
2
• Se A e B sono non nulle, allora anche A + B è non nulla e A + B > A, A + B > B
• + è commutativa ed associativa
• Se A 6= 0, allora esiste B 6= 0 tale che B < A.
Ci sono altre due cose che facciamo nella misurazione: tutti noi siamo convinti che, avendo a
disposizione solo un centimetro, tanto tempo e tanta pazienza, sarebbe comunque possibile misurare
la distanza tra Milano e Città del Capo, cioè usiamo il
Postulato di Eudosso-Archimede: comunque si fissino due segmenti, esiste sempre un multiplo del
primo che è maggiore del secondo.
Un’altra cosa implicitamente sottointesa è la continuità della retta reale. Qualunque sia il segmento
che fissiamo, la misura della sua lunghezza sarà esprimibile mediante un numero reale (magari
irrazionale), cioè la retta non ha buchi.
Misurazioni indirette
In molti casi, per misurare una certa grandezza, utilizziamo una grandezza diversa a cui la prima è
collegata. Un esempio classico è la misurazione della temperatura con un termometro, dove quello
che misuriamo in realtà sul termometro è uno spostamento. il termometro a liquido è costituito da un
corpo di vetro di piccola massa (bulbo) contenente un liquido (sostanza termometrica): in genere si
utilizza il mercurio, essendo questo metallo un buon conduttore di calore e mantenendosi allo stato
liquido sia alle basse che alle alte temperature termometrica. Quando il bulbo viene riscaldato,
il liquido, aumentando di volume, sale all’interno del tubo capillare. L’altezza L della sostanza
termometrica varia solo con il variare della temperatura e la variazione dell’altezza è proporzionale
alla temperatura T.
Per misurare la proporzionalità è necessario tarare il termometro, bisogna cioè costruire una scala.
La graduazione di un termometro richiede di:
• segnare sulla scala termometrica dei punti di riferimento, detti punti fissi, a temperature ben
determinate e riproducibili.
• fissare un’unità di misura per la lettura delle temperature dei corpi.
Per convenzione si scelgono come punti fissi la temperatura a cui fonde il ghiaccio e la temperatura
a cui bolle l’acqua alla pressione di un’atmosfera. Esistono diverse scale termometriche: la scala
Celsius, la Reamur e la Fahrenheit.
3
La scala Celsius o centigrada prevede che la temperatura del ghiaccio che fonde corrisponda al grado
0 di questa scala, mentre l’acqua che bolle corrisponda al grado 100. La graduazione risulta divisa
in 100 intervalli uguali. L’unita’ di misura è il grado centigrado (◦ C).
Anche la scala Reamur, prevede come punti fissi, la temperatura del ghiaccio che fonde, corrispondente al grado 0 e la temperatura dell’acqua che bolle che corrisponde tuttavia al grado 80. La
graduazione risulta, in questa scala, divisa in 80 intervalli uguali. L’unita di misura è il grado
Reamur ◦ R.
Nella scala Fahrenheit, la temperatura del ghiaccio che fonde corrisponde al grado 32. La temperatura dell’acqua che bolle corrisponde invece al grado 212. La graduazione risulta quindi suddivisa
in 180 parti uguali. L’unità di misura è il grado Fahrenheit ◦ F.
Trovare le relazioni tra la temperatura C misurata in gradi centigradi, quella R misurata in gradi
Reamur e quella F misurata in gradi Fahrenheit. C è proporzionale a R? E ad F?
Quali fra le seguenti proprietà che avete visto valere per grandezze x, y legate da una proporzionalità
sono soddisfatte se x = C e y = F ?
1. Al crescere (decrescere) di x cresce (decresce) anche y;
2. Se x raddoppia (si dimezza), anche y raddoppia (si dimezza)
3. Se x viene moltiplicata per a, anche y risulta moltiplicato per a, cioè x0 = ax ⇒ y 0 = ay
4. x : x0 = y : y 0
Alcuni errori comuni nella proporzionalità diretta
1. Se mi muovo più velocemente percorro un tragitto più lungo, quindi lo spazio è proporzionale
alla velocità.
2. Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 6 cm; allora la sua area è proporzionale alla
lunghezza dell’altro cateto.
3. Una certa grandezza A dipende da una certa grandezza B in modo che quando A aumenta
anche B aumenta e quando A diminuisce anche B diminuisce; posso allora concludere che A
e B sono direttamente proporzionali.
4. Sto facendo un esperimento per valutare come dipendono l’una dall’altra due grandezze x e
y: effettuo dieci misurazioni (rispetto alle stesse unità di misura) e trovo per x e y i seguenti
valori:
3
5 2 8
1 4 12 6
x 10 0, 5
y 15 0, 75 4, 5 7, 5 3 12 1, 5 6 18 9
15
10
y
5
Riportando queste coppie (x, y) su un sistema di riferimento
0
4
5
x
10
15
scopro di ottenere punti appartenenti tutti alla stessa retta per l’origine. Ne concludo che x e y
sono direttamente proporzionali.
5. Un triangolo rettangolo con i cateti di lunghezza rispettivamente 5 cm e 6 cm è simile al
triangolo
di√lati 10 cm, 12 cm, 16, 62 cm; infatti l’ipotenusa del primo triangolo è lunga
√
2
2
5 + 6 = 61 = 7, 81 cm, quindi i lati sono in proporzione: 10 : 5 = 12 : 6 = 15, 62 : 7, 81.
6. Tra i triangoli isosceli con i due lati uguali fissati, se la base aumenta di 2, 3, 4, . . . , il perimetro
aumenta della stessa quantità, quindi la base e il perimetro sono direttamente proporzionali.
Commenti
1. Un’affermazione del genere, in cui manca una misura di quanto aumenti il tragitto all’aumentare della velocità, è errata: il fatto che y aumenti all’aumentare di x non garantisce affatto che le grandezze siano direttamente proporzionali, ma solo che y è una funzione crescente
di x.
2. Come avevamo commentato in precedenza, non ha senso parlare di proporzionalità tra due
sole grandezze, anzichè tra due classi di grandezze: in un triangolo dato, c’è una sola misura
per l’altro cateto e una sola misura per l’area.
3. Anche qui, il lato e l’area del quadrato cosituiscono un controesempio.
4. Non bastano due esempi e nemmeno 10 per fornire una legge che leghi le due grandezze:
esistono infinite curve che collegano i punti trovati. Diverso è il caso se già sappiamo per altri
motivi che le due grandezze sono direttamente proporzionali: ad esempio, dalla fisica sappiamo
che peso e volume di un oggetto di dato peso specifico sono direttamente proporzionali, in tal
caso ci bastano davvero solo due misurazioni per trovare la costante di proporzionalità: ovvero
ci basta trovare un solo punto (x, y), e siamo in grado di disegnare la semiretta per l’origine
e per quel punto. Cioè siamo in grado di risolvere un esercizio del tipo: un cubo di legno di
lato 5 dm pesa 50 kg; quanto pesa un cubo dello stesso materiale che ha lato 2 dm?
√
5. Qui l’errore consiste nel considerare una approssimazione al posto di un numero reale: 61
NON è uguale a 7, 81 : questa è solo una sua approssimazione, che può esserci utile per
certi scopi, ma non per altri: in particolare, per verificare una proporzione occorre proprio il
numero (ESATTO) e non una sua approssimazione. Per inciso, il triangolo di lati lunghi 10, 12
e 15, 62 cm esiste, e NON è un triangolo rettangolo (quindi non è simile al primo triangolo
considerato).
6. Dire che la base “aumenta di 2” può significare che la base passa da una misura b a una misura
b + 2 (nell’unità di misura scelta), oppure, se intendiamo “aumenta con fattore 2”, che passa
a 2 × b ( e questo indipendentemente dalla scelta dell’unità di misura): somma e prodotto
sono due cose ben diverse e la frase “aumentare di ” può essere vaga. In ogni caso, se l è il
numero che esprime (nella stessa unità di misura) la misura dei lati uguali, e P la misura del
perimetro, allora P = 2l + b : se ad a sommiamo 2, ma questo non significa “aumenta allo
stesso modo”, cioè diventa P + 2, ma questo non significa affatto che b e P siano direttamente
proporzionali. Infatti se invece b viene moltiplicato per 2, P non raddoppia, quindi base e e
perimetro NON sono proporzionali tra loro.
5
Proporzionalità inversa
Abbiamo visto come si abbia proporzionalità diretta tra due grandezze quando il loro rapporto
(uno dei due rapporti Y /X e X/Y ) rimane costante, cioè Y /X = k (e di conseguenza anche l’altro
rapporto sarà costante, ma con costante reciproca, cioè X/Y = k1 ). Si parla invece di proporzionalità
inversa quando non il rapporto, bensì il prodotto delle due grandezze è costante, e quindi si può
trovare una delle due dividendo tale prodotto per l’altra grandezza.Vediamo dapprima alcuni esempi:
• Fra i rettangoli di area fissata, la lunghezza della base è inversamente proporzionale alla
lunghezza dell’altezza.
• Il tempo in cui si percorre un determinato tratto di strada è inversamente proporzionale alla
velocità con cui ci si sta muovendo (supponendo il moto rettilineo uniforme).
• La grandezza di un fetta di torta è inversamente proporzionale al numero degli invitati
(supponendo di tagliare fette tutte uguali, e che ogni invitato voglia assaggiare la torta).
• Il tempo che occorre per imbustare e affrancare 1.000 lettere è inversamente proporzionale al
numero di persone che abbiamo coinvolto in questo lavoro (supponendo che ognuna di queste
persone imbusti e affranchi lo stesso numero di lettere in un minuto).
• Avendo 10 euro da spendere in frutta, la quantità di frutta che si acquista è inversamente
proporzionale al prezzo.
Consideriamo tutti gli infiniti rettangoli di area 12 cm2 , e chiamiamo b ed h le lunghezze, misurate
in cm, della base e edell’altezza. allora possiamo scrivere:
bh = 12 ovvero b =
12
h
(ma anche h =
12
),
b
esprimendo così con una formula la dipendenza tra le due grandezze prima espresse a parole. Ad
esempio, se h = 3, allora b = 4, se h = 6 = 3 × 2, allora h = 2 = 4 : 2.
Se vogliamo percorrere 50 km di strada, detta v la velocità espressa in km/h e t il tempo espresso
in minuti, tenendo conto del fatto che 1h = 600 , potremo dire che
vt = 3000, ovvero t = 3000/v (e anche v = 3000/t),
per cui viaggiando a 60 km/h (ad esempio in automobile) impiegheremo 50 minuti, viaggiando a 20
km/h (ad esempio in bicicletta) impiegheremo un tempo di 1500 = 2h300 , cioè viaggiando a un terzo
della velocità impiegheremo il triplo del tempo.
Cosa possiamo dedurre dal fatto che due grandezze x, y siano inversamente proporzonali, cioè siano
tali che xy = k?
1. Se cresce una grandezza, l’altra diminuisce, e viceversa:
se x < x0 allora y > y 0 , se x > x0 allora y < y 0 .
2. Se una grandezza raddoppia, l’altra si dimezza, e viceversa:
y
x
se x0 = 2x allora y 0 = , se x0 = allora y 0 = 2y.
2
2
6
3. Se una grandezza viene moltiplicata per un numero (reale diverso da zero) n, allora l’altra
grandezza viene divisa per quello stesso numero n :
se x0 = nx allora y 0 = y/n
4. La proprietà appena espressa si può tradurre in termini di proporzioni nel modo seguente:
x : x0 = y 0 : y.
5. Il grafico della proporzionalità inversa è un ramo di iperbole
4
y
2
0
2
x
4
rossa: y = x2 , blu: y =
1
2x
(da cui si nota che y è funzione decrescente di x, come ci aspettavamo, visto che ad un aumento
della x corrisponde una diminuzione della y).
Come nel caso della proporzionalità diretta, quando la legge y = xk non riguarda tutti i numeri reali
ma solo numeri interi, otterremo dei punti (x, y) per i quali potremo solo dire che appartengono ad
4
y
2
un ramo di iperbole.
0
2
4
x
È bene che ci si soffermi su ognuna delle proprietà qui elencate, provandole su alcuni esempi, e
confrontandole con le analoghe (ma diverse!) proprietà esposte prima per la proporzionalità diretta,
in modo da assimilare bene la differenza tra i due tipi di proporzionalità.
Anche per la proporzionalità inversa valgono le considerazioni fatte riguardo alle proprietà che sono,
e quelle che NON sono, sufficienti a garantire che ci si trovi di fronte a un caso di proporzionalità
inversa. Ad esempio, se quando una delle grandezze aumenta, l’altra diminuisce, NON è detto che
ci si trovi in un caso di proporzionalità inversa: tra i rettangoli di perimetro fissato uguale a 12 cm,
la base e l’altezza sono legate tra loro dalla relazione
b + h = 6,
per cui è vero che se una aumenta, l’altra diminuisce; però non è vero che sono inversamente
proporzionali.
7
Sapreste giustificare perchè, fornendo un controesempio a una delle proprietà sopra elencate? Attenzione a non confondere la somma con il prodotto.
Non bisogna pensare che gli unici possibili legami al mondo, tra due variabili che dipendano l’una
dall’altra, siano il legame di proporzionalità diretta e il legame di proporzionalità inversa.
Ne abbiamo già incontrati almeno due (la dipendenza dell’area di un quadrato dal suo lato e di base
e altezza dei rettangoli di perimetro fissato) che non sono nè un legame di proporzionalità diretta
nè di proporzionalità inversa.
Altri due esempi:
a) il volume della sfera non è nè direttamente nè inversamente proporzionale al suo raggio.
b) fra i rettangoli che hanno un lato lungo 5 cm, il perimetro non è nè direttamente nè inversamente
proporzionale alla lunghezza dell’altro lato.
Esercizi
1. Per ognuno degli esempi di proporzionalità inversa considerati in questo capitolo, scegliete
opportune unità di misura, scrivete la relazione che lega le due grandezze in questione, fatevi
alcuni esempi numerici e disegnate il grafico. Trovare altri esempi di proporzionalità inversa.
2. Sapreste dire, per ciascuno di questi esempi ( e di quelli che avete inventato) se si tratta di un
esempio del primo tipo che abbiamo discusso (in cui le variabili sono grandezze, misurabili da
un numero reale) o del secondo tipo (in cui le variabili sono numeri interi)?
3. A dice a B: “se fissiamo la base di un cilindro (supponiamo che abbia area di 7 cm2 ), il
volume è direttamente proporzionale all’altezza, perchè per ottenere il volume dall’altezza si
moltiplica per una costante”.
B aggiunge:“Allora possiamo dire anche che l’altezza è inversamente proporzionale al volume
perchè per ottenere l’altezza dal volume bisogna dividere per una costante”.
Ha ragione B? Perchè? Come stanno invece le cose?
4. È vero che tra i triangoli di area fissata la base e l’altezza sono inversamente proporzionali?
5. È vero che tra i triangoli rettangoli di perimetro fissato i due cateti sono inversamente proporzionali?
6. È vero che tra i parallelepipedi di volume fissato l’area di base e l’altezza sono inversamente
proporzionali?
7. Dire che relazione c’è tra le seguenti coppie di grandezze, se si tratta di proporzionalità diretta,
inversa o nessuna delle due:
• volume ed altezza dei coni con area di base fissata;
• peso e volume di un blocco di ferro omogeneo;
• numero dei lati e numero delle diagonali dei poligoni;
• lato ed area dei rombi di area fissata;
8. In una clessidra, la quantità di sabbia contenuta nell’ampolla superiore diminuisce, mentre
aumenta quella nell’ampolla inferiore. Cosa possiamo dire della relazione che lega queste
quantità? Si tratta di proporzionalità? Diretta? Inversa?
8