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Trasformata di Fourier e
Legame con la Trasformata
di Laplace
Serie di Forurier
Trasformata di Fourier
Trasformata di Laplace
Confronto in Maple
automatica
ROMA TRE
Stefano Panzieri- 1
Serie di Fourier
f (t ) = F(t ± KT ) periodica, T :periodo
LM
N
A0 ∞
2πk
2πk
f (t ) =
+ ∑ Ak cos
t + Bk sin
t
T
T
2 R=1
z
z
z
OP
Q
A0 1 T / 2
•
=
f (t )dt valore medio
2 T −T / 2
2 T /2
2πk
• Ak =
f (t )cos
t dt;
T −T / 2
T
2 T /2
2πk
• Bk =
f (t )sin
t dt
T −T / 2
T
automatica
Bk
ρ
Ak
ϕ
F(kΩ) = ρ e jϕ
utilizzando i numeri complessi
LM f (t) = Ω ∑∞ k F(kΩ)e jkΩt OP
PP
MM 2π −∞
T /2
1
MMF(kΩ) = z f (t)e − jkΩt dt PP
T −T / 2
Q
N
ROMA TRE
Ω=
2π
T
Stefano Panzieri- 2
Serie £ Trasformata
La serie è per segnali periodici,
un segnale qualsiasi può
essere visto come
periodico con periodo infinito.
LMF(kΩ) = 1 T / 2f (t)e − jkΩt dt OP
z
T
PP
MM
−T / 2
MM f (t) = Ω ∑∞ k F(kΩ)e jkΩt PP
Q
N 2π −∞
T → ∞, Ω → 0, kΩ → ω ,
T=1
|F|
Ω=2π
T=3 Ω=2π/3
|F|
Ω=
∑→
z
2π
T
F(ω ) =
Î
ROMA TRE
∞
z
f (t ) e − jωt dt
−∞
∞
z
F(t ) = F(ω ) e jωt dω
∞
automatica
kΩ
kΩ
Condizione:
f(t) sommabile
∞
z
f (t ) dt < ∞
−∞
Stefano Panzieri- 3
Trasformata di Laplace
F(ω ) =
∞
z
f (t ) e − jωt dt
−∞
∞
z
F(t ) = F(ω ) e
∞
Sì
jωt
dω





Corrispondenza
biunivoca
∞
solo se
z
f (t ) dt < ∞
−∞
??
No
Sicchè proprio i casi più interessanti creano problemi
automatica
ROMA TRE
Stefano Panzieri- 4
Trasformata di Laplace
“TRUCCO” Invece di trasformare f(t), trasformiamo:
F(t)
e −σt
δ −1 (t ) f (t )e
δ
− σt
σmin: ascissa di
Pongo s = σ + jω
F(σ + jω ) =
F(s) =
∞
z
z
0
∞
0
automatica
−1 ( t )
convergenza
f (t )e −σ t ⋅ e − jω t dt
f (t )e − st dt
Trasformata
di LAPLACE
ROMA TRE
Stefano Panzieri- 5
Trasformata di Fourier in Maple
> readlib(fourier):
> sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t);
sin( 10 t ) e
( -2 t )
> F:= fourier(sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t),t,w);
Heaviside( t )
1
F := - 2
> plot(sin(10*t)*exp(-2*t)*Heaviside(t),t=-1..4, color= 'red');
I
1
I
+
2 + I w − 10 I 2 2 + I w + 10 I
> plot(abs(F), w=-40..40,color= 'red');
0.6
0.4
0.25
0.2
0.2
00
-1
1
2
t
3
Modulo
0.15
4
-0.2
0.1
-0.4
0.05
-40
automatica
ROMA TRE
-20
0
20
w
40
Stefano Panzieri- 6
Trasformata di Laplace in Maple
1
s + 4 s + 104
> F:= laplace(exp(-2*t)*sin(10*t),t,s);
10
> F1:= subs(s=sigma+I*omega,F);
F1 := 10
2
1
( σ + I ω + 2 ) 2 + 100
> plot3d( abs(F1), sigma=-5..0,omega=-30..30, view=0..1.25);
Grafico del Modulo
(fase non riportata)
Effetto dei poli della
F(s). Il modulo va
all’infinito
1.2
1
0.8
La sezione su questo
piano è la risposta
armonica (confronta
con Fourier)
0.6
0.4
0.2
0
-5
-4
-3
sigma -2
> Poli:= solve(denom(F)=0);
automatica
-1
0-30
-20
10
0
-10 omega
20
30
Poli := -2 + 10 I, -2 − 10 I
ROMA TRE
Stefano Panzieri- 7