estremanti funzioni due variabili

Capitolo IV
MASSIMI E MINIMI DELLE FUNZIONI REALI A
DUE VARIABILI REALI
In questo quarto capitolo introduciamo alcuni metodi per la ricerca dei punti
estremanti di una funzione reale a due variabili reali. Iniziamo con il dare la
definizione di punto di massimo e minimo.
Definizione
1.1
Data una funzione z = f(x,y) definita in un insieme D ⊆ ℜxℜ , il punto
P0 ( x 0 , y 0 ) di D si dice:
• punto di massimo relativo se esiste un intorno di P0, incluso in D, per cui
valga: f ( x , y) ≤ f ( x 0 , y 0 ) ;
• punto di minimo relativo se esiste un intorno di P0, incluso in D, per cui
valga: f ( x , y) ≥ f ( x 0 , y 0 ) .
Si parla invece di punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni
precedenti sono vere ∀( x , y) ∈ D .
I punti di massimo e di minimo (assoluti o relativi) vengono detti punti
estremanti della funzione. Essi si diranno liberi se si ottengono considerando che
le variabili coinvolte non hanno legami tra loro e sono libere di assumere
qualunque valore del dominio.
IV-1
Anche per le funzioni reali di due variabili reali è possibile calcolare le derivate
ma in questo caso, essendo due le variabili coinvolte, occorre specificare la
variabile rispetto alla quale si deriva e quindi si parla di derivate parziali.
Definizione
1.2
Si definisce derivata parziale prima della funzione z = f(x;y) rispetto alla
variabile x, la derivata prima della funzione quando si considera x come variabile
ed y come costante e si indica così f x′ ( x, y) oppure z ′x ( x, y) oppure
∂f
.
∂x
Analogamente, si definisce derivata parziale prima della funzione z = f(x;y)
rispetto alla variabile y, la derivata prima della funzione quando si considera x
come costante ed y come variabile e si indica così f y′ ( x , y) oppure z ′y ( x , y)
oppure
∂f
.
∂y
Se le derivate prime f x′ ( x, y) e f y′ ( x , y) sono funzioni a loro volta derivabili, si
possono calcolare le loro derivate seconde della funzione f(x,y). Tali derivate sono
quattro: due derivate si ottengono dalla f x′ ( x, y) e due dalla f y′ ( x , y) .
Definizione
1.3
Si definisce derivata parziale seconda della funzione z = f(x;y) rispetto alla
variabile x, la derivata prima della funzione f x′ ( x, y) quando si considera x come
′′ ( x, y) oppure z′xx
′ ( x , y) o anche
variabile ed y come costante e si indica così f xx
∂ 2f
.
∂x 2
IV-2
Si definisce derivata parziale seconda mista della funzione z = f(x;y) rispetto a x
e a y la derivata prima della funzione f x′ ( x, y) quando si considera y come
′′ ( x , y) oppure z ′xy
′ ( x , y) o anche
variabile ed x come costante e si indica così f xy
∂ 2f
.
∂x∂y
Analogamente, si definisce derivata parziale seconda della funzione z = f(x;y)
rispetto alla variabile y, la derivata prima della funzione f y′ ( x , y) quando si
′′ ( x , y) oppure
considera y come costante ed x come variabile e si indica così f yy
′ ( x , y) o anche
z′yy
∂ 2f
.
∂y 2
Si definisce derivata parziale seconda mista della funzione z = f(x;y) rispetto a y
e a x la derivata prima della funzione f y′ ( x , y) quando si considera y come
′′ ( x , y) oppure z ′yx
′ ( x , y) o anche
costante ed x come variabile e si indica così f yx
∂ 2f
.
∂y∂x
Per le derivate seconde miste si ha:
∂ 2f
∂ 2f 1
=
∂x∂y ∂y∂x
1
Teorema di Schwarz: se le derivate seconde miste
∂ 2f
∂ 2f
e
della funzione z=f(x,y)
∂x∂y ∂y∂x
esistono e sono continue in un intorno del punto P(x0, y0), allora
IV-3
∂ 2f
∂ 2f
=
.
∂x∂y ∂y∂x
Osservazione
Per il calcolo di una derivata parziale prima o seconda, si utilizzano le stesse
regole valide per il calcolo delle derivate di una funzione di una sola variabile.
IV.2 Ricerca degli estremi liberi di una funzione a due variabili
con le derivate.
Se una funzione z = f(x, y) è derivabile, per determinare i suoi punti di massimo e
di minimo relativi possiamo ricorrere ad un metodo che si basa sul calcolo delle
derivate parziali. Infatti, sussiste una condizione necessaria per l’esistenza di un
punti di massimo o di minimo in un punto P che è data dal seguente
Teorema
2.1
Perché una funzione z = f(x, y), derivabile parzialmente rispetto a x e a y, ammetta
massimi o minimi è che il sistema delle derivate parziali prime poste uguali a zero
ammetta soluzioni:
f x′ ( x 0 , y 0 ) = 0
 ′
f y ( x 0 , y 0 ) = 0
condizione necessaria
I punti nei quali si annullano le derivate parziali prime si dicono punti stazionari
o critici.
Tuttavia, non è detto che tali punti siano di massimo o di minimo. Una condizione
sufficiente per stabilire di che tipo è un punto critico fu data dal matematico
Hesse.
IV-4
Definizione
2.1
Data una funzione z = f(x, y) definita in un insieme D ⊆ ℜxℜ , e dotata di
derivate parziali seconde in D, si dice determinante hessiano H di f in un punto
P(x0, y0) di D il determinante:
H( x 0 , y 0 ) =
f xx'' ( x 0 , y 0 ) f xy'' ( x 0 , y 0 )
''
yx
''
yy
f (x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 )
(
= f xx'' ( x 0 , y 0 ) ⋅ f yy'' ( x 0 , y 0 ) − f xy'' ( x 0 , y 0 )
)
2
Teorema dell’Hessiano e dei punti critici.
Sia z = f(x,y) definita in un insieme D ⊆ R xR e dotata di derivate prime e
seconde continue in un intorno di P0(x0,y0) di D.
Se f x' ( x0 , y0 ) = 0, f y' ( x0 , y 0 ) = 0 , e
•
•
•
•
se H ( x0 , y0 ) > 0 e se f xx'' ( x0 , y0 ) < 0 , P0 è punto di massimo relativo;
se H ( x0 , y0 ) > 0 e se f xx'' ( x0 , y0 ) > 0 , P0 è punto di minimo relativo;
se H ( x0 , y 0 ) < 0 P0 è un punto di sella;
se H ( x0 , y0 ) = 0, nulla si può dire riguardo P0 e per scoprirne la
natura si devono utilizzare altri metodi.
IV.3 Ricerca degli estremi vincolati di una funzione a due
variabili.
Talvolta le variabili x e y di una funzione non sono libere di assumere qualsiasi
valore all’interno del dominio della funzione stessa, ma hanno tra loro un legame
espresso da equazioni o disequazioni.
In questo caso i valori estremanti della funzione vengono detti massimi e minimi
vincolati.
IV-5
Esistono tre metodi per la ricerca dei punti di massimo e minimo vincolati:
a) Esplicitazione del vincolo
b) Moltiplicatore di Lagrange
c) Linee di livello
Noi analizzeremo solo il metodo dell’esplicitazione del vincolo.
IV.3.1
Metodo dell’esplicitazione
Quando il vincolo è un’equazione di tipo lineare g(x,y)= 0, la ricerca dei massimi
e minimi vincolati può essere fatta con i metodi utilizzati per i massimi e minimi
di una funzione ad una variabile. Infatti, esplicitando il vincolo rispetto alla
variabile di primo grado e sostituendo quanto ricavato nella funzione assegnata, si
passa da una funzione z = f(x,y) a due variabili, ad una funzione z = f(x) o z = f(y)
ad una sola variabile e quindi basta cercare i massimi e minimi con i metodi
utilizzati per i massimi e minimi di una funzione ad una variabile.
Esempio
z = x2 + y2 − 5y + 5
vincolo
g ( x, y ) = 2 x − y = 0
Si risolve il sistema:
z = x2 + y 2 − 5 y + 5

 g ( x, y ) = 2 x − y = 0
Esplicitando una variabile nell’equazione della retta e sostituendo:
z = x 2 + y 2 − 5 y + 5
⇒ z( x ) = 5x 2 − 10x + 5

y = 2x

funzione della sola variabile x. Derivando e studiando il segno della derivata
prima si ottiene:
z ' ( x) = 10 x − 10
IV-6
z ' ( x) = 10 x − 10
0
1
x
min
min(1,2) → z = 0
In generale, per determinare (se possibile) i massimi e minimi vincolati di una
funzione z = f(x,y) soggetta al vincolo g(x,y)= 0, si dovrà procedere nel modo
seguente:
-
esplicitare una variabile nella funzione g(x,y)= 0;
-
sostituire la variabile esplicitata nella funzione z = f(x,y ottenendo una
nuova funzione in una sola variabile;
-
determinare i massimi e minimi di questa nuova funzione.
Il metodo di sostituzione è sempre consigliabile quando è possibile esplicitare una
variabile dal vincolo.
IV.3.2
Ricerca dei massimi e minimi assoluti in un insieme
chiuso e limitato
Nei casi finora esaminati il vincolo era espresso da un’equazione rappresentata in
genere da una curva nota. È chiaro che la ricerca dei massimi e minimi assoluti
non richiede nessuna altra considerazione, dato che, il massimo assoluto
coinciderà con il massimo dei massimi relativi e, nello stesso modo, il minimo
IV-7
assoluto con il minimo dei minimi dei minimi relativi rispetto al vincolo
assegnato.
Massimi e minimi assoluti in un sottoinsieme chiuso e
limitato.
Si dice che una funzione z = f(x,y) ha un massimo assoluto in un
punto P0 ( x0 , y0 ) di un sottoinsieme S del dominio D ⊆ R x R, se
per ogni punto P ∈ S risulta:
f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y 0 )
Analogamente, la funzione ha un minimo assoluto in un punto
P0 ( x0 , y0 ) di un sottoinsieme S del dominio D ⊆ R x R, se per
ogni punto P ∈ S risulta:
In certi casi il vincolo può essere rappresentato da un sistema di disequazioni
rappresentante una regione di piano limitata S.
In questo caso si procede come segue:
- si cercano gli estremi liberi (relativi) della funzione accertando se essi sono
accettabili, cioè se cadono nella regione considerata;
- si vede cosa accade lungo la frontiera;
- infine, dal confronto fra gli estremi individuati si vede quali sono gli estremi
assoluti (massimo assoluto e minimo assoluto)
Esempio 1
Determinare il massimo e il minimo assoluti di z = f ( x , y) = 15x − 3xy + 9 y
soggetta al vincolo:
x 2 − 2x − y + 2 ≤ 0

2 x + 3y ≤ 6

IV-8
La soluzione del sistema vincolare è rappresentata dalla regione di piano S
limitata dall’arco di parabola ABC e dal segmento AC rappresentata in figura:
Figura IV.1 Soluzione del sistema vincolare
a.
Ricerca dei massimi e minimi relativi interni alla regione di piano con il
metodo delle derivate.
Le derivate parziali prime:
∂z
= 15 − 3y ;
∂x
∂z
= − 3x + 9 .
∂y
 15 − 3y = 0

 − 3x + 9 = 0
⇒
y = 5

x = 3
Poiché il punto P(3,5) non appartiene alla regione di piano considerata non
interessa la sua natura (max o min).
b.
Ricerca dei massimi e minimi appartenenti alla frontiera di S con il metodo
della sostituzione.
IV-9
→ tratto di parabola ABC:
z = f ( x , y) = 15x − 3xy + 9 y con y = x 2 − 2 x + 2 e 0 ≤ x ≤
4
3
Si risolve il sistema:
z = 15x − 3xy + 9 y

2
 y = x − 2x + 2
ottenendo:
z 1 ( x ) = −3x 3 + 15x 2 − 9 x + 18
funzione della sola variabile x. Derivando e studiando il segno della derivata
prima si ottiene:
z 1′ ( x ) = −9 x 2 + 30 x − 9
⇒
0
− 9 x 2 + 30 x − 9 = 0
1/3
4/3
per x 1 =
1
e per x 2 = 3
3
3
x
min
149
 1 16 
min D ,  → z =
9
3 9 
A(0,2) → z = 18
230
 4 10 
C ,  → z =
→ max
9
3 9 
IV-10
→ segmento AC:
z = f ( x , y) = 15x − 3xy + 9 y con 2 x + 3y = 6 e 0 ≤ x ≤
4
3
Si risolve il sistema:
z = 15x − 3xy + 9 y

 2 x + 3y = 6
ottenendo:
z 2 ( x ) = 2 x 2 + 3x + 18
funzione della sola variabile x. Derivando e studiando il segno della derivata
prima si ottiene:
z ′2 ( x ) = 4x + 3
⇒
4x + 3 = 0
3
per x = − .
4
-3/4
0
4/3
x
min in A (0,2) → z = 18
230
 4 10 
max in C ,  → z =
9
3 9 
L’analisi effettuata ci permette di concludere:
punti critici
A(0,2)
P(3,5)
D(1/3,16/9)
C(4/3,10/9)
Valori di z
18
45
149/9
230/9
note
Minimo assoluto
Esterno alla regione di piano considerata
minimo vincolato
Massimo assoluto
IV-11