pascalina_presentazione - Primaria San Bartolomeo

02/03/2010
Artefatti e schemi d’uso
nella costruzione di
significati aritmetici
[email protected]
• Il lavoro presentato è svolto in
collaborazione con M. Maschietto
(UNIMORE), che è relatrice di una tesi
di laurea (G. Casarotti) in Scienze della
Formazione Primaria sulla
sperimentazione in corso
Indice
Perché la pascalina?
Franca Ferri
NRD Modena
Scuola primaria “Pier Luigi da Palestrina” X Circolo
•
•
•
•
•
Pascaline
Quadro teorico
Artefatti e matematica
L’esperimento
Le prospettive di ricerca
• Riscoprire e riutilizzare strumenti del
passato per costruire significati
matematici.
• Continuità con ricerche sull’abaco
• Macchina per il calcolo
PASCALINA di Blaise Pascal
Da Pascal
• LETTERA DI DEDICA A
MONSIGNOR IL
CANCELLIERE A
PROPOSITO DELLA
MACCHINA
RECENTEMENTE
INVENTATA DAL
SIGNOR B. P. PER
ESEGUIRE OGNI
TIPO DI
OPERAZIONE
ARITMETICA GRAZIE
A UN MOVIMENTO
ORIGINALE, SENZA
PENNA NE GETTONI
• […]Le lungaggini e le
difficoltà degli strumenti
di cui ci serviamo
normalmente per i calcoli,
mi hanno indotto a
pensare a un aiuto più
veloce e più semplice,
anche per le mie esigenze
personali, al fine di
alleggerirmi nei grandi
calcoli in cui sono
occupato da qualche anno
[…]
1
02/03/2010
Pascaline
• Macchine costituite da ruote dentate il cui
moto è determinato dal movimento di una di
esse.
• Realizzano operazioni e, in particolare,
facilmente addizioni e sottrazioni.
• L’addizione sulla “pascalina” fa riferimento
alla nozione di operatore:
a + suc b = suc (a + b)
La macchina “ZERO +1” di
Quercetti
• Incontro casuale
• Lavoro del gruppo di Torino (Liboà –
Gilardi)
• Evocazione della pascalina
• Possibilità di avere in aula un numero
significativo di macchine
• Possibilità di un uso “storico” della
macchina come strumento per calcolare
ZERO + 1 (Quercetti)
Quadro teorico
• Progetto di ricerca didattica per
l’innovazione (PRIN 2005019721)
• Intreccio di TEORIA e PRATICA
• OBIETTIVO: trasposizione del costrutto
teorico della mediazione semiotica
(Vygotsky, 1987) nel progetto educativo e
nella realizzazione nella classe, a partire
dall’uso di particolari artefatti.
Artefatti e matematica
La mediazione semiotica
Nec manus nuda nec intellectus sibi
permissus multum valet:
instruments et auxiliis res perficitur
(Bacon: The New Organon …, 1690
quoted by Vygotskij and Lurija, 1930
Artefatti e sapere
• Non trasparenza dello strumento
• Passaggio problematico dall’uso dello
strumento alla costruzione di un
significato matematico
• Intervento didattico dell’insegnante (analisi
a priori dello strumento!)
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02/03/2010
Artefatti e mediazione
semiotica
• Potenzialità evocative dello strumento di
significati matematici
• La mediazione semiotica nella classe:
artefatti e segni in una prospettiva
vigotskiana (Bartolini Bussi & Mariotti, to
appear)
• Polisemia dell’artefatto (Engestroem,1990)
• Discussione matematica orchestrata
dall’insegnante (Bartolini, 1995)
ALLIEVO
Segni dell’artefatto
artefatto
Matematica
Segni matematici
Bartolini, Mariotti, to appear
ALLIEVO
Attività
SEMIOTICA
COMPITO
Schemi d’uso
Compito
COMPITO
A + suc b = suc (a+b)
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
ALLIEVO
SEGNI
MATEMATICI
A + suc b = suc (a+b)
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
ALLIEVO
Attività
SEMIOTICA
COMPITO
SEGNI
MATEMATICI
Attività
SEMIOTICA
COMPITO
Trasformazione
dei segni
RUOLO
dell’INSEGNANTE
Trasformazione
dei significati
A + suc b = suc (a+b)
A + suc b = suc (a+b)
Cultura
MATEMATICA
Attività
SEMIOTICA
CULTURA
SEGNI
MATEMATICI
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
SEGNI
MATEMATICI
3
02/03/2010
Il percorso didattico
Il percorso didattico
Classe III
• I incontro (10. 05. ’06) Esplorazione a coppie delle
pascaline e relazione finale orale delle “scoperte”
• II incontro (17. 05. ’06) A coppie. Relazione scritta
e rappresentazione iconica delle macchine
• III incontro (30. 05. ’06) Addizioni con le
pascaline e relativa discussione spontanea
• IV incontro (05. 06. ’06) Confronto tra algoritmo
dell’addizione in colonna e dell’addizione con
pascalina
Classe IV
• V incontro (25. 09. ’06) Le tracce rimaste
• VI incontro (12. 10 ’06) Scrittura delle istruzioni
d’uso della “Pascalina” per le operazioni di
addizione e di sottrazione
• VII incontro (26. 10 ’06) Confronto di testi:
alcune istruzioni d’uso scritte dai bambini
• VIII incontro (13. 11. ’06) Confronto di testi:
istruzioni Quercetti per addizione e
sottrazione e pagine scelte di Pascal
• IX incontro (23. 11. ’06) Scrittura con i segni
della matematica di due diversi modi per
addizionare con la pascalina
ALLIEVO
Attività
SEMIOTICA
COMPITO
ANALISI A
PRIORI
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
SEGNI
MATEMATICI
ANALISI A PRIORI
• Automatizzazione (parziale) del calcolo:
“riporto” e “prestito”
• Similitudine con prospettografo di Dürer,
macchine nate da un problema funzionale:
“disegnare meglio”, “agevolare il calcolo”
• Approccio all’addizione come operatore:
25 + 12 25 +1, +1, + 1 …
• Costruzione degli schemi d’uso: eventuale
ostacolo dell’addizione binaria
• Mancanza di feedback
ALLIEVO
Esplorazione
della macchina
Ipotesi sul funzionamento
Produzione di esempi
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
Attività
SEMIOTICA
SEGNI
MATEMATICI
4
02/03/2010
Rotazione perché, allora prima
ALLIEVO di tutto questi … questi sono
La consegna
• Questa è una riproduzione di una antica
macchina per calcolare: la pascalina. E’
stata riprodotta ora dalla ditta Quercetti, in
forma più semplice, su un modello ideato da
Blaise Pascal nel 1645.
• Osservatela e provate ad usarla per fare
operazioni.
• Al termine vi chiederò di relazionarmi
oralmente sul suo funzionamento.
ALLIEVO
Esplorazione
della macchina
Ipotesi sul funzionamento
Produzione di esempi
Esplorazione
della macchina
Ipotesi sul funzionamento
Produzione di esempi
attaccati e rimane in mezzo
quindi, se per esempio, io giro
questo qua, incomincia a girare
anche quello di fianco e… si
mette in funzione tutto E poi se,
invece, giro questo qui, si gira
questo (F. G.)
Operazioni aritmetiche
Automatismo del calcolo
“Prestito”
Cultura
“Riporto”
CULTURA
MATEMATICA
SEGNI
MATEMATICI
Poi vorrei dire, nella
sottrazione, invece, fai,
tipo, 999 – 68. Devi … in
quello … nel secondo 9 (C.
indica la ruota centrale) devi
togliere 6, cioè vai indietro
di 6 …(Ruota in senso
antiorario)
Diciamo nelle decine,
che ci capiamo meglio
Operazioni aritmetiche
Automatismo del calcolo
“Prestito”
Cultura
“Riporto”
CULTURA
MATEMATICA
SEGNI
MATEMATICI
Schemi d’uso
• Scrittura dei numeri
• Addizione come
operatore (21/24)
• Scomposizione degli
addendi in h, da, u.
(23/24)
• Il II addendo aggiunto
sulla ruota delle unità
come operatore +1
(1/24)
• “L’addizione…, per
esempio faccio 239 + 24.
Allora delle centinaia non
ce ne sono, quindi rimane
così, poi ci sono 2 decine e
quindi le aggiungiamo e il
tre diventa 5 e poi al 9 ne
aggiungiamo 4 e … cambia
e il 5 diventa 6, perché una
decina si è aggiunta” (G.L.)
• “Poi c’è un altro modo. O se no,
nella ruota delle unità, la giri 29
volte. Ti viene lo stesso risultato
perché c’è il riporto dell’altra
lancetta che muove la decina
due volte…” (O. P.)
Schemi d’uso
• Scrittura dei numeri
• Addizione come
operatore (21/24)
• Scomposizione degli
addendi in h, da, u.
(23/24)
• Il II addendo aggiunto
sulla ruota delle unità
come operatore +1
(1/24)
• “L’addizione…, per
esempio faccio 239 + 24.
Allora delle centinaia non
ce ne sono, quindi rimane
così, poi ci sono 2 decine e
quindi le aggiungiamo e il
tre diventa 5 e poi al 9 ne
aggiungiamo 4 e … cambia
e il 5 diventa 6, perché una
decina si è aggiunta” (G.L.)
• Poi c’è un altro modo O se no,
nella ruota delle unità la giri 29
volte. Ti viene lo stesso risultato
perché c’è il riporto dell’altra
lancetta che muove la decina
due volte… (O. P.)
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Schemi d’uso
• Il movimento delle
ruote attrae…
• L’addizione binaria
crea ostacolo: si
scrivono i due addendi
e si attende …
• Perdita di ogni
controllo sul risultato
dell’operazione
• Ins.: J., mi provi a fare
un’addizione? Ad esempio,
9+3
• J.: (scrive 9 sulle centinaia
e 3 sulle decine)
• Ins. : J, se questa è una
macchina per fare i calcoli,
una calcolatrice, dov’è il
risultato di 9 + 3?
• J.: ……….
• Ins.: J. sei sicuro che il 9 si
scriva qua, il 3 qua?
• J.: Ah! No … (scrive 9 nelle
decine e 3 nelle unità) …
Viene 80 (gira due volte la
ruota arancione di dx)
ALLIEVO
Scrittura di un testo
Esplicitazione
di procedure
Attività
SEMIOTICA
La consegna (individuale)
• Prova a scrivere le istruzioni
d’uso della “Pascalina” per le
operazioni di addizione e di
sottrazione.
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
SEGNI
MATEMATICI
Finalità
• Esplicitazione degli schemi d’uso
• Costruzione del significato di
algoritmo – procedura
• Individuazione delle istruzioni
necessarie per operare
In generale i bambini citano
•
•
•
•
Lo stato iniziale (azzeramento degli indici)
Il verso di rotazione
La scrittura del I termine dell’operazione
La scomposizione del II termine
dell’operazione
• La lettura del risultato
• Un esempio
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Un protocollo “completo” (F. G.)
ADDIZIONE
Alcuni bambini citano
• La memorizzazione del segno o del II
termine dell’operazione (8/20)
• Il “riporto” o il “prestito” (5/20)
• La presenza della virgola per scrivere
numeri decimali (3/20)
• L’oggetto macchina attraverso uno o più
disegni (13/20)
• Altre informazioni (frecce, Pascal, rumore,
…) (9/20)
• Posizionare gli zero nelle freccette rosse
1.Decidere l’operazione, per esempio 344 + 450
2.Sulle tre rotelle gialle ci sono delle sporgenze e sulle sporgenze ci sono dei
numeri, girarle in senso orario
3.Girare la prima rotella a sinistra e puntare il 3 alla freccetta rossa
4.Stessa cosa con gli altri due 4
5.Tenersi a mente il numero 450
6.Girare zero volte la rotella a destra (unità)
7.Girare la rotella in mezzo 5 volte, sempre in senso orario (decine)
8.Girare la prima rotella a sinistra 4 volte (h) e vi verrà fuori il risultato
9.Post Scriptum: se sentite uno scatto e vedete che si muovono due o più ruote
non preoccupatevi. E’ solamente il riporto che la macchina fa da sola
10.In caso vogliate fare, per esempio 89,1, si può. Se notate, in fondo alla
pascalina c’è una forma a virgola, se volete, potete staccarla e metterla dove
volete dividere.
Un altro protocollo (M. Y. N.)
Ancora un altro (G. L.)
SOTTRAZIONE
1. Tu metti tutte le rotelle a zero, poi metti nelle rotelle un
numero, per esempio 300, dopo sottrai 123. I 123 li devi
tenere in mente. Invece di girare 123 volte le rotelle delle
unità, puoi girare 1 volta la rotella delle centinaia, 2 volte la
rotella delle decine e 3 volte la rotella delle unità.
2. Se vuoi scrivere 9,76, serve la virgola che trasforma i
numeri; ad esempio se te metti la virgola dopo le decine
diventa 97,6, se, invece, dopo le unità diventa 976.
3. Per fare le sottrazioni giri le rotelle in senso antiorario.
•
•
•
•
1. Metti tutto a zero.
2. Scrivi, girando le rotelle, il minuendo.
3. Tieni a mente il sottraendo.
4. Ora devi girare in senso antiorario
centinaia con centinaia, decine con decine
e unità con unità.
• 5. Quando il numero arriva a zero, il
numero davanti scala di uno.
E ancora un altro (O. P.)
ALLIEVO
Attività
SEMIOTICA
COMPITO
Trasformazione
dei segni
Trasformazione
dei significati
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
SEGNI
MATEMATICI
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02/03/2010
ALLIEVO
Scrittura matematica
di due modi
di addizionare
Cultura
MATEMATICA
CULTURA
Attività
SEMIOTICA
SEGNI
MATEMATICI
La consegna
Durante una delle tante discussioni matematiche sulle pascaline,
vi ho chiesto di eseguire l’addizione 28 + 14 e di descrivermi il
procedimento seguito operando con la macchina.
Ecco le affermazioni di due bambini.
- Christian: - Ho scritto il primo addendo, 28, poi ho aggiunto il
secondo, ruotando in senso orario la rotella delle unità quattro
volte e la rotella delle decine una sola volta. Il risultato è 42.
- Orlando: - Ho scritto il numero 28, poi ho girato in senso orario
14 volte la ruota in basso a destra, quella delle unità. Il risultato è
42.
Prova a scrivere le espressioni matematiche che
rappresentano i due diversi procedimenti.
Solo segni matematici (M. Y. N.)
Globalmente
• Usano solo i segni matematici (7/23)
• Usano segni matematici e linguaggio
iconico (2/23)
• Usano i segni matematici e il linguaggio
verbale (10/23)
• Usano i segni matematici, il linguaggio
verbale e quello iconico (4/23)
Segni matematici e linguaggio iconico
Christian
= (20 + 10) + (4 + 8) =
= 30 + 12 =
= 42
Orlando
= (20 + 8) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) =
= 20 + (8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) =
= 20 + 22 =
= 22
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Segni matematici e linguaggio
verbale
Le due operazioni sono le stesse, solo che
cambia come le svolgono.
Segni matematici, linguaggio verbale ed iconico (L. A.)
CHRISTIAN: 28 + 14 = 42
1
28 +
14 =
42
Ha scomposto i numeri. 8 e 4 unità = 12, poi
42
20 +10=30, poi 30 +
Christian: 28 + 1 da + 4 u = 42
12 =
42
Orlando: 28 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 42
ORLANDO
2
2 8 +
14 =
4 2
Invece lui ha girato 14 volte la rotella delle unità.
(L. F.)
+
=
Segni matematici, linguaggio verbale ed iconico (L. A.)
ALLIEVO
Attività
SEMIOTICA
COMPITO
Trasformazione
dei segni
Trasformazione
dei significati
Cultura
MATEMATICA
Qual è stato il ruolo
dell’insegnante?
• Introdurre compiti che facessero emergere
ed evolvere i significati matematici nascosti
nell’artefatto
• Orchestrare la polifonia nella discussione
matematica
• Introdurre la voce della cultura matematica
CULTURA
SEGNI
MATEMATICI
A + suc b = suc (a+b)
Qual è stata la funzione
dell’artefatto?
• Favorire un’intensa e profonda
attività semiotica (gesti, disegni,
scritture, parole, …) che ha
permesso la costruzione della
sintassi e della semantica di nuove
scritture matematiche
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Prospettive
• Abbandonare l’aritmetica…
• andare verso gli ingranaggi della
macchina per
• … giungere al cerchio
• Sempre con di fianco Pascal
10