Ci sono due urne ciascuna delle quali contiene palline

Ci sono due urne ciascuna delle quali contiene palline bianche e nere in
numero sconosciuto, ma diverso. Il gioco consiste nell'estrarre due palline a
caso: dopo ogni estrazione la pallina viene rimessa nell'urna. Si vince se
entrambe le palline sono bianche.
Determinare qual è il procedimento piu' vantaggioso tra:
Ø scegliere a caso un'urna, estrarre, reimbussolare ed estrarre di nuovo
dalla stessa urna;
Ø scegliere a caso un'urna, estrarre, reimbussolare, scegliere di nuovo a
caso un'urna ed estrarre;
Ø scegliere a caso un'urna, estrarre, reimbussolare ed estrarre dall'altra
urna.
Commento : è favorevole la prima scelta.
Dimostrazione
Chiamo con 1 la prima scelta, con 2 la seconda e con 3 la terza.
Esamino il caso 1: per scegliere a caso l’urna lancio in aria una moneta, dopo
aver segnato sulle urne il segno T e C. Se esce testa sceglierò l’urna T,
viceversa se esce croce sceglierò l’urna C. Indicherò con P la probabilità che
esca una pallina bianca dall’urna T e con Q la probabilità favorevole dell’urna C.
Immagino sia uscita testa: la probabilità di estrarre una pallina bianca la indico
con P. A questo punto sono vincolato ad estrarre un’altra pallina dalla stessa
urna, di nuovo la probabilità è P. Avendo scelto a caso tra due urne, la
probabilità totale per quell’urna sarà ½*P 2. Ma, poteva capitarmi di scegliere
l’urna C, in tal caso la probabilità totale per l’urna sarebbe stata ½*C 2. In totale
per i due casi possibili avrei avuto come probabilità la somma delle due parziali:
½*(P 2+C 2).
Esamino la scelta 2: per scegliere a caso l’urna mi servo di nuovo della solita
moneta. Suppongo mi capiti testa. Scelgo l’urna T ed estraggo una pallina. La
probabilità è stavolta ½*P. A questo punto devo rilanciare la moneta, quindi
ricomincio da capo il gioco. Potrà capitarmi di nuovo testa oppure croce:
se uscirà di nuovo testa la probabilità sarà ½*P che congiunta alla precedente
darà : ¼*P 2. Ma se uscirà stavolta croce avrò: ¼*P*C, in totale: ¼*P 2+¼*P*C.
Ovviamente il lancio della moneta la prima volta può favorire croce, allora avrò,
ripetendo lo stesso ragionamento: ¼*C 2+¼*C*P. In totale per tutti i casi possibili
avrò: ¼*(P 2+C 2+2*P*C)= ¼*(P+C) 2 .
Per la scelta 3 otterrò allo stesso modo: ½*P*C+½*C*P=P*C.
Ora paragono i casi a due a due: prima e seconda scelta.
Nella prima scelta ho ottenuto: ½*(P 2+C 2)
Nella seconda: ¼*(P+C)2
Dalla differenza tra le due ottengo: ¼*(P-C)2, che è maggiore di zero quindi la
probabilità della prima scelta è maggiore della seconda. Ora paragono la prima
con la terza e ottengo: ½*(P-C)2, di nuovo la prima scelta fornisce una
probabilità maggiore. Ne concludo che è più vantaggiosa la prima scelta. Si
nota che se le probabilità per le due urne fossero state uguali, la scelta sarebbe
stata indifferente, perché avrei ottenuto sempre P 2, come del resto è intuitivo.
C.D.D.