Esercizi per il Corso di Automazione dei Processi Chimici AA

Corso di Dinamica e Controllo dei Processi: Esercizi AA. 2013-2014
(I° parte a comune: corso da 6 CFU; Ing. Chimica e Ing. Energetica)
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Nota: Ogni esercizio prevede impostazione del problema, sviluppo, alcune simulazioni e grafici significativi
con Matlab, osservazioni e commenti. Da fare al massimo in 2 persone.
(*)= Opzionali
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1) Nel sistema schematizzato in Figura 1 (ambiente di volume V=50 m3, inizialmente a concentrazione C0,
perfetto miscelamento), si ha generazione di un inquinante G con andamento sinusoidale (da 0 a 10 g/h, con
ciclo giornaliero) ed è prevista la ventilazione di una portata Q, a concentrazione Ci.
Valutare la possibilità di mantenere la concentrazione al di sotto di un valore massimo Cmax=10*Ci, a
partire da un valore iniziale (Co=Ci=5 mg/m3), agendo sulla portata di ventilazione.
Co, C(t)
Q, C(t)
Q, Ci
G
Fig. 1
2) I due processi rappresentati in Figura 2, sotto ipotesi opportune, possono essere ricondotti a sistemi lineari
del secondo ordine. Ricavare il modello dinamico per i due processi (dominio tempo e nel domino s),
mettendo in evidenza le diverse ipotesi. Studiare nel primo caso l’andamento nel tempo del livello (h2) in
funzione della portata (q, variazione a gradino); nel secondo caso l’andamento nel tempo della temperatura
del bulbo (Tb, proporzionale alla fem), in funzione della Temperatura del fluido (Tf, variazione sinusoidale).
Domande: Nel caso del gradino, sono possibili andamenti non monotoni? Nel caso della sinusoide, è
possibile avere una risposta con un errore minore del 10% rispetto all’ingresso?
(*) Nel caso dei due serbatoi, ricavare anche la soluzione esatta (senza linearizzazione) e studiare gli
andamenti dei due livelli (h1, h2), al variare dell’apertura della valvola sull’uscita dal secondo elemento.
Fig. 2
q
(b)
h1
q1
h2
3) Dati due sistemi in parallelo P1 e P2 riportati in Figura 3, determinare le condizioni per avere risposta
inversa e riportare gli andamenti nel tempo per alcuni casi significativi, per i due casi:
K1
K2
K ( s  1)
K2
, P 2
P 1 1
; P2 
1) P 1
;
2)
2
( 2 s  1)
( 1 s  1)
( 2 s  1)( 3 s  1)
( 1 s  1)
Fig. 3
Studiare in generale quale è l’effetto di un numero pari di zeri positivi sulla risposta a gradino di un sistema
(il problema della risposta inversa si pone o no?).
(*) Dimostrare che la presenza di un numero dispari di zeri positivi è condizione necessaria e sufficiente
perché un sistema esibisca risposta inversa.
1
4) Dato il processo, rappresentato in forma polinomiale da:
9 s + 20
----------------------------------------------------10 s^4 + 130 s^3 + 122.6 s^2 + 32 s + 9.6
Ricavare guadagno, costanti di tempo, zeri, poli del sistema. Sviluppare un modello di ordine ridotto del
sistema, trascurando i poli non dominanti e verificarne la bontà dell’approssimazione confrontando le
risposte nel tempo.
(*) studiare la risposta al gradino e all’impulso, mettendo in evidenza i contributi dei diversi poli.
5) Un sistema con riciclo può essere rappresentato con lo schema a blocchi riportato in Figura 4 (Feedback
positivo). Nell’ipotesi che sia P che Pr siano processi del primo ordine, studiare i poli del sistema e
rappresentare le risposte nel tempo per un ingresso a gradino, al variare dei parametri del riciclo (in
particolare del guadagno Kr).
Fig. 4
Pr
+
x
P
y
6) Studiare la stabilità dei seguenti sistemi;
P1 
5
(10 s  1) 2 (2 s  1)
; (regolatore P, PI- con tuning ZN);
Regolatore PI: considerazione su effetto dell’azione I su stabilità; corrispondenza tra poli in anello chiuso e
risposta nel tempo; significato e verifica della frequenza critica ω*; necessità di concordanza di segno tra
regolatore e processo (KcKp >0).
P2 
P3 
as  1
;
(bs  1)(cs  1)
e 5s
( s  1)(s  2)
(a,b,c >0; a=0; b,c>0) possibilità di stabilizzazione con regolatori PID.
(regolatore P: effetto dell’ordine dell’approssimazione di Padé su Kmax e ω*)
,
7) Con riferimento allo schema in Figura 5, con P(s), Pd(s) di tipo FOPTD, (con valore dei parametri: K=-2;
 Kd=5,d
 Effettuare un tuning di regolatori PI e PID con le tre diverse tecniche (Ziegler&Nichols-ZN, Curva di
Reazione-CRe, Curva di Risposta-Cri),
 Confrontare le risposte di un regolatore PI/PID con una simulazione delle risposte in circuito chiuso per
un ingresso a gradino y(r) e y(d),
 Per il caso del regolatore PI, y(r), confrontare le risposte sulla base dei parametri caratteristici (Se, a, r)
e dei valori degli indici integrali: IAE, ISE, ITAE,
 Analizzare l’andamento dell’azione di controllo nel caso di regolatore PI (y(r) e y(d)), e valutare il
valore per t∞.
- (*) effettuare un tuning per tentativi in grado di dare il minimo tempo di risalita nella risposta y(r) con il
vincolo Se<5%: la risposta più veloce che rispetta il vincolo può essere considerata la “migliore”?.
Fig. 5
d
Pd
r
C
P
y
-
2
8) Dato il processo con risposta inversa: P2 
 5s  1
;
(10s  1) 2 (2s  1)
fare il tuning e il confronto delle risposte nel tempo di regolatori PI, aventi come funzione obiettivo la
minimizzazione degli indici integrali IAE, ISE, ITAE.
(Risoluzione per tentativi su griglia di valori di KC e τI, con grafico tridimensionale dei valori della funzione
obiettivo). (*) Opzionale: Uso della funzione Matlab fminsearch.
9) Nel caso dell’esercizio 7 (regolatore PI), il sistema deve essere sottoposto ad un programma di
temperatura, che partendo da condizioni iniziali di equilibrio (To=50°C): prevede 2 cicli con mantenimento a
T=200°C per 2 ore e ritorno alle condizioni iniziali per 1 ora. All’inizio del secondo ciclo entra nel sistema
un disturbo sinusoidale: d=A(1+ sin(ωt)), con A=10°C, ω=1 rad/min).
Studiare gli andamenti di risposta e azione di controllo al variare del guadagno del regolatore (max: 3 valori).
10) Nello schema in Fig.6, P1 e P2 sono processi di tipo FOPTD (ritardi: θ1=2, θ2=12, rispettivamente).
A) Progettare (tecnica ZN) i regolatori (di tipo PI) nei due casi con/senza cascata e verificare l'efficacia del
controllo in cascata nell'abbattimento del disturbo d1 di tipo a gradino.
B) Confrontare gli effetti di due semplificazione del progetto: B1) C1 di Tipo P; B2) C1=f(P1), C2=f(P2) sulle
prestazioni del sistema. (Oss: in tutti i casi bastano due grafici sovrapposti).
Fig.6
d1
d2
y
r
C2
-
C1
-
P1
P2
11) Nello schema riportato in Fig.7, P e Pd sono due processi del tipo primo ordine più ritardo.
A) Verificare il funzionamento e l’efficacia del controllo in avanti (FF) confrontato con il semplice controllo
in retroazione (FB), nelle diverse forme: ideale, dinamico e statico, per il caso ( <d), studiando le risposte e
le azioni di controllo prodotte dai due regolatori.
B) (*) Valutare la robustezza del regolatore FB da solo e del sistema complessivo (FB+FF) in presenza di
errore crescente sui ritardi ϴd e ϴ (separatamente).
Fig.7
d
CFF
r
-
-
CFB
d
CFF
r
CFB
-
-
Pd
P
y
Pd
P
y
-
12) Con riferimento allo schema di un forno di combustione (riportato di seguito con solo controllo FB),
delineare gli schemi di controllo di base della temperatura di uscita, includendo neutralizzazione di disturbi
sulla portata di combustibile, controllo di rapporto aria/combustibile, controllo in avanti per variazioni della
portata di alimentazione. Trovare la corrispondenza tra le variabili in un Diagramma a Blocchi.(*) costruire
un modello dei processi e studiare le risposte (assumendo dinamiche plausibili).
Fig8.
3
Esercizi per il Corso di Dinamica dei Processi Chimici AA. 2013-2014
(2° parte (+3 CFU) per corso da 9 CFU Laurea Magistrale in Ingegneria Chimica)
(*) opzionale
1) Analisi Frequenziale e Stabilità
1. Sistema FOPTD: costruire diagrammi di Bode e Nyquist dei singoli componenti e comporre i
diagrammi complessivi.
2. Studiare l’effetto dei parametri K, θ, τ su andamenti di modulo e fase e quindi sulla stabilità del
sistema (diagrammi di Bode e Nyquist).
3. Aggiunta della componente PI e PID con tuning Z&N: Valutare lo “spostamento” in un diagramma
di Nyquist ad alcune frequenze caratteristiche (in particolare alla frequenza critica (ω*) .
4. (*) verificare che per dinamiche il tuning Z-N può dare luogo a instabilità (anche nel caso PID).
2) Margini di Guadagno (Gm) e di Fase (Pm)
Con riferimento ad un processo FOPTD (2 casi con e regolatore PI:
1. Effettuare il tuning con specifiche su Gm e Pm e verificare gli effetti sulla risposta nel tempo per
valori crescenti dei margini.
2. Valutare Gm e Pm per regolatori sintonizzati con tecniche diverse (Z&N, Curva di Risposta)
3. Valutare la robustezza del regolatore per errori crescenti su guadagno e sul ritardo del regolatore in
termini di risposta nel tempo e di indici di prestazione (IAE, ITAE), con osservazioni sintetiche
sull’effetto dei due parametri.
3) Progetto del regolatore in frequenza
Con riferimento ad un processo FOPTD (2 casi con e regolatore PI (tuning iniziale Z&N):
1. Verificare la corrispondenza tra i parametri caratteristici della funzione complementare di sensibilità
η(ω) e quelli della risposta nel tempo.
2. Per un caso (regolatore PID), adottare la tecnica di tuning approssimata che suggerisce di scegliere:
il valore della costante di azione integrale in modo da effettuare una pseudo-inversione del processo
secondo la relazione:
n
 I   / 2   (1 / pi)
1
- il guadagno KC in modo da limitare il massimo della funzione complementare di sensibilità
- la costante D in modo da ottenere la massima banda passante
e analizzare le risposte in caso di variazione del riferimento e di abbattimento di disturbi a gradino (riportare
le risposte nello stesso grafico: prima Y(r) e poi, raggiunto lo stazionario Y(d)).
4) Analisi in frequenza di schemi di Controllo in Cascata (e in Avanti)
Nello schema in cascata riportato in figura 9, i processi Pi,, Pe, Pd sono FOPTD (Pd=Pi) e il disturbo è di tipo
sinusoidale d= A sin (t), con frequenza variabile; i regolatori sono di tipo P (Ci) e PI (Ce).
Analizzare il campo di frequenza nel quale è possibile attenuare l’effetto del disturbo sull’uscita (|PVe/d|<
K= 0.05), al variare dei parametri del processo interno: θi, =1, 5; θe=10; τi=2, τe=10) nei diversi casi:
1. Controllo FeedBack (FB)con un solo regolatore C
2. Controllo in Cascata con i due regolatori: primario Ce, secondario Ci.
Fig9.
4
5) Stabilizzazione di processi instabili in anello aperto
(risoluzione via Luogo Radici, analisi frequenziale e alcune risposte nel tempo)
1. Per un processo del secondo ordine con un polo p1>0, p2<0, studiare la possibilità di stabilizzazione
con regolatori di tipo P e PI.
2. Discutere la possibilità di stabilizzazione nel caso di aggiunta di uno zero positivo (regolatore
opportuno)
3. Processi con 2 integratori e polo negativo: possibilità di stabilizzazione (regolatore opportuno)
P51 
1
 s  1
1
; P52 
; P53  2
( s  p1 ) ( s  p2 )
( s  p1 ) ( s  p2 )
s ( s  p2 )
5