Esercizi di Strutture Discrete

Esercizi di Strutture Discrete
Alberto Carraro
20/04/2006
Relazioni e classi di equivalenza, partizioni
Esercizio 1. Se %, σ sono relazioni su un insieme A, definiamo la relazione
composta % ◦ σ ponendo a(% ◦ σ)b se esiste c ∈ A tale che a%c e cσb. Si provi che
a) se % e σ sono riflessive, allora % ◦ σ è riflessiva
b) % è transitiva sse % ◦ % ⊆ %
Soluzione
a) Assumiamo a%a e aσa per ogni a ∈ A. Allora per ogni a ∈ A esiste b ∈ A
tale che a(% ◦ σ)a: basta, ad esempio, prendere b = a.
b) (⇒) Assumiamo % transitiva. Dimostriamo a(% ◦ %)b ⇒ a%b.
∃c ∈ A.(a%c ∧ c%b)
a%b
(def di % ◦ %)
(% transitiva)
(⇐) Assumiamo % ◦ % ⊆ %. Dimostriamo (a%c ∧ c%b) ⇒ a%b. Siano
a, b, c ∈ A tali che a%c e c%b.
a(% ◦ %)b
a%b
(def di % ◦ %)
(per l’ipotesi)
Esercizio 2. Siano f : A → B un’applicazione e ∼f la relazione di equivalenza
su A associata ad f . Si dimostri che se A0 ⊆ A, allora
[
f −1 (f (A0 )) =
[a]∼f
a∈A0
Soluzione
(⊆) Ricordiamo che [a]∼f = {x ∈ A | x ∼f a} = {x ∈ A | f (x) = f (a)}. Sia
z ∈ f −1 (f (A0 )).
z ∈ {x ∈ A | f (x) ∈ f (A0 )}
f (A0 ) 6= ∅
∃a ∈ A0 .(f (z) = f (a))
0
z ∈ [a]
S ∼f per qualche a ∈ A
z ∈ a∈A0 [a]∼f
1
(def di f −1 (f (A0 )))
(f (z) ∈ f (A0 ))
(⊇) Sia x ∈
S
a∈A0 [a]∼f .
x ∈ [a]∼f per qualche a ∈ A0
f (x) = f (a) ∈ f (A0 )
x ∈ f −1 (f (A0 ))
(def di unione)
(x ∼f a)
Esercizio 3. Siano X un insieme X X l’insieme di tutte le applicazioni di X
in X, e ∼ la relazione su X X definita, per ogni f, g ∈ X X , da f ∼ g se esiste
una biiezione σ : X → X tale che f = σ ◦ g ◦ σ −1 . Si dimostri che ∼ è una
relazione di equivalenza su X X .
Soluzione
(Riflessività) Sia f ∈ X X . L’applicazione identica ιX : X → X è una
biiezione e si ha che ιX ◦ f ◦ ι−1
X = ιX ◦ f ◦ ιX = f . Quindi f ∼ f .
(Simmetria) Siano f, g ∈ X X tali che f ∼ g. Dimostriamo che g ∼ f . Per
definizione di f ∼ g, esiste σ : X → X tale che f = σ ◦ g ◦ σ −1 .
g
= ιX ◦ g ◦ ιX
= (σ −1 ◦ σ) ◦ g ◦ (σ −1 ◦ σ)
= σ −1 ◦ (σ ◦ g ◦ σ −1 ) ◦ σ
= σ −1 ◦ f ◦ σ
= σ −1 ◦ f ◦ (σ −1 )−1
Poiché σ −1 è una biiezione, si ha g ∼ f .
(Transitività) Siano f, g, h ∈ X X tali che f ∼ g e g ∼ h. Allora esistono due
biiezioni σ : X → X e tau : X → X tali che f = σ ◦g ◦σ −1 e g = τ ◦h◦τ −1 .
Allora l’applicazione composta (σ ◦ τ ) : X → X è una biiezione. Si ha
f
= σ ◦ g ◦ σ −1
= σ ◦ (τ ◦ h ◦ τ −1 ) ◦ σ −1
= (σ ◦ τ ) ◦ h ◦ (τ −1 ◦ σ −1 )
= (σ ◦ τ ) ◦ h ◦ (τ ◦ σ)−1
Quindi f ∼ h.
Esercizio 4. Sia R+ = {% | % ∈ R, % > 0}. Si dimostri che se per ogni ϕ ∈ R
si pone Xϕ = {%(cos ϕ + i sin ϕ) | % ∈ R+ }, cioè se Xϕ è l’insieme di tutti i
numeri complessi non nulli aventi argomento ϕ, allora F = {Xϕ | ϕ ∈ R} è
una partizione di C∗ = C \ {0}.
Soluzione Verifichiamo le tre proprietà che caratterizzano una partizione.
i) Verifichiamo che per ogni Xϕ ∈ F, Xϕ 6= ∅. Questo è vero perché, fissato
un ϕ ∈ R, esistono infiniti numeri complessi z = %(cos ϕ + i sin ϕ), uno per
ogni % ∈ R+ .
S
ii) Verifichiamo che Xϕ ∈F Xϕ = C∗ . Banalmente, per ogni ϕ ∈ R, Xϕ =
{%(cos ϕ+i sin ϕ) | % ∈ R+ } ⊆ C∗ . D’altra parte, dato un qualsiasi numero
complesso z 6= 0, z = %(cos ϕ + i sin ϕ) per qualche % ∈ R+ e ϕinR.
iii) Dimostriamo che Xϕ ∩Xφ 6= ∅ implica Xϕ = Xφ . Sia z = %(cos ϕ+i sin ϕ)
tale che z ∈ Xϕ e z ∈ Xφ . Allora, evidentemente, ϕ = φ, da cui Xϕ = Xφ .
2
Esercizio 5. Siano F e G due partizioni di un insieme A. Si definisca
F ∧ G = {F ∩ G | F ∈ F, G ∈ G, F ∩ G 6= ∅}
Si dimostri che F ∧ G è una partizione dell’insieme A.
Soluzione Verifichiamo le tre proprietà che caratterizzano una partizione.
i) Verifichiamo che per ogni F ∩ G ∈ F ∧ G, F ∩ G 6= ∅. Questo è vero per
come è stata definita F ∧ G.
S
ii) Verifichiamo che F ∩G∈F∧G F ∩ G = A.
(⊆) Siano F ∈ F, G ∈ G, a ∈ (F ∩ G). Allora a ∈ A.
S
S
(⊇) Sia a ∈ A. Poiché F ∈F = A e G∈G = A, allora esistono F ∈ F,
G ∈ G tali che a ∈ F e a ∈ G. Quindi (F ∩ G) ⊇ {a} è un elemento
di F ∧ G e a ∈ (F ∩ G).
iii) Siano (F1 ∩G1 ), (F2 ∩G2 ) ∈ F ∧G. Dimostriamo che (F1 ∩G1 )∩(F2 ∩G2 ) 6=
∅ implica (F1 ∩ G1 ) = (F2 ∩ G2 ). Sia a ∈ ((F1 ∩ G1 ) ∩ (F2 ∩ G2 )). Allora
a ∈ (F1 ∩ F2 ) e a ∈ (G1 ∩ G2 ). Poiché F e G sono partizioni, si ha F1 = F2
e G1 = G2 . Quindi (F1 ∩ G1 ) = (F2 ∩ G2 ).
Esercizio 6. Siano f : A → B un’applicazione ed F una partizione di B. Sia
G = {f −1 (X) | X ∈ F, f −1 (X) 6= ∅}. Si dimostri che G è una partizione di A.
Soluzione Verifichiamo le tre proprietà che caratterizzano una partizione.
i) Verifichiamo che per ogni f −1 (X) ∈ G, f −1 (X) 6= ∅. Questo è vero per
come è stata definita G.
S
ii) Verifichiamo che f −1 (X)∈G f −1 (X) = A.
S
(⊆) Sia x ∈ f −1 (X)∈G f −1 (X). Allora x ∈ f −1 (X) per qualche f −1 (X) ∈
G, con X ⊆ B. Quindi x ∈ {a ∈ A | f (a) ∈ X} ⊆ A.
(⊇) Sia a ∈ A.
f (a) ∈ B
esiste un (unico) X ∈ F tale che f (a) ∈ X
a∈S
f −1 (X)
a ∈ f −1 (X)∈G f −1 (X)
(F partizione)
iii) Siano X1 , X2 ⊆ B, f −1 (X1 ), f −1 (X2 ) ∈ G. Dimostriamo che f −1 (X1 ) ∩
f −1 (X2 ) 6= ∅ implica f −1 (X1 ) = f −1 (X2 ). Sia x tale che x ∈ f −1 (X1 ) e
x ∈ f −1 (X2 ).
f (x) ∈ (X1 ∩ X2 )
X1 ∩ X2 6= ∅ implica X1 = X2
f −1 (X1 ) = f −1 (X2 )
3
(F partizione)