Elaborazione dei segnali per la fisica / Isidoro Ferrante

Indice
1 Segnali
1.1
3
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Il campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
La quantizzazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3
Volume dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.4
Vantaggi e svantaggi dei sistemi analogici e digitali . .
9
1.1.5
Segnale e rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Classicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3
Segnali notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4
Operazioni sui segnali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1
Operazioni tra due segnali
. . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Segnali aleatori
2.1
31
Processi aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1
Media, varianza, deviazione standard e funzione di
autocorrelazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2
2.1.2
Processi stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3
Processi ergodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.4
Processi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5
Esempi di processi aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Stima dei parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1
Stima della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2
Stima della varianza e della funzione di autocorrelazione 44
3 Analisi di Fourier
3.1
47
Notazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
217
218
3.2
3.3
INDICE
Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1
Proprietà della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2
Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1
Proprietà della trasformata di Fourier: . . . . . . . . . 56
3.3.2
Spettro di ampiezza e spettro di fase . . . . . . . . . . 58
3.3.3
Trasformate di Fourier notevoli . . . . . . . . . . . . . 58
3.4
Estensione della trasformata di Fourier
3.5
Segnali di durata limitata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6
Esponenziali complessi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . 63
3.7
Trasformata di Fourier a tempo discreto. . . . . . . . . . . . . 64
3.8
3.7.1
Proprietà della Trasformata di Fourier a tempo discreto 65
3.7.2
Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7.3
Segnali ad energia innita . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Trasformata discreta di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8.1
3.9
. . . . . . . . . . . . 61
Proprietà della DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Segnali di durata limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.9.1
Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.2
Zero padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 La trasformata di Fourier veloce
. . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11 Prodotto e convoluzione tra due segnali . . . . . . . . . . . . 74
3.11.1 Calcolo numerico della convoluzione. . . . . . . . . . . 78
3.12 Teorema di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.12.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.12.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.12.3 DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.12.4 DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.12.5 Teorema di Wiener-Kintchine . . . . . . . . . . . . . . 83
3.12.6 Spettro di un segnale periodico . . . . . . . . . . . . . 87
3.13 Il teorema di Nyquist o del campionamento . . . . . . . . . . 88
3.14 Stime spettrali non parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.14.1 Stima dello spettro in energia
. . . . . . . . . . . . . 94
3.14.2 Stima dello spettro di potenza di un segnale aleatorio.
95
3.14.3 Eetto della quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.14.4 Analisi tempo-frequenza: lo spettrogramma . . . . . . 102
219
INDICE
3.14.5 Rivelazione di una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.14.6 Somma di processi stazionari. . . . . . . . . . . . . . . 108
3.14.7 Spettri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.15 Trasformazioni nello spazio della frequenza . . . . . . . . . . . 114
3.15.1 Eterodina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.15.2 Modulazione di ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Teoria dei sistemi
119
4.1
Classicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2
Sistemi lineari e invarianti nel tempo . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.1
Caratterizzazione di un sistema LTI tramite la sua
risposta in impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3
4.2.2
Analisi in frequenza di un sistema LTI . . . . . . . . . 127
4.2.3
Combinazione di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.4
Segnali casuali nei sistemi LTI
Equazioni alle dierenze nite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.1
4.4
4.5
. . . . . . . . . . . . . 129
Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
La trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4.1
Proprietà della trasformata z . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.2
Legami tra la trasformata z e la DTFT . . . . . . . . 137
4.4.3
Legami tra la trasformata z e la trasformata di Laplace.138
4.4.4
Inversione della trasformata |z| . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.5
Funzione di trasferimento di un sistema ricorsivo . . . 139
4.4.6
Stabilità dei sistemi ricorsivi . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.7
Esercizi ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5.1
Filtri ideali e ltri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5.2
Filtri a risposta in impulso nita . . . . . . . . . . . . 147
4.5.3
Disegno di un ltro a risposta di impulso nita . . . . 150
4.5.4
Disegno tramite nestratura . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5.5
Trasformazioni nello spazio delle frequenze . . . . . . . 156
4.5.6
Disegno di un ltro tramite DFT . . . . . . . . . . . . 159
4.5.7
I ltri derivatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.5.8
Filtro adattato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.5.9
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
220
INDICE
4.5.10 Disegno di ltri ricorsivi . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5.11 Sistemi a tempo discreto e sistemi a tempo continuo . 170
4.5.12 Tipi comuni di ltro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5.13 Combinazione di ltri ricorsivi . . . . . . . . . . . . . 183
4.5.14 Disegno di altri tipi di ltro . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.5.15 Sistema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5.16 Il transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.5.17 Risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.5.18 Filtri a fase nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5.19 Esempi ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.6
Limiti dei sistemi lineari invarianti nel tempo . . . . . . . . . 190
4.7
Misura di un sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.8
Stime spettrali parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.9
Decimazione e sovracampionamento
5 Bibliograa ragionata
. . . . . . . . . . . . . . 195
201
5.1
Testi generalisti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.2
Testi specializzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A Richiami sui numeri complessi
A.1 Rappresentazione
203
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2 Operazioni tra numeri complessi
B Tipi di nestre
. . . . . . . . . . . . . . . . 204
207
B.1 Finestra rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
B.2 Finestra triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
B.3 Altre nestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
C Il Decibel
211
D La trasformata di Laplace
213
D.1 Denizione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
D.2 Applicazione ai sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214