1 α - FreePass

Intervalli di Confidenza Gaussiani
Esercizio 1 (Cicchitelli Es. 7.3 – pag. 291)
Il direttore di un grande magazzino ha osservato i tempi di servizio ad una cassa. In
n = 58 osservazioni ha rilevato un tempo medio xn = 5.4
Che cosa si può dire con un grado di fiducia 1 − α = 0.99 circa l’errore massimo nella
stima della vera media nell’ipotesi che i tempi di servizio seguano legge gaussiana con
deviazione standard σ = 2.6 ?
Soluzione
L’esercizio chiede il calcolo di un intervallo
di confidenza gaussiano per la media con
varianza nota. La statistica di riferimento il
cui quantile dovremo cercare è pertanto una
gaussiana.
Il livello di confidenza è stato indicato con
1−α .
zβ
Inoltre le tavole della gaussiana a
disposizione riportano i quantili nella forma
più diretta ovvero P( X ≤ z β ) = β .
Dobbiamo pertanto ricavare il livello β del
quantile da cercare sulle tavole in funzione
di α .
Osservando i due grafici è facile verificare
che, grazie alla simmetria della gaussiana, la
zβ
1 1−α
α
relazione cercata è: β = +
=1 − .
2
2
2
Quindi il quantile che dovremo cercare sulle tavole sarà z β = z0.995 = 2.576
1−α
β
Ora possiamo calcolare la semiampiezza dell’intervallo:
σ
2.6
E=
z 0.995 =
2.576 ; 0.8794 e i suoi estremi µ ± = xn ± E = 5.4 ± 0.8794
n
58
Esercizio 2 (Cicchitelli Es. 7.3 – pag. 291 - modificato)
Il direttore di un grande magazzino ha osservato i tempi di servizio ad una cassa. In
n = 58 osservazioni ha rilevato un tempo medio xn = 5.4 e una deviazione standard
campionaria s = 2.6 . Che cosa si può dire con un grado di fiducia 1 − α = 0.99 circa
l’errore massimo nella stima della vera media nell’ipotesi che i tempi di servizio
seguano legge gaussiana?
Soluzione
In questo caso l’esercizio chiede il calcolo di un intervallo di confidenza gaussiano per
la media con varianza incognita. La statistica di riferimento il cui quantile dovremo
cercare è pertanto una t di student con ( n − 1) gradi di libertà.
Il livello di confidenza è stato indicato con
1−α .
Inoltre le tavole della t di student a disposizione
riportano non i quantili ma la probabilità della
coda di destra ovvero P( X > t β ) = β .
Dobbiamo pertanto ricavare la probabilità β , da
cercare sulle tavole, in funzione di α .
β
Osservando i due grafici è facile verificare che
α
la relazione è: β = .
2
Quindi il quantile che dovremo cercare sulle
tavole sarà t β ( n −1) = t 0.005 (57) . Poichè le tavole
non riportano i quantili per tutti i gradi di libertà
tβ
dovremo effettuare una approssimazione o
tramite interpolazione o prendendo il valore
disponibile più vicino (la scelta dipende dalla volontà del docente).
Consultando le tavole troviamo t 0.005 (40) = 2.704 e t 0.005 (60) = 2.660 da cui, per
17
interpolazione, ricaviamo t 0.005 (57) = t 0.005 (40) + [t 0.005 (60) − t 0.005 (40)] ; 2.6666
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Ora possiamo calcolare la semiampiezza dell’intervallo:
s
2.6
E=
t 0.005 (57) =
2.6666 ; 0.9104 e i suoi estremi µ ± = xn ± E = 5.4 ± 0.9104
n
58
1−α
t
β
Esercizio 3 (Cicchitelli – Es. 7.5 pag. 291)
Si consideri un campione di ampiezza n proveniente da una popolazione normale
N ( µ ,1) . Si determini n in modo tale che l’ampiezza dell’intervallo fiduciario al 95%
per µ non sia maggiore di 0.5
Soluzione
Stiamo per affrontare un problema inverso
relativo ad un intervallo di confidenza
gaussiano per la media con varianza nota.
Precisamente viene fornita come dato
l’ampiezza
massima
A = 2 E ≤ 0.5
dell’intervallo chiedendo l’ampiezza minima
del campione affinchè il valore vero della
media sia contenuto (con probabilità 1 − α )
1−α
zβ
1
.
2
La statistica di riferimento è sempre una gaussiana.
Il livello di confidenza verrà indicato con 1 − α . Quindi sappiamo già che il quantile da
cercare sarà z β = z α = z0.975 = 1.96
in un intervallo di ampiezza pari o inferiore a
1−
2
La formula è la solita ma questa volta dovremo risolvere in n la disequazione ad essa
2σ
1
2
1
associata: 2 E =
z0.975 ≤ . Sostituendo i dati otteniamo
1.96 ≤
da cui
2
2
n
n
n ≥ 4 ⋅1.96 ⇒ n ≥ (7.84) 2 ⇒ n ≥ [61.4656] + 1 ottenendo, infine, n ≥ 62 .
Esercizio 4 (Cicchitelli – Es. 7.15 pag. 294)
I dati xi esposti nella tabella seguente mostrano n = 10 misurazioni della
concentrazione di iodio nella stessa soluzione. Al fine di poter giudicare la precisione
delle misurazioni, nell’ipotesi che i dati provengano da una popolazione gaussiana, si
costruisca un intervallo fiduciario al 95% per σ 2 .
Prova Concentrazione Prova Concentrazione
1
5.507
6
5.527
2
5.506
7
5.504
3
5.500
8
5.490
4
5.497
9
5.500
5
5.506
10
5.497
(Mendenhall e Sincich, 1989, pag. 308)
Soluzione
In questo caso l’esercizio chiede il calcolo di un intervallo di confidenza gaussiano per
la varianza con media incognita. La statistica di riferimento il cui quantile dovremo
cercare è pertanto una chi quadro con ( n − 1) gradi di libertà.
Indichiamo il livello di confidenza con 1 − α .
Inoltre le tavole della chi quadro a disposizione riportano non i quantili ma la
probabilità della coda di destra ovvero P( X > χ β2 ) = β .
Ricordando che la v.a. χ 2 non è simmetrica dovremo ricavare sia la probabilità β che
il suo complementare 1 − β entrambe in funzione di α .
α
E’ facile verificare con l’ausilio dei soliti grafici che le relazioni sono: β =
e
2
α
1− β =1 − .
2
2
Quindi i quantili che dovremo cercare sulle tavole saranno χ β2 ( n −1) = χ 0.025
(9) = 19.02
2
e χ12− β ( n −1) = χ 0.975
(9) = 2.70 .
Ricordiamo, inoltre, che la formula per il calcolo degli estremi dell’intervallo cercato è:
n
 (n − 1) s 2
(n − 1) s 2 
2
2
I ≡ 2
, 2
dove
( n −1) ⋅ s = ∑ ( xi − xn ) = 0.000868 . Pertanto

 χ 0.025 ( n −1) χ 0.975 ( n −1) 
i =1
0.000868 0.000868 
ricaviamo: I ≡ 
,
≡ [ 0.0000457,0.0003216] e, volendo, l’ampiezza
2.70 
 19.02
A = 0.0003216 − 0.0000457 ; 0.0002760
Esercizio 5
Si risolva l’esercizio precedente nell’ipotesi che il valore vero della media sia noto e
pari a µ = 5.5
Soluzione
Questa volta l’esercizio chiede il calcolo di un intervallo di confidenza gaussiano
sempre per la varianza ma con media nota. La statistica di riferimento il cui quantile
dovremo cercare è pertanto una chi quadro con ( n) gradi di libertà.
2
Quindi i quantili che dovremo cercare sulle tavole saranno χ β2 ( n) = χ 0.025
(10) = 20.48 e
2
χ12− β ( n) = χ 0.975
(10) = 3.25 .
Inoltre la formula giusta da utilizzare per il calcolo degli estremi dell’intervallo cercato
sarà:
n
 n ⋅ sµ2
n ⋅ sµ2 
2
2
dove,
questa
volta,
I ≡ 2
, 2
n ⋅ sµ = ∑ ( xi − µ ) = 0.000984 . Pertanto

 χ 0.025 ( n) χ 0.975 ( n) 
i =1
0.000984 0.000984 
ricaviamo: I ≡ 
,
≡ [ 0.0000480,0.0003028] e, volendo, l’ampiezza
3.25 
 20.48
A = 0.0003028 − 0.0000480 ; 0.0002547