La mat. e i suoi mod.

La matematica e i suoi modelli
Un esempio tratto dalla vita quotidiana
Scheda 2
1. Quanto costa un viaggio in treno?
2. Come descrivere il procedimento di calcolo
3. Quale tipo di biglietto conviene?
4. La Freccia delle Dolomiti
5. Esercizi
1. Quanto costa un viaggio in treno?
Come avrete capito, le vacanze dei signori Van Per Tren sono un pretesto per proporvi alcuni
esercizi con cui riprendere confidenza con le nozioni di matematica che avete studiato nella scuola
media inferiore e introdurre il lavoro che svolgeremo quest'anno. Nella realtà chi intraprende un
viaggio si pone qualche problema in meno dei nostri amici. Comunque andiamo avanti nella nostra
finzione.
I Van Per Tren, che cercano di amministrare nel miglior modo possibile i soldi che hanno deciso
di spendere per le vacanze, oltre al problema del tempo impiegato dai vari treni, si pongono anche
quello del costo del viaggio.
1
Abbiamo visto che il percorso Bologna-Verona-Vicenza è lungo 166 km e che il percorso
Bologna-Padova-Vicenza è lungo 154 km. Consultando lo specchietto con le tariffe di 2a classe
(in vigore nell'estate 1991) riportato nell'orario dei Van Per Tren (vedi tabella (1.1)), stabilite se
uno dei due itinerari è meno costoso e, in caso affermativo, qual è.
(1.1)
km
1-10
11-20
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
101-125
tariffa
1100
1400
2100
2800
3500
3800
4400
5100
5700
6300
7800
km
126-150
151-175
176-200
201-225
226-250
251-275
276-300
301-325
326-350
351-400
401-450
tariffa
9300
10800
12200
13700
15200
16700
18200
19600
21100
24100
27100
km
451-500
501-550
551-600
601-650
651-700
701-750
751-800
801-850
851-900
901-950
951-1000
tariffa
30000
33000
35900
38900
41900
44800
47800
50800
53700
56700
59600
km
1001-1100
1101-1200
1201-1300
1301-1400
1401-1500
1501-1600
1601-1700
1701-1800
1801-1900
1901-2000
2001-2100
tariffa
60900
62200
63500
64800
66100
67300
68600
69900
71200
72500
73800
km
2101-2200
2201-2300
2301-2400
2401-2500
2501-2600
2601-2700
2701-2800
2801-2900
2901-3000
tariffa
75000
76300
77600
78900
80200
81500
82700
84000
85300
Osservando lo specchietto i Van Per Tren si accorgono che le tariffe, che aumentano
all'aumentare della percorrenza, non crescono in modo regolare: per 200 km il prezzo è circa 12
mila lire, per 2000 km non è 10 volte tanto, cioè 120 mila lire, ma solo 72500 lire. Per organizzarsi i
prossimi viaggi nel modo più conveniente, i nostri meticolosi amici cercano di capire meglio come
variano le tariffe.
La signora Van Per Tren, che per mestiere fa l'insegnante di matematica, esaminando la tabella
riesce a capire l'andamento delle tariffe. Noi cercheremo di aiutarci con un grafico su carta
quadrettata del prezzo del biglietto al variare della percorrenza ( figura 1).
Come si vede il grafico ha un andamento a scalini. Ad esempio se la percorrenza è di 151, 152,
153, …, 174 o 175 km la tariffa è comunque di 10800 lire: a questo intervallo di chilometri
corrisponde un tratto di grafico orizzontale; quando si passa al 176° chilometro di percorrenza la
tariffa scatta a 12200 lire. Non vi sono tariffe intermedie per viaggi in 2a classe. E in effetti se
sull'asse verticale prendiamo il valore 11500 lire e tracciamo a questa altezza una retta orizzontale,
non incontriamo alcun punto del grafico.
Il grafico di figura 1 si ferma ai primi 400 chilometri. Per percorrenze così brevi le tariffe
crescono più o meno in proporzione alla lunghezza del percorso. Infatti i tratti orizzontali che
costituiscono il grafico si dispongono approssimativamente lungo una retta passante per l'origine,
come si può vedere meglio nella figura 2.
figura 1
figura 2
La figura 3 richiama il significato della proporzionalità.
figura 3
Sono raffigurati diversi rettangoli con due lati sugli assi coordinati.
Muovendo lungo la retta r il vertice P del rettangolo tratteggiato, questo viene ingrandito (se P
viene allontanato dall'origine degli assi O) o rimpicciolito (se P viene avvicinato a O) mantenendo
la stessa forma: le dimensioni, base e altezza, variano in proporzione, cioè vengono moltiplicate per
uno stesso numero (questo numero è la scala).
In altre parole il rapporto base/altezza è costante: se la base è tot volte l'altezza, in tutte le
riproduzioni proporzionate la base continua a essere tot volte l'altezza.
Invece il rettangolo ottenuto spostando il vertice P nel punto Q non appartenente a r è un
ingrandimento sproporzionato del rettangolo tratteggiato: la base è stata ingrandita maggiormente
dell'altezza.
Riassumendo queste osservazioni si può dire che le
coordinate dei punti di una retta passante per l'origine (come
r) sono proporzionali, cioè il rapporto tra ordinata e ascissa è
sempre eguale.
Analogamente nel caso delle tariffe ferroviarie al
raddoppiare o triplicare o … della percorrenza anche il prezzo
viene approssimativamente moltiplicato per 2 o per 3 o ….
Dal grafico (vedi figura 4), ovvero dalla tabella, si vede che
ogni 100 chilometri la tariffa aumenta di circa 6 mila lire. Del
resto per 400 km il prezzo è circa 24 mila lire e, quindi,
essendo le tariffe più o meno proporzionali alla percorrenza, il
figura 4
costo di ogni chilometro è circa 24000:400=60 lire.
Questo (60 lire/km) è il rapporto approssimativo tra prezzo
e percorrenza.
In conclusione possiamo dire che per percorrenze non troppo lunghe le tariffe crescono
"regolarmente" all'aumentare della lunghezza del percorso e che il prezzo, 100 lire più, 100 lire
meno, è dato dalla formula:
(1.2)
PREZZO = (n° di CHILOMETRI PERCORSI) · 60 lire
Il punto a mezza altezza "·" è un simbolo per indicare la moltiplicazione. Lo useremo spesso in
alternativa al simbolo "x". Una formula che, come questa, abbia la forma "…=…", cioè sia
costituita da due termini separati dal simbolo di eguaglianza, viene detta anche equazione.
La formula (1.2) rappresenta le tariffe ferroviarie in forma assai più concisa rispetto alla tabella
(1.1). Tuttavia non le rappresenta esattamente, ma in forma approssimata. Il modello "tabella" è
indispensabile se si vuole conoscere esattamente il costo di un viaggio, il modello "formula" ha il
vantaggio di essere facilmente memorizzabile e di essere così impiegabile quando non si abbia
sottomano il tariffario.
2
La formula (1.2) ha un altro limite: rappresenta le tariffe solo finché queste sono proporzionali
alle percorrenze. I Van Per Tren hanno già notato che ciò non accade più ad esempio nel caso di
un percorso di 2000 km. Confronta i valori che si ottengono con la formula e con la tabella nei
casi sotto elencati.
formula
tabella
formula
250 km
500 km
1000 km
1250 km
750 km
1500 km
tabella
La formula (1.2) per percorrenze superiori a 1000 km non va più bene, come si vede anche sul
grafico che rappresenta tutta la tabella delle tariffe (vedi figura 5). La retta punteggiata è la stessa
retta delle figure 2 e 4: rappresenta i prezzi così come risulterebbero dalla formula (1.2). Oltre i
1000 km la retta si allontana dal grafico.
figura 5
Dopo i 1000 km le tariffe crescono più lentamente. Prima aumentavano di circa 60 lire ogni
chilometro. Oltre i 1000 km come variano le tariffe?
Dalla fig. 5 si vede che pure oltre i 1000 km il grafico tende nuovamente a disporsi lungo una
retta, anche se questa ha una pendenza minore di quella corrispondente alle percorrenze più brevi.
Ciò ci dice che anche oltre i 1000 km a un aumento della percorrenza corrisponde un aumento più o
meno proporzionale del prezzo.
Da 1000 km (60 mila lire circa) a 3000 km (85 mila lire circa), cioè aggiungendo 2 mila km di
percorrenza, il prezzo aumenta di circa 25 mila lire. 25 mila lire per 2 mila km corrispondono per
ogni chilometro a un aumento di 25mila:2mila=12.5 lire.
Quindi se la percorrenza eccede i 1000 km la formula diventa:
(1.3)
ovvero:
3
PREZZO = 60000 + (n° di CHILOMETRI PERCORSI OLTRE I 1000) ·
12.5 lire
PREZZO = 60000 + (n° di CHILOMETRI PERCORSI – 1000) · 12.5 lire
Calcolate i prezzi per 1250 e 1500 km impiegando (1.3) e confrontateli con quelli ottenuti nel
quesito 2.
1250 km
1500 km
Il grafico in fig. 6 consiste di due tratti rettilinei
raccordano nel punto (1000 km,60 mila
Il primo, da 0 a 1000 km, rappresenta la formula
Il secondo, oltre i 1000 km, rappresenta la formula
che si
lire).
(1.2).
(1.3).
Abbiamo introdotto le formule (1.2) e (1.3) e il grafico di
fig. 6 come rappresentazioni semplificate della tabella
(1.1) e del grafico di
fig. 5. In realtà l'aspetto più
importante è che esse ci consentono di comprendere il
ragionamento seguito da chi ha predisposto la tabella delle
tariffe:
figura 6
– chi amministrava le Ferrovie ha voluto ridurre il prezzo chilometrico per le lunghe percorrenze;
ha fissato in 1000 km la soglia dopo cui applicare la riduzione e ha fissato in 60 lire/km e 12.5
lire/km i prezzi chilometrici per i primi 1000 km di percorso e per i chilometri successivi;
– quindi, per facilitare il pagamento dei biglietti e per ottenere una tabella non troppo lunga, ha
raggruppato le percorrenze in intervalli (1-10, 11-20, …, 2901-3000) e ha approssimato le tariffe
alle centinaia di lire.
2. Come descrivere il procedimento di calcolo
Aprendo una parentesi osserviamo che le formule (1.2) e (1.3) possono essere unificate
ricorrendo al seguente schema, dove, tralasciando le unità di misura, con percorrenza e prezzo
abbiamo indicato, rispettivamente, il numero di chilometri di percorrenza e il prezzo in lire:
(2.1)
Osserviamo che in (2.1) compare un nuovo tipo di formula: PERCORRENZA > 1000. Formule
come questa, costituite da due termini separati da un simbolo di diseguaglianza (<, >, ≤ o ≥),
vengono dette disequazioni.
Una agenzia di viaggi mette a disposizione dei clienti un calcolatore attraverso il quale essi
possono ottenere facilmente alcune informazioni relative a orari e tariffe per viaggi in aereo e treno.
Sulla parte bassa dello schermo del calcolatore, che è sensibile al contatto con le dita, appaiono
raffigurati 4 piccoli "bottoni" con le scritte "aerei-orari", "aerei-tariffe", "treni-orari", "treni-tariffe".
Se si tocca un bottone il calcolatore fa comparire nella parte alta dello schermo delle domande
rispondendo
alle
quali
l'utente
può
ottenere
le
informazioni
desiderate.
Per quanto riguarda i treni l'agenzia non ha predisposto il calcolatore alla stampa dei prezzi esatti
come risultano dalla tabella (1.1): fornire al calcolatore tutti i dati della tabella avrebbe richiesto
troppo tempo, e sarebbe stato un lavoro da rifare dopo pochi mesi; infatti le tariffe cambiano
frequentemente. Del resto a chi chiede informazioni non interessa la tariffa esatta ma è sufficiente
una stima di essa. Il calcolatore è stato quindi predisposto al calcolo approssimato dei prezzi
secondo lo schema (2.1).
figura
7
In figura 7 è riprodotto lo stato dello schermo dopo la selezione di
"treni-tariffe" e la richiesta di alcuni prezzi. Finché l'utente non
preme un altro bottone sullo schermo continua a scorrere la richiesta
di una "percorrenza" e la stampa del relativo "prezzo".
Per descrivere più completamente ciò che il calcolatore deve fare
quando viene toccato il bottone "treni-tariffe", al posto di (2.1)
possiamo impiegare il seguente schema:
(2.2)
oppure a una scrittura come la seguente:
(2.3)
(1)
SCRIVI "n° di km?"
(2)
LEGGI PERCORRENZA
(3)
VAI A CAPO
(4)
SE PERCORRENZA > 1000 SALTA A (7)
(5)
PONI PREZZO = PERCORRENZA · 60
(6)
SALTA A (8)
(7)
PONI PREZZO = 60000 + (PERCORRENZA – 1000) ·
12.5
(8)
SCRIVI PREZZO
(9)
SCRIVI "lire"
(10) VAI A CAPO
(11) SALTA A (1)
(2.2) e (2.3) sono modi equivalenti per descrivere lo stesso procedimento di calcolo:
rappresentano entrambi "le istruzioni d'uso" per calcolare approssimativamente le tariffe
ferroviarie. (2.2) utilizza anche rappresentazioni grafiche (riquadri, frecce). Invece (2.3) ricorre
soltanto a lettere, cifre e alcuni simboli (parentesi, +, =, …), cioè a caratteri tipografici, del tipo di
quelli presenti sulla tastiera di una macchina da scrivere o di un calcolatore. Le parole che abbiamo
messo in grassetto hanno un significato convenzionale: con LEGGI PERCORRENZA si vuole
indicare che il calcolatore deve leggere il numero che è stato battuto sullo schermo e prenderlo
come valore di percorrenza, con SALTA A (6) si vuole indicare che il calcolatore deve saltare alla
riga (6), …
Uno schema come (2.2) viene detto diagramma di flusso: il "flusso" dell'esecuzione, cioè l'ordine
con cui sono da eseguire le varie istruzioni (leggere, scrivere, calcolare un valore, …), è indicato
dalle frecce.
Nella sequenza (2.3) le istruzioni vengono eseguite dall'alto verso il basso, a meno che non si
incontri un'istruzione che modifichi il flusso dell'esecuzione facendo "saltare" a una riga diversa
dalla successiva. Il fatto che non si ricorra a frecce rende (2.3) "leggibile" da parte di un
calcolatore: basta predisporlo a leggere un carattere dopo l'altro, riconoscendo quando alcuni
caratteri formano una parola a cui deve corrispondere una azione (come scrivi, salta a, …) o
formano un numero o … . Una sequenza come (2.3) viene detta programma.
Ciò che distingue (2.2) e (2.3) dal modo con cui ci esprimiamo usualmente sta nel fatto che viene
impiegato un linguaggio molto scarno, che non dà luogo a ambiguità, doppi sensi o altre difficoltà
di interpretazione, che si basa su poche parole "convenzionali" e pochi simboli e ha frasi che
possono essere formate solo seguendo fedelmente, "meccanicamente", alcuni standard prefissati.
Linguaggi come questi vengono detti formali. I linguaggi formali hanno importanza nella
matematica non solo perché rappresentano il mezzo attraverso cui si può predisporre il
comportamento dei calcolatori; infatti sono stati oggetto di studio ben prima dell'invenzione del
calcolatore. Tuttavia dopo questa hanno assunto un nuovo rilievo e un impiego più esteso.
I linguaggi formali impiegati nella redazione dei programmi (come più in generale la
terminologia informatica: bit, chip, software, …) risentono del fatto che il primo sviluppo delle
tecnologie informatiche, a partire dalla metà del Novecento, ha avuto luogo soprattutto negli Stati
Uniti: le parole convenzionali sono quasi sempre prese a prestito dalla lingua inglese. Ad esempio
invece dei "SALTA A" e "SE" che abbiamo usato in (2.3) in genere si usano "GOTO" e "IF".
4
Il calcolatore impiegato dalla agenzia rispondendo alle richieste di informazioni sul prezzo di
un viaggio di 1200 km e poi su quello di un viaggio di 700 km passa attraverso la seguente
sequenza
di
istruzioni:
(1) - (2) - (3) - (4) - (7) - (8) - (9) - (10) - (11) - (1) - (2) - (3) - (4) - (5) - (6) - (8) - (9)
Con quale ordine segue le istruzioni se calcola prima il prezzo per un viaggio di 900 km e poi
quello per un viaggio di 1500 km?
3. Quale tipo di biglietto conviene?
I Van Per Tren, visto l'andamento delle tariffe, vogliono valutare se, volendo visitare nei giorni
successivi diverse località, convenga fare più biglietti o un biglietto unico (nel caso di lunghe
percorrenze
il
biglietto
vale
per
più
giorni).
Proviamo anche noi a fare questa analisi.
5
Se voglio trasferirmi dalla città A alla città B, distante 300 km, poi, due giorni dopo, alla città
C, distante 350 km e, infine, dopo altri due giorni, alla città D, distante 500 km, mi conviene fare
un biglietto unico o no?
Nel libretto dell'orario ferroviario i Van Per Tren trovano elencate alcune tariffe agevolate. In
particolare soffermano l'attenzione sul biglietto chilometrico: costa 150 mila lire e può essere
impiegato per fare più viaggi, fino a una percorrenza complessiva di 3000 km (può essere impiegato
da 5 persone diverse; i viaggi non devono essere più di 20).
6
(A) Se devo fare un viaggio di 3000 km mi conviene fare un biglietto normale o un biglietto
chilometrico? E se devo fare due viaggi di 1500 km ciascuno?
(B) Se devo fare più viaggi ciascuno di percorrenza inferiore a 1000 km, fino a quanto posso
risparmiare con il biglietto chilometrico?
4. La Freccia delle Dolomiti
I nostri amici olandesi osservano che da Padova si possono
raggiungere in treno le Dolomiti, arrivando fino a Calalzo di Cadore,
posto all'inizio della Valle d'Ampezzo, vicino al Lago di Cadore.
Pensano, quindi, di raggiungere Vicenza facendo scalo non a Verona ma
a Padova, in modo da poter fare una puntata di un giorno nelle km
Dolomiti.
0
Padova
11
Sull'orario notano un treno indicato come Freccia delle Dolomiti, e, 15
stimolati dal nome, che suggerisce alte velocità, pensano di impiegarlo 19
per raggiungere Calalzo.
31
Nella tabella (4.1) sono state riportate dall'orario le ore in cui il treno 48
sosta nelle varie stazioni. Per le stazioni in cui la sosta è più lunga è 56
indicata sia l'ora di arrivo che quella di partenza.
66
83
Stimiamo la velocità media con cui è percorso il tratto Padova- 101
114
Calalzo.
121
+3
+ 0:25
132
158
– 15:30
18:30
18:55: il tempo impiegato è 3 h e 25 min;
↓
1530
Campodarsego 1540
S.Giorgio
1546
Camposampiero 1550
Castelfranco
1602
1622
Montebelluna 1636
Cornuda
1646
Fener
1657
Feltre
1715
Bribano
1733
Belluno
1747
Polpet
1755
Longarone
1808
1855
Calalzo
– la distanza è 158 km;
– il tempo è 3 h e rotti, la distanza è 150 km e rotti, 150=50·3, quindi il
treno in 1 h fa mediamente circa 50 km.
(4.1)
Controlliamo questa stima con la calcolatrice.
7
Calcolate la velocità media con cui il treno percorre il tratto Padova-Calalzo.
distanza (Padova-Calalzo) =
km
tempo (Padova-Calalzo) =
min
velocità (Padova-Calalzo) = distanza/tempo =
km/h
Nota: 1 h = 60 min; quindi per passare da una velocità in km/min al suo valore in km/h occorre
moltiplicare per 60.
Velocità intorno ai 50 km/h non sono certo da "freccia": sono di poco superiori alle velocità che
riesce a tenere un ciclomotore. La signora Van Per Tren, per valutare se la bassa velocità media può
dipendere dalla lunghezza delle soste nelle stazioni e dal fatto che vi sono molte fermate (le quali, in
ogni caso, rallentano la marcia) decide di rappresentare su carta quadrettata il moto del treno (vedi
figura 8).
figura 8
I pallini neri rappresentano la posizione del treno lungo la linea ferroviaria al trascorrere del
tempo, ad esempio quello evidenziato col cerchietto rappresenta il fatto che, secondo la tabella, alle
17:46, dopo 136 minuti dalla partenza, il treno è alla stazione di Belluno.
I pezzi di grafico orizzontali rappresentano le soste nelle stazioni. Ad esempio durante il tragitto
Padova-Calalzo il treno sosta a Castelfranco tra le 16:02 e le 16:22, cioè per 20 minuti, dal 32° al
52° minuto dalla partenza; ciò è rappresentato dal tratto orizzontale (indicato dalla freccia) tracciato
in corrispondenza di Castelfranco.
I Van Per Tren osservano che dove vi sono molte fermate il grafico non ha pendenza inferiore.
Ciò fa svanire l'ipotesi che la lentezza del treno sia dovuta soprattutto alle molte fermate. Ma viene
un'altra idea: la causa principale può essere la natura del percorso: è una linea ferroviaria che dalla
pianura va in montagna; quindi avrà da superare tratti in salita e, presumibilmente, tratti con
numerose curve; se le locomotrici non sono molto efficienti e la strada ferrata non è in buono stato
difficilmente si possono tenere alte velocità.
8
Dal grafico di fig. 8, esaminando le pendenze, individuate il tratto tra due fermate successive
in cui il treno è più lento e quello in cui è più veloce. Quindi usando la tabella (4.1) calcolate la
velocità media del treno in tali tratti.
tratto più lento
velocità
tratto più veloce
velocità
Il tratto in cui il treno viaggia più lentamente è anche il più lungo, e quindi quello in cui la
velocità media risente meno delle fasi di partenza e arrivo in stazione. Ciò sembra confermare l'idea
dei Van Per Tren che la lentezza del treno dipenda dalla natura del percorso. Consideriamo il profilo
altimetrico della linea Padova-Calalzo, in modo da vedere se il tratto in questione affronta
effettivamente una zona particolar-mente montuosa.
In figura 9 il profilo è stato rappresentato impiegando la stessa scala per la distanza da Padova
lungo la linea ferroviaria (asse orizzontale) e per la altitudine (asse verticale): 10 km sono stati
rappresentati con segmenti di eguale lunghezza sui due assi.
figura 9
Per esaminare meglio come varia la pendenza della linea ferroviaria dilatiamo il grafico
verticalmente. Otteniamo (vedi figura 10) un modello meno fedele ma che ci consente di
distinguere meglio i tratti con diversa pendenza. In particolare viene evidenziato come l'ultimo
tratto della linea (Longarone-Calalzo) sia quello con la maggiore pendenza.
figura 10
Come si può esprimere in forma più precisa il concetto di pendenza? Indicando di quanti metri (o
centimetri, millimetri, …) si innalza la strada ogni 100 metri (o centimetri, millimetri, …) di
avanzamento
in
orizzontale.
Ad esempio il cartello stradale riprodotto in figura 11, a sinistra, segnala una discesa pericolosa
con pendenza del 8% (8 per cento): la strada è inclinata come il triangolo disegnato a destra, che ha
la base lunga 100 unità di misura e è alto 8 unità di misura. In altre parole il rapporto tra
spostamento verticale e spostamento orizzontale è lo stesso che intercorre tra 8 e 100: 8/100 = 0.08
=
8
centesimi.
Se percorro un tratto di discesa che corrisponde ad uno spostamento orizzontale di 25 metri mi
abbasso di 8 centesimi di 25 metri, cioè di 25·0.08 = 2 metri.
figura 11
Si noti che nel caso delle pendenze stradali, che possono arrivare a valori di poco superiori al
10%, non c'è grande differenza tra lunghezza della strada percorsa e avanzamento orizzontale. Ad
esempio nel caso sopra raffigurato la base del triangolo e il lato obliquo hanno lunghezza pressoché
eguale. In particolare, nel caso della nostra linea ferroviaria, che come abbiamo visto (vedi figura 9)
è assai meno inclinata del triangolo raffigurato, possiamo considerare praticamente eguali
l'avanzamento in orizzontale e la lunghezza della strada ferrata percorsa.
9
Dalla figura 10 si vede che il dislivello tra Longarone e Calalzo e poco più di 300 metri. La
distanza tra Longarone e Calalzo è circa 25 km, cioè circa 25000m. Qual è,
approssimativamente, la pendenza di questo tratto di linea ferroviaria?
rapporto tra dislivello e distanza = 300/25000 = 0.012 =
centesimi =
%
5. Esercizi
In questa seconda scheda abbiamo richiamato altri tipi di modelli matematici: tabelle e equazioni
per esprimere il legame tra due grandezze (nel nostro caso tra percorrenza e prezzo) e loro
rappresentazioni grafiche, i concetti di rapporto e di proporzionalità, descrizioni di procedimenti di
calcolo mediante linguaggi formali (diagrammi di flusso e programmi), il concetto di pendenza, …
Abbiamo visto anche in questa scheda che l'impiego di modelli matematici opportuni, per quanto
spesso dia luogo a rappresentazioni semplificate delle situazioni, può facilitare le decisioni, la
comunicazione,
la
comprensione
dei
fenomeni,
….
Ad
esempio:
– individuare l'andamento delle tariffe ferroviarie, al fine di comprendere la logica con cui sono
state
formulate
o
di
ottimizzare
la
scelta
del
biglietto,
– schematizzare un procedimento di calcolo in modo da poterlo comunicare ad un calcolatore,
– studiare il movimento di un treno e le caratteristiche della strada che deve percorrere.
Abbiamo riosservato che i fenomeni possono essere rappresentati con modelli differenti (tabelle o
equazioni, forma numerica o grafica, diagrammi di flusso o programmi, …), che possono avere
impieghi e vantaggi diversi a seconda del contesto d'uso.
Negli esercizi che seguono vi vengono proposte alcune attività relative agli esempi e agli
strumenti matematici considerati nella scheda.
10
Scrivi su un foglio le frasi con cui spiegheresti per telefono come calcolare il prezzo del
viaggio Belluno-Calalzo a una persona che abbia sottomano un orario ferroviario simile a
quello dei Van Per Tren (indice grafico in prima pagina, tabella con le tariffe in ultima pagina,
quadri orari nelle pagine intermedie). Supponi che la persona non abbia pratica di orari
ferroviari e che tu non abbia sottomano un orario ferroviario per dirgli direttamente il prezzo.
Ricorda che devi spiegare alla persona sia come calcolare il chilometraggio che come da questo
risalire al prezzo del biglietto.
11
12
Quale tra
i tre grafici
a
lato
potrebbe
rappresentar
e quanto si
deve pagare
in
un A
negozio per
l'acquisto di
una
certa
quantità di
patate?
Perché hai
escluso gli
altri
due
grafici?
B
C
Quale tra
i tre grafici a
lato
potrebbe
rappresentar
e le ore di
sole tra il
A
novembre
2001
e
l'agosto
2003?
Perché hai
escluso gli
altri
due
B
grafici?
C
13
14
Mario
acquista
una scheda
telefonica
da 5 mila
lire
all'inizio di
settembre e
la esaurisce
con varie A
telefonate
in
una
decina di
giorni.
Quale dei
tre grafici
seguenti
potrebbe
rappresenta
re il valore
B
della
scheda
telefonica
di
Mario
dal
momento
dell'acquist
o a quello
del
suo
esauriment
o? Perché
hai escluso
gli altri due
grafici?
C
Il diagramma di flusso seguente rappresenta il procedimento seguito dal calcolatore
dell'agenzia di viaggi ( paragrafo 2) per determinare le tariffe ferroviarie che erano in vigore
dall'autunno 1990 alla primavera 1991.
Dopo aver calcolato il valore dei prezzi relativi ad alcuni opportuni chilometraggi, su un foglio di
carta millimetrata (o quadrettata) traccia il grafico del prezzo determinato dal calcolatore al variare
della percorrenza da 0 a 3000 km (cioè il grafico analogo a quello di fig. 6, relativo alle tariffe in
vigore
nell'estate
1991).
Quindi rispondi alle seguenti domande:
(a) Nel caso del grafico di fig. 6 per il tracciamento sarebbe stato sufficiente congiungere i punti (0
km, 0 lire), (1000 km, 60000 lire) e (3000 km, 85000 lire). Nel caso del grafico che hai appena
tracciato
quali
punti
sarebbe
stato
sufficiente
congiungere?
(b)
Utilizzando il grafico, stima le percorrenze corrispondenti alle seguenti tariffe:
14500 lire,
km 44500 lire,
km 60000 lire,
km
Provate a calcolare mentalmente (come fareste in una situazione normale, senza ricorrere a
meccanismi di calcolo scolastici) il tempo (in min) che trascorre tra le seguenti coppie di ore e
descrivete su un foglio il ragionamento che avete impiegato per ciascuna di esse.
(a) dalle 18:11 alle 21:20, (b) dalle 13:26 alle 15:24, (c) dalle 10:57 alle 16:29,
(d) dalle 7:38 alle 9:06.
Indichiamo con m i minuti trascorsi tra l'ora h1:m1 e l'ora h2:m2 dello stesso giorno (ad
16
esempio nel caso (a) del quesito 15 h1 è 18, m1 è 11, h2 è 21 e m2 è 20 mentre m, se hai fatto i
calcoli giusti, è 189). Si vuole preparare un programma per calcolare m mediante un
calcolatore. Quale o quali tra le seguenti formule è corretto impiegare? (in aiuto o a conferma
delle tue conclusioni fai una verifica con i dati del quesito 15) Prova a spiegare gli errori
commessi nella o nelle formule scorrette.
15
(1) m = (h2·60 + m2) – (h1·60 + m1)
(2) m = (h2 – h1)·60 + (m2 – m1)
(3) m = h2·60 + m2 – h1·60 + m1
(4) m = (h2 – h1)·60 + m2 – m