settimana 2

Matematica e Statistica II
Anno Accademico 2011-2012
Foglio di esercizi – settimana 2
Formula di Bayes e modello binomiale.
ESERCIZIO 2.1 Viene effettuato un test diagnostico su un nutrito numero di individui di cui,
per altra via, è noto lo stato rispetto a una certa malattia. Risulta che il 10% è malato e positivo
al test, il 2% è malato e negativo, l’87% è sano e neagtivo, l’ 1% è sano e positivo.
Supponendo di scegliere un individuo a caso, determinare la probabilità che:
(a) sia malato M ,
(b) sia positivo al test T +
(c) sia positivo al test se è malato,
(d) sia malato se è positivo al test.
ESERCIZIO 2.2 Un test diagnostico ha sensibilità (P(T + |M )) del 90% e specificità (P(T − |S))
del 70%. Un controllo di massa dà , nella metà dei casi, esito positivo. Quant’è la probabilità che
un individuo sia malato se il test dà risultato positivo?
[Legenda: M = malato, S = sano, T + = test positivo, T − = test negativo]
ESERCIZIO 2.3 Hai 3 monete: una con due facce nere, una con due facce bianche e una con
una faccia nera e una bianca.
Prendi una moneta a caso e vedi che la faccia visibile è nera; con che probabilità anche la faccia
coperta è nera?
ESERCIZIO 2.4 Uno studente risponde a caso a 5 domande a risposta multipla (per ogni
domanda ci sono 4 risposte possibili, di cui 1 sola è esatta).
• Qual è la probabilità di avere almeno una risposta corretta?
• Qual è la probabilità di avere esattamente una risposta corretta?
ESERCIZIO 2.5 Sulla base dell’esperienza riteniamo che la probabilità di trovare dei resti
alimentari scavando in un sito archeologico dei Maya sia del 20%
(a) Qual’è la probabilità che scavando in 10 siti, ne troviamo 2 con resti alimentari? e che ne
troviamo meno di 2?
(b) Con quale probabilità il terzo sito indagato è il primo in cui troviamo resti alimentari?
ESERCIZIO 2.6 Una moneta è stata truccata in modo che esca testa con probabilità P (T ) = 0.4
e esca croce con probabilità P (C) = 0.6. Supponiamo di effettuare 5 lanci (indipendenti) della stessa
moneta.
(a) Qual’è la probabilità che esca testa esattamente 3 volte?
(b) Qual’è la probabilità che esca testa non più di 2 volte?
(c) Con quale probabilità esce testa per la prima volta al terzo lancio?
(d) Supponiamo che io vinca 1 euro se esce testa al primo lancio, 2 euro se esce testa per la prima
volta al secondo lancio, 3 euro se esce al terzo lancio, e cosi via fino al quinto lancio. Se invece
non è uscita testa in nessuno dei 5 lanci, perdo 20 euro. Calcolare i valori possibili di vincita
(considerate una perdita come una vincita negativa) e le relative probabilità.
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ESERCIZIO 2.7 Uno studio ha stimato che la probabilità che una persona, dopo essere andata
a una toilette pubblica, si lavi le mani è del 74%, se maschio, dell’83% se femmina.
In una sala di aspetto ci sono 60 uomini e 40 donne, e supponiamo che ognuno di essi abbia la
stessa probabilità di andare alla toilette.
1. Qual è la probabilità che la prossima persona che va alla toilette si lavi le mani?
2. Sapendo che una persona si è lavata le mani dopo essere andata alla toilette, qual è la
probabilità che fosse un maschio?
3. Supponendo che sia impossibile che la stessa persona vada più volte alla toilette, qual è la
probabilità che, delle prime due persone che vanno alla toilette, una si lavi le mani e l’altra
no?
4. Sotto le stesse ipotesi, sia X la variabile casuale che conta quante donne sono andate alla
toilette prima del primo uomo. Calcolate P(X = n) per tutti gli n possibili (o almeno per i
primi).
ESERCIZIO 2.8 Scriviamo una ‘parola’ di 5 lettere, scegliendo ogni lettera a caso fra quelle
dell’alfabeto italiano. Qual è la probabilità che in essa almeno una lettera sia ripetuta.
ESERCIZIO 2.9 Calcolare la probabilità che, giocando 5 numeri al lotto1 sulla ruota di Roma,
ne esca almeno uno.
ESERCIZIO 2.10 Un segnale binario (ossia, 0 oppure 1) viene inviato lungo una linea; la probabilità che venga equivocato è 0,01. Se devo inviare un messaggio lungo 30 caratteri, qual è la
probabilità che vi siano al più due errori?
Qual è la probabilità che vi siano al più due errori, sapendo che il messaggio è arrivato con un
qualche errore?
ESERCIZIO 2.11
Un cecchino ha una probabilità 0,3 di colpire un bersaglio.
1. Qual è la probabilità che esattamente due colpi vadano a segno su una sequenza di 5 spari?
2. Supponiamo che 3 colpi siano necessari per abbattere il bersaglio. Qual è la probabilità che
il bersaglio venga abbattuto in 10 spari?
3. Qual è il minimo numero di colpi n necessari perché la probabilità di colpire il bersaglio almeno
una volta su n spari sia maggiore o uguale a 0,9?
ESERCIZIO 2.12 Posso scegliere se usare per un volo un bimotore o un quadrimotore. Il
bimotore è controllabile purché almeno uno dei due motori funzioni; il quadrimotore è controllabile
purché almen due motori funzionino. Sapendo che i motori si possono rompere indipendentemente
l’uno dall’altro e che la probabilità che un motore si rompa sia p, calcolate la probabilià che i due
aerei rimangano controllabili. Trovate per quali valori di p conviene usare il bimotore ovvero il
quadrimotore.
1 si
estraggono, senza reimmissione, 5 palline da un’urna che ne contiene 90
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