L`ABACO NELL`OPERAZIONE DI ADDIZIONE

L'ABACO NELL'OPERAZIONE DI ADDIZIONE
Silvia Bondi
1. INTRODUZIONE
Vari sono gli strumenti matematici ereditati dal passato, oggi presenti nell'insegnamentoapprendimento insieme alle nuove tecnologie, utili per motivare gli allievi ed efficaci per la
soluzione di diversi problemi. Tra questi un ruolo importante lo detiene l'abaco, usato
storicamente per eseguire calcoli, anche se non sempre i numeri venivano scritti in sistemi
di notazione posizionale (vedi i numeri romani).
In questo lavoro si vuole analizzare il ruolo che l'abaco può assumere nei processi di
calcolo, in particolare, nell'affrontare l'operazione di addizione con il cambio, sia come
strumento funzionale al calcolo che come strumento di mediazione semiotica relativamente
alla costruzione del concetto di notazione posizionale decimale propria del nostro sistema di
numerazione, quindi come esso sia uno strumento valido per la rappresentazione di
qualunque numero naturale. Si vuole vedere se e in che modo l'abaco diviene strumento di
mediazione semiotica per gli allievi nell'affrontare il problema del "cambio", mai affrontato
precedentemente in operazioni di addizioni. Il lavoro è stato condotto dall'insegnante,
alternando momenti collettivi a momenti individuali con l'intento di favorire gli scambi e i
confronti tra gli alunni e di stimolare coloro che generalmente intervengono con più
difficoltà.
2. I DATI SPERIMENTALI
2.1 IL CONTESTO
Questa attività è stata proposta in una classe seconda elementare a tempo pieno (IIA B) della
scuola elementare statale "E. Ferrari" di Fiorano Modenese composta da 22 alunni di cui
due inseriti all'inizio della classe seconda.
Il gruppo classe è eterogeneo e presenta diversi livelli di apprendimento: "basso" (con
parecchie difficoltà in ogni campo); medio basso; medio; medio-alto.
L'insegnante che ha proposto e gestito l'attività è la loro insegnante di classe (Silvia Bondi)
titolare dell'ambito scientifico-matematico dal primo anno di scuola.
Fin dalla classe prima si è introdotto l'abaco come strumento per la rappresentazione dei
numeri da zero a trenta. Si è dedicata particolare attenzione all'introduzione del numero 10 e
della decina. Si è sottolineato il problema di come non sia possibile rappresentare le 10
palline nell'asta delle unità perché troppo "corta" e, quindi, raggruppate insieme, è stato
introdotto il CAMBIO di queste con una pallina-decina, che verrà posta in una nuova asta
a sinistra dell'asta delle unità: l'asta delle decine.
In seguito, si sono proposte parecchie attività sul valore posizionale delle cifre di ciascun
numero. Il discorso del cambio si è affrontato collettivamente con varie attività finalizzate
soprattutto alla comprensione dei diversi significati del termine: cambio/scambio di
figurine, scambio un gioco con un compagno, cambio di monete (dieci monete da un euro
con una banconota da dieci), cambio un cioccolatino per tre caramelle, … .
L'abaco, artefatto fin dall'inizio presente su una mensola della classe, è divenuto attraverso
l'uso continuo uno strumento fondamentale per gli allievi, che risolvevano in modo
piacevole diverse situazioni problematiche ricorrendo di frequente ad esso. Possiamo dire
che attraverso gli schemi d'uso l'abaco da artefatto era divenuto per gli allievi strumento.
2.2 LA PRIMA ATTIVITA'
Durante la classe seconda si è introdotta l'operazione di addizione e, successivamente, di
sottrazione utilizzando l'abaco sia come strumento reale, sia come strumento rappresentato
(abaco grafico) per registrare ciò che veniva fatto. In un primo momento le addizioni
proposte erano semplici, poi più complesse ma ugualmente senza cambio. Infine, si è
pensato di assegnare agli alunni una situazione problematica in cui era necessario eseguire
un'addizione con il cambio. E' stato inoltre chiesto di provare a spiegare il procedimento
messo in atto per calcolare tale operazione aiutandosi con l'abaco.
In questa attività non è stata data alcuna limitazione di tempo per svolgere il lavoro e sono
stati messi a disposizione degli alunni diversi abaci per provare concretamente.
Alla classe (presenti 21 alunni su 22) viene assegnata la seguente consegna (21 marzo
2002):
UN BAMBINO DI 7 ANNI HA CALCOLATO LA SEGUENTE OPERAZIONE:
37 + 15 = 52
DICE CHE SI E' AIUTATO CON L'ABACO.
SECONDO TE COME HA FATTO A CALCOLARLA?
SCRIVI LA TUA SPIEGAZIONE E SE VUOI ILLUSTRA CON DEI DISEGNI.
Gli scopi che l'insegnante si era prefissata possono essere così sintetizzati:
-
verificare se il concetto di "cambio" era interiorizzato
-
vedere come ogni allievo usava lo strumento abaco in una nuova situazione
-
mettere alla prova la capacità di ogni allievo di risolvere individualmente una situazione
problematica recuperando informazioni possedute
Il lavoro svolto con gli alunni può essere suddiviso in 4 fasi:
• fase 1 (individuale): ogni alunni cerca di risolvere il problema da solo
• fase 2 (collettiva): condivisione delle strategie adottate
• fase 3 (collettiva): discussione collettiva gestita dall'insegnante
• fase 4 (individuale/collettiva): nuovi problemi emersi
Tutti gli alunni, in generale, hanno provato a risolvere il problema, ma gli esiti sono stati
diversi:
soluzione e verbalizzazione corretta (3 alunni)
soluzione corretta e verbalizzazione "sofferta" (7 alunni)
soluzione non corretta e difficoltà nella verbalizzazione (7 alunni)
nessuna soluzione e spiegazione (4 alunni)
2.3 ANALISI DI ALCUNI PROTOCOLLI
Si riportano alcuni protocolli.
2.3.1 Serena
Serena descrive bene il procedimento che esegue, ha ben interiorizzato il cambio e ha
utilizzato correttamente l'abaco come strumento per riuscire ad eseguire il calcolo assegnato,
recuperando il "metodo" del cambio visto in classe in precedenza. Il suo testo risulta di tipo
procedurale, infatti descrive passo dopo passo le operazioni che esegue e alla fine "vede" la
soluzione. Non fa riferimento alla notazione posizionale e sembra soffermarsi unicamente
sul cambio delle dieci unità con la pallina-decina, anche se la rappresentazione delle aste
sull'abaco è corretta.
Metti nell'abaco 7 unità nell'asta delle unità e 3 decine nell'asta
delle decine, poi prendo 5 unità e 1 decina e le infilo nell'abaco,
però c'è un problema: nell'asta (delle unità) ci stanno solo 2 unità,
3 restano fuori dall'asta (le tiene in mano). Allora raggruppo tutte
le unità dell'asta con una che ho in mano così ne ho dieci. Quelle
dieci le metto sul banco e quelle due rimaste in mano le infilo
nell'asta delle unità. Poi metto una pallina decina.
Così vedo che il risultato è 52.
2.3.2 Luca
Luca è uno degli alunni che individua per primo la soluzione del problema. Disegna l'abaco
correttamente, mostrando anche come il raggruppamento delle dieci palline, venga
trasformato in un'unica pallina-decina, che va ad occupare un'altra posizione. Il suo testo
inizia con una premessa molto interessante: Luca ci dichiara cosa sa dell'abaco
relativamente al cambio, mostrandoci in questo modo la sua "teoria" di riferimento. La
conoscenza posseduta sembra di carattere generale, tanto è vero che parla di un'asta generica
e di nove palline; tutto ciò forse gli permetterà successivamente di estendere l'abaco anche a
numeri più grandi usando lo stesso procedimento. L'alunno non ci conferma neppure il
risultato dell'operazione, al quale non sembra interessato poiché assorbito completamente
dal far vedere il buon funzionamento del suo metodo. Possiede l'abaco come strumento e sa
riutilizzarlo correttamente in una nuova situazione.
Con l'abaco ho imparato a fare il cambio e si fa così:
quando l'asta finisce ce ne sono 9 ho un problema, però lo
posso risolvere in questo modo: prendo 10 unità e le
cambio con una pallina- decina e faccio una freccia cioè il
cambio (vedi disegno) .
In questa operazione prendo 7 unità e 3 decine e le infilo,
poi prendo 5 unità e 1 decina e le infilo, però 3 unità
rimangono fuori e cambio 10 unità con una pallina-decina.
2.3.3 Alessandro
L'alunno inizialmente si chiarisce la situazione problematica per focalizzare quale
operazione deve eseguire. E' interessante notare come prenda per dati importanti l'età
dell'allievo immaginario e il suo impegno nel calcolo; forse immedesimandosi totalmente
nel protagonista del problema riesce a farsi carico dello stesso anche se poi non lo risolve. E'
evidente la mancata interiorizzazione delle regole del cambio, infatti, rappresenta i due
addendi sull'abaco, ma vedendo che le unità non stanno nella corrispettiva asta sostiene che
non sia possibile calcolare l'addizione con questo strumento e che si possa eseguire con la
tabella del calcolo in colonna. (L'alunno prova a parte ad eseguire il calcolo in colonna, ma
commette diversi errori). Non possiede l'abaco come strumento da utilizzare nel cambio,
anche l'abaco grafico non gli suggerisce il recupero di informazioni utilizzate in precedenza,
anzi dichiara l'impossibilità di eseguire l'operazione con tale strumento. Ci pare evidente che
per Alessandro l'abaco è ancora un artefatto e che il processo di strumentazione (Meira,
1995) è ancora lungi dal divenire: saranno specifiche modalità d'uso, programmate
dall'insegnante, che forse potranno aiutare il bambino ad appropriarsi dell'abaco come
strumento di rappresentazione funzionale al calcolo.
Questo bambino di 7 anni sta calcolando con attenzione per
farla bene. Questa operazione è con la più e non con la
meno o la per. Questa operazione nell'abaco non ci sta e
come avrà fatto? E' impossibile farla, io l'avrei fatta in
tabella che così si può fare, perché nell'abaco le palline
delle unità non ci stanno perché sono troppe.
2.3.4 Daniel
Daniel al valore delle cifre (unità e decine) associa sempre il colore delle palline (blu e
rosso): questa "grande" importanza del colore indica una padronanza ancora non completa
del valore posizionale delle cifre. Le regole del cambio non vengono esplicitate e sembra
procedere meccanicamente. La rappresentazione grafica del suo procedimento non è corretta
in quanto raggruppa tutte le unità rappresentate (12) e le sostituisce con una decina. La
verbalizzazione ci comunica il risultato finale, per altro corretto, del suo procedere; sembra
esservi una contrazione del ragionamento a favore dell'esito, quasi come che il bambino,
sapendo già il risultato finale dell'operazione, non fosse più interessato a comunicare nulla.
Nell'abaco ho aggiunto nelle decine 3 palline rosse e nelle
unità 7 palline blu, dopo ho aggiunto nelle unità 5 palline
blu, però ce ne stavano soltanto 2 e tre cadevano. Dopo ho
liberato l'asta delle unità e ce ne ho messe 2. Nelle decine ne
ho aggiunta una, così ho calcolato 37+15=52.
2.3.5 Barbara
Anche Barbara è stata tra i primi ad intuire la soluzione corretta del "problema" e l'ha
spiegata chiaramente, aiutandosi con il disegno dell'abaco che accompagna passo dopo
passo la descrizione. La rappresentazione diviene l'esplicitazione di tutto il suo procedere
ed è usata, parallelamente alle parole per una funzione descrittiva e quasi didattica. Ha
interiorizzato il concetto di cambio e di valore posizionale delle cifre. In questa nuova
situazione utilizza con padronanza lo strumento abaco, recupera informazioni conosciute e
le applica con successo in questo caso.
Prendo un abaco in cui fare il numero 37, infilo 7 unità nella
colonna delle unità e 3 decine nella colonna delle decine. Poi
nello stesso abaco sistemo il secondo numero (il 15), ma
mentre metto le 5 unità mi accorgo che non ci stanno allora
passo alle decine per vedere se posso risolvere il caso, infilo 1
decina del 15. Allora torno al problema delle 5 unità, uso un
po’ di cervello, ne infilo 2 per liberarmi un po’ le mani, ma me
ne restano comunque 3 in mano. Faccio uno scambio: 10 unità
le cambio con una pallina-decina che prendo dal cestino e la
infilo nell'asta delle decine e vuoto le 10 unità nel cesto.
Sorpresa ora le 2 palline rimaste (che ho in mano) stanno
nell'asta delle unità, le infilo e il risultato è 52.
2.4 CONDIVISIONE DELLE SCOPERTE E DISCUSSIONE (fase collettiva)
Dopo il lavoro individuale, l'insegnante ha chiesto agli alunni di cercare di spiegare ai
compagni di classe la loro soluzione del problema. Gli alunni si sono offerti volentieri di
raccontare il modo in cui avevano risolto il problema assegnato. Mentre gli alunni a turno
raccontavano e i compagni ascoltavano e intervenivano per chiedere chiarimenti o
precisazioni, l'insegnante registrava su una cassetta le loro "parole".
In questa fase il ruolo dell'insegnante era soprattutto quello della gestione degli interventi
degli alunni, cercando di mantenersi neutrale e di intervenire il meno possibile.
Al termine delle spiegazioni degli alunni, l'insegnante ha avuto un ruolo più attivo, poiché
ha creato una discussione collettiva, ponendo alcune domande-stimolo prese dagli interventi
precedenti degli alunni, cercando in questo modo di chiarire i passaggi più complessi e
meno chiari, chiedendo inoltre il significato di alcuni termini come: "cambio" e "pallinadecina", inducendo i bambini a riflettere sul loro significato e sull'uso dell'abaco come
strumento funzionale al calcolo. L'insegnante ha anche voluto verificare se negli allievi era
presente la consapevolezza di un nuovo apprendimento e la possibile estensione di
quest'ultimo a tutte le operazioni di addizione.
Stralci di discussione.
….
Luca: due rimangono fuori dall'asta.
Ins.: perché restano fuori?
Luca: perché nell'asta non ce ne stanno più di 9.Allora svuoto l'asta e cambio con una pallina-decina.
Ins.: perché nel cesto hai messo anche un'altra unità oltre a quelle che si trovavano sull'asta?
Luca: perché devo formare la decina.
…
Alessandro: … metto 7 palline-unità e 3 decine, svuoto le unità e scambio una unità con una decina.
Barbara: no, scambio 10 unità con una decina, cioè ne prendo una e le 9 dell'asta. …
Ins.: chi vuole spiegarmi che cos'è una pallina-decina, potete anche rappresentarmela alla lavagna?
Debora: una pallina-decina è una decina, cioè il 10.
Erica: E' una pallina rossa che quando hai 10 palline blu visto che non puoi metterle nell'asta ci metti una
sola decina.
Arianna: Ecco una pallina-decina. (Disegna alla lavagna un abaco e una pallina rossa nell'asta delle decine.)
Ins.: Oppure come posso rappresentarla?
Arianna: Con 10 palline unità blu, ma devo sempre ricordarmi di fare le aste dell'abaco di 9 quadretti,
quindi una pallina esce dall'asta. (Disegna un altro abaco e una pila di 9 palline blu sull'asta delle unità e una
unità fuori.)
L'insegnante e gli alunni hanno cercato poi di definire insieme un metodo condiviso dalla
classe, da usare per calcolare le addizioni con il cambio recuperando i vari passaggi dagli
interventi. Così, si è individuato un metodo (scritto da tutti sul quaderno) al fine di farlo
diventare "proprio" anche di quegli allievi che da soli si erano trovati in particolare
difficoltà ad eseguire il calcolo assegnato.
2.5 I NUOVI PROBLEMI EMERSI
A questo punto gli alunni hanno chiesto all'insegnante di poter inventare delle addizioni e
di calcolarle da soli (ad es.: 65+36=; 68+84=; 125+39=; …), ma subito sono emersi nuovi
problemi. Infatti, si sono accorti che anche l'asta delle decine può riempirsi, cioè risultare
troppo "corta", e allora … COME FARE? In questo momento nasceva la necessità di
estendere l'abaco anche con l'asta delle centinaia, ma contemporaneamente c'era il problema
dell'estensione dell'ambito numerico dei naturali. Si è pensato di procedere prima con
l'estensione dei naturali fino al cento e solo successivamente di affrontare il problema
dell'addizione in colonna con somme che superassero l'ambito delle decine. Inoltre, in
questo periodo si è affrontato anche il concetto di centinaia utilizzando l'abaco.
2.6 LA SECONDA ATTIVITA'
Dopo varie esercitazioni di calcolo in colonna dove le somme dovevano essere minori di
100 e dopo la presentazione del cento e delle centinaia, si è pensato di assegnare ai ragazzi
un problema che richiamasse quelli inventati da loro precedentemente.
Ecco la consegna, assegnata il giorno 2 maggio 2002 ( presenti 21 alunni su 22):
QUESTA MATTINA "FATAMATE' * " TI LANCIA UNA SFIDA.
TI ASSEGNA IL SEGUENTE COMPITO:
" CALCOLA L'ADDIZIONE
65 + 37 =
AIUTANDOTI CON L'ABACO"
FATAMATE' TI CONSIGLIA DI AIUTARTI CON L'ABACO.
IL TUO COMPITO E' QUELLO DI PROVARE AD ESEGUIRE L'ADDIZIONE CON L'AIUTO
DELL'ABACO E DI SPIEGARE IL TUO PROCEDIMENTO. SE VUOI PUOI AIUTARTI CON I
DISEGNI.
* Fatamatè è "la fata della matematica" un personaggio che ci fa scoprire tante cose in matematica, che ci porta i numeri, le operazioni, le tabelline, ….
Le intenzioni dell'insegnante nel proporre questa attività erano le seguenti:
• vedere se gli alunni estendono il concetto di cambio (già conosciuto) alle centinaia
• vedere se qualche allievo scopre che questo concetto si può applicare anche "oltre" i
numeri conosciuti (1000)
• verificare se il centinaio è un concetto posseduto
• vedere se l'abaco diviene strumento di mediazione per ciò che concerne il valore
posizionale delle cifre, quindi diventi uno strumento di rappresentazione estendibile a
qualunque numero
• mettere alla prova la capacità di ogni allievo di risolvere individualmente una situazione
problematica recuperando informazioni possedute e precedentemente utilizzate
Si riteneva questa attività più semplice della precedente perché già conoscevano il cambio
delle unità (cioè il riporto delle decine) ed era stato lasciato loro molto tempo per esercitarsi
e per interiorizzare questo concetto. Inoltre, era stato presentato il numero 100 ed erano state
proposte varie attività riguardo al centinaio per far acquisire all'intera classe familiarità con
esso. Le aspettative sono state solo parzialmente confermate: un buon gruppo di alunni (9
alunni) ha individuato subito il CAMBIO delle decine con la pallina-centinaia. Ci sono stati
però dodici bambini che non sono riusciti a risolvere il problema: chi (7 alunni) si è trovato
in difficoltà a spiegare ed è stato confuso dai due cambi (quello delle unità e poi quello
decine), ed è arrivato correttamente solo a quello delle unità e poi si è bloccato; chi (5
alunni) invece non si è accorto di poter utilizzare un metodo già conosciuto per risolvere il
problema di questa addizione e non ha trovato nessuna soluzione.
La maggior parte degli alunni ha sottolineato che l'abaco sia fisico (prima) che grafico
(dopo) è stato un grande aiuto nell'eseguire questo calcolo.
2.7 ANALISI DI ALCUNI PROTOCOLLI
E' sembrato interessante nella scelta dei protocolli da inserire metterne alcuni di alunni già
analizzati nel paragrafo precedente, per farne un confronto, e introdurne anche alcuni che
non erano stati riportati prima per avere una panoramica più ampia del lavoro fatto.
Si riportano alcuni protocolli.
2.7.1 Serena
L'alunna ha spiegato correttamente la sua strategia aiutandosi con il disegno dell'abaco. Ha
interiorizzato il concetto di cambio e lo estende con sicurezza alle centinaia. "Prolunga"
l'abaco alle centinaia dalla parte corretta e lo utilizza come strumento che ha regole d'uso
funzionali al suo ragionamento. Mentre nel problema precedente aveva un po’ faticato ad
individuare nel cambio il modo per poter calcolare l'addizione, ora tutto le appare chiaro fin
da subito. Sembra essersi impossessata del discorso di notazione posizionale e in qualche
modo localizza i posti delle cifre (… dove stanno …), tutto ciò mancava nella prima attività.
Prendo 5 unità e 6 decine, aggiungo 7 unità e 3 decine. Dopo
unisci tutte le 10 unità e quelle 2 palline delle unità le metti
sul tavolo, però anche la pallina decina ce ne rimane fuori
una, allora metti una centinaia nell'abaco dove sono le
centinaia e 2 palline unità dove stanno le unità, così fa 102.
2.7.2 Luca
Come nell'attività precedente, Luca individua subito come risolvere il problema
introducendo il cambio delle decine, trasferendo così le conoscenze possedute al nuovo
contesto numerico. Possiede il concetto di cambio e sa spiegarlo con chiarezza e sicurezza.
Durante la discussione Luca dice che si possono aggiungere "tante" aste dopo le centinaia e
fare tutte le addizioni che si desiderano. Sa estendere l'abaco e lo utilizza come strumento di
mediazione per ciò che riguarda il valore posizionale delle cifre. Il centinaio è un concetto
posseduto. Recupera informazioni già utilizzate in precedenza per risolvere questo
problema.
Ho messo le unità nell'asta delle unità e le decine nell'asta delle
decine poi ho calcolato, ma nell'asta delle unità ce ne sono più di
9. Allora ho preso 10 unità e le ho cambiate con una pallinadecina. Poi anche nell'asta delle decine sono più di 9. Allora ho
preso 10 decine e le ho cambiate con 1 pallina-centinaia.
2.7.3 Fabio
Nella prima attività relativa al cambio delle unità, Fabio non era riuscito a risolvere il
problema. Ora, si è impossessato dell'abaco come strumento di calcolo e introduce il cambio
delle centinaia in modo corretto. In un primo momento estende l'abaco alle centinaia
inserendo l'asta delle centinaia a destra delle unità, poi da solo si corregge
disegno).
(come si vede dal
Possiede il concetto di centinaio. La sua verbalizzazione non ci dà ulteriori
informazioni su come sia avvenuto il processo di strumentazione, ma la sofferta
rappresentazione grafica ci comunica che questo è certamente in atto.
Metto 5 unità e poi 6 decine, dopo metto 7 unità e scopro che
rimangono 3 unità fuori (fa il cambio delle unità lo disegna
soltanto e non lo scrive). Infine, cambio 10 decine con una
pallina-centinaia.
2.7.4 Barbara
Ha individuato subito come risolvere la situazione, così come aveva fatto nell'attività
precedente riguardante il cambio delle unità. Spiega passo a passo il procedimento con
chiarezza e accompagna tutti i passaggi con il disegno. Utilizza il cambio delle decine con
padronanza. Possiede il concetto di centinaio e quello di valore posizionale delle cifre. Sa
utilizzare l'abaco come utile strumento per risolvere situazioni problematiche.
Prendo le unità del primo numero in questo caso il
numero è 65 e le unità sono il 5, infilo le unità
nell'asta delle unità dove in basso c'è scritto u. Poi
passo alle decine che in questo caso sono il 6. Poi
nello stesso abaco metto anche le unità del 37 (cioè il
7). Ma mi accorgo che ci stanno solo 4 palline, allora
ne raggruppo 10 e le cambio con 1 pallina-decina.
Poi metto le
decine in questo caso il 3, ma mi
accorgo che non ci stanno neanche quelle e le 10
decine le scambio con 1 pallina-centinaia. Il risultato
è 102.
2.7.5 Alessandro
L'alunno fa proprio l'abaco come strumento per calcolare, mentre questo processo era
completamente assente nella prima attività dove tentava di usare il calcolo in colonna
poiché riteneva l'abaco uno strumento inadeguato alla situazione. Individua bene quale sia il
problema nel testo e subito lo comunica nella sua verbalizzazione. Estende l'abaco dalla
parte esatta ed esegue il cambio delle decine, ma fatica a verbalizzare il procedimento,
infatti scrive che cambia "una decina con una centinaia" mentre nel disegno raggruppa 10
decine e mette un centinaio al posto giusto, mostrando così di possedere il concetto di
centinaio e di valore posizionale delle cifre.
C'è un problema quando metti 7 unità nell'asta
rimangono 3 palline fuori allora cambi con una pallinadecina, ma l'asta (delle decine) è già piena allora rimane
fuori una pallina-decina. Cambio una decina per una
centinaia e metto 0 decine , 2 unità e così fa 102.
2.7.6 Erica
Erica non riesce ad estendere il cambio alle centinaia, anche se il risultato dell'operazione è
corretto. Cambia dieci unità con una decina, verbalizza questo unico passaggio e poi si
blocca. Recupera un metodo già utilizzato, ma non sa applicarlo ad una nuova situazione.
La sua verbalizzazione risulta faticosa e molto stringata e ci mostra la non chiarezza
dell'allieva e il mancato processo di strumentazione relativamente all'abaco.
Ho messo le unità e le decine, ho raggruppato 10 unità e poi ho
cambiato le unità con una decina e fa 102.
3. DISCUSSIONE
L'abaco, artefatto culturale, sotto la guida dell'insegnante è stato trasformato in strumento,
che ha permesso l'introduzione di alcuni concetti matematici e ha sollevato una serie di
"nuovi" problemi quali l'estensione del cambio oltre i numeri conosciuti, l'ampliamento
dell'ambito numerico, l'introduzione del concetto di centinaio, il collegamento tra addizione
con l'abaco e addizione in colonna e l'approfondimento del valore posizionale delle cifre.
Durante tutto il lavoro si è cercato di favorire l'interiorizzazione della strategia di cambio,
sollecitando gli allievi ad operare concretamente con lo strumento e a verbalizzare
(aiutandosi con il disegno dell'abaco grafico) la sequenza delle operazioni necessarie, e si è
cercato di analizzare il processo di internalizzazione del principio posizionale per scrivere i
numeri.
Per la classe è stata la prima attività in cui gli alunni hanno dovuto verbalizzare una
situazione matematica, ciò spiega le molteplici difficoltà incontrate nei loro elaborati. Si può
notare dai protocolli analizzati che questo lavoro di ricerca ha portato progressivamente a
cambiamenti, infatti, nella seconda attività (relativa al cambio delle decine) un maggior
numero di alunni ha trovato una soluzione. Inoltre, anche in seguito, quando è stato
abbandonato l'uso concreto dell'abaco per addizionare e si è passati al calcolo in colonna
con il cambio, parecchi alunni al momento di indicare il riporto ricordavano e portavano
come giustificazione del riporto l'esperienza vissuta in precedenza: "togliere dall'asta le
unità e cambiarle con una decina da mettere nella colonna delle decine", utilizzavano cioè
un abaco mentale.
Questa attività è stata proposta anche per sottolineare l'importanza di partire nel calcolo
dalle unità. In seguito, l'insegnante ha recuperato l'intervento di un alunno (Luca) che in un
momento collettivo aveva sostenuto: "… si possono aggiungere tante aste dopo le centinaia
e fare tutte le addizioni, anche quelle con i numeri molto grandi che faremo in terza …" .
I possibili significati di questa frase sono diventati argomento di riflessione da parte della
classe. Parecchi alunni, stimolati dall'intervento del compagno, senza incontrare particolari
difficoltà sono arrivati a scoprire i numeri oltre l'ambito delle centinaia, argomento appena
introdotto che verrà poi ripreso in terza (come ha detto Luca!). Questo fa notare una non
separazione tra il cambio nell'addizione e il valore posizionale delle cifre e come una attività
può influire sull'altra.
A questo punto il lavoro ci suggerisce e ci apre alcune problematiche, potremmo chiederci
per esempio: "Come sarebbe stata l'attività senza l'utilizzo dell'abaco?", oppure "Cosa fare
per i bambini come Erica o altri che ancora non hanno l'abaco come strumento?", ancora
"Come avrebbero affrontato i bambini la seconda attività senza aver prima introdotto il
centinaio?", "In che misura questo lavoro aiuterà gli allievi ad eseguire la sottrazione con il
cambio?" ed inoltre, essendo stata questa la prima attività per la classe di verbalizzazione di
un problema matematico "Quanto influirà sulle prossime proposte di ricerca?".
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