1 Probabilita` 2 Calcolo combinatorio

1
Probabilita’
Probabilita’ di fare terno al lotto.
La probabilita’ che esca una determinata sequenza di numeri:
1 1 1
90 89 88
Vi sono 5 estrazioni e il primo numero puo’ uscire in una qualunque delle posizioni.
Il secondo numero puo’ occupare solo 4 posizioni e il terzo solo tre posizioni.
Quindi:
P =
5·4·3
60
1
=
=
= 0.000085
90 · 89 · 88
704880
11748
In generale, se la probabilita’ di avere un singolo evento e’ p e q(1 − p) e’ quella che non
avvenga, la probabilita’ di una data sequenza di m eventi poitivi su N tentativi e’:
P (terno) =
pm · q N −m
Esempio.
Probabilita’ di avere tre teste consecutive nei primi tre lanci di una serie di 8 lanci:
P = (1/2)3 · (1/2)5
2
Calcolo combinatorio
Occorre ora calcolare delle regole per ottenere il numero di combinazioni favorevoli quando
l’ordine degli eventi e’ irrilevante.
Vogliamo calcolare il numero di modi in cui si possono collocare 10 oggetti in 10 caselle.
Permutazioni.
Il primo oggetto puo’ scegliersi ognuna dell 10 caselle, al secondo ne restano 9, al terzo
8 ecc.
Quindi il numero di modi possibili k e’:
k = 10 · 9 · 8 · ... · 2 · 1 = 9797760
In generale:
k = N! = N · (N − 1) · ... · 2 · 1
Numero di modi in cui si possono mettere 4 oggetti in 10 caselle: 10 · 9 · 8 · 7.
Se non ci interessa l’ordine, occorre dividere per il numero di modi in cui questi oggetti
possono essere ordinati: 4!.
Possiamo quindi scrivere, numero di combinazioni di 10 oggetti presi a 4 a 3:
1
10 · 9 · 8 · 7
10!
10!
=
=
4!
6! · 4!
(10 − 4)! · 4!
Abbiamo N elementi da cui vogliamo estrarne m senza che ci interessi l’ordine di estrazione. Calcolo del numero di combinazioni di N presi a m a m.
In generale possiamo scrivere (coefficiente binomiale):
N!
(N − m)! · m!
Teniamo presente che 0! = 1.
Se ora vogliamo calcolare la probabilita’ di m eventi positivi di probabilita’ p su N lanci
in un ordine qualsiasi:
P (N, m) =
N!
· pm · q N −m
(N − m)! · m!
Esempio. Probabilita’ di avere 4 teste in un lancio di 10 monete.
10!
· (1/2)4 · (1/2)6 = 210 · (1/16) · (1/64) = 0.205 = 20.5%
6! · 4!
Probabilita’ di avere m teste in un lancio di 3 monete.
P (10, 4) =
P (3, 0) =
P (3, 1) =
3!
· (1/2)0 · (1/2)3 = (1/2)3 = 1/8
3! · 0!
3!
· (1/2) · (1/2)2 = 3 · (1/2)3 = 3/8
2! · 1!
2
Figure 1: Probabilita’ di ottenere m volte testa dal lancio di 3 monete.
3
Distribuzioni di probabilita’
L’insieme dei valori P (N, m) per 0 ≤ m ≤ N costituisce una distribuzione di probabilita’
degli eventi.
N!
· pm · q N −m
(N − m)! · m!
e’ una distribuzione di probabilita’: la distribuzione binomiale.
La somma di tutte le P (N, m) per tutti i valori di m da’ 1, ovvero la certezza:
P (N, m) =
N
X
P (N, m) = 1
m=0
.
Calcoliamo la media della distribuzione.
Questa e’ una distribuzione con pesi diversi, per un dato valore di N, ciascun valore di
m ha una probabilita’ diversa. Quindi occorre fare una media pesata.
X
m · P (N, m)
=
m · P (N, m) = N · p
m P (N, m) = 1
m
P
< m >= P m
La varianza σ 2 si ottiene come:
σ 2 = Σm (m− < m >)2 · P (N, m) = N · p · q
La deviazione standard e’:
3
σ=
q
N ·p·q
Esempio 1
Probabilita’ di estrarre m palline bianche e N −m palline nere su N palline estratte. Ogni
volta che viene estratta una pallina, questa viene rimessa nel contenitore. Non ci interessa
l’ordine con cui sono estratte le N palline.
Supponiamo di avere lo stesso numero di palline bianche e nere.
p = 0.5,
q = (1 − p) = 0.5
Distribuzione binomiale:
P (10, m) =
10!
10!
· 0.5m · 0.510−m =
· 0.510
(10 − m)! · m!
(10 − m)! · m!
Il valore medio della distribuzione e’:
< m >= N · p = 10 · 0.5 = 5
La deviazione standard:
σ=
q
N · p · q = 1.58
4
Esempio 2
Supponiamo di avere 25 palline bianche e 75 nere.
p = 0.25,
q = (1 − p) = 0.75
Distribuzione binomiale:
P (10, m) =
10!
· 0.25m · 0.7510−m
(10 − m)! · m!
Il valore medio della distribuzione e’:
< m >= N · p = 10 · 0.25 = 2.5
La deviazione standard:
σ=
q
N · p · q = 1.37
5
6
7