DISPENSE 25

# CRITERI DI SCELTA DELLE AZIONI DI CORREZIONE #
Il caso esemplificativo di sintesi discusso in precedenza ha mostrato come, con
riferimento alla sola stabilita’ relativa, non c’e’ modo di distinguere e quindi
poter optare per la scelta dell’azione anticipatrice o per quella attenuatrice.
Gli effetti diversi delle due azioni elementari di correzione sono invece evidenti
quando si fa riferimento alle proprieta’ filtranti (banda passante B3 molto
diversa nei due casi) e/o alle proprieta’ transitorie (prontezza di risposta molto
maggiore con l’uso dell’azione anticipatrice, evidenziata dal tempo di risposta tr
e durata del transitorio molto minore, associata al tempo di assestamento taε% ).
E’ quindi chiaro che il criterio di scelta tra le diverse azioni di correzione sara’
legato alla considerazione delle specifiche sui parametri della risposta armonica
e/o della risposta indiciale.
⇒
Si possono individuare alcune situazioni tipiche alle quali associare senza
incertezze il tipo di azioni di correzione da utilizzare. Vediamo di esaminarle
esplicitamente.
Supponiamo di avere tra le specifiche, oltre a quelle sulle proprieta’ di regime e
sulla stabilita’, anche una specifica sulla banda passante B3 .
Per avviare la procedura iterativa di sintesi in ω con riferimento al ciclo aperto,
possiamo trasformare subito tale specifica, facendo ricorso alla relazione
approssimata: ωt = (3÷5)B3 , ottenendo una indicazione, molto utile in questa
fase della procedura, sulla pulsazione di attraversamento a ciclo aperto
desiderata ωtd .
Avendo a disposizione la risposta armonica del processo P(jω) in forma analitica
o anche solamente in forma grafica , possiamo procedere alla scelta della
correzione statica KC , come chiarito in precedenza, e tracciare i diagrammi di
Bode della KCP(jω).
E’ possibile a questo punto rilevare da tali diagrammi quali sono l’ampiezza e la
fase in corrispondenza di ωtd . Uno dei compiti fondamentali dell’azione di
correzione del controllore da sintetizzare e’ quello di modificare, in
corrispondenza di ωtd, l’ampiezza in modo da portarla al valore unitario (0dB) e
la fase in modo da portarla al valore desiderato: (−180°+mϕ ).
A seconda dei casi si trattera’ di introdurre amplificazioni o attenuazioni per
l’ampiezza e anticipi o ritardi per la fase.
a)
Una prima situazione tipica (e semplice) e’ quella in cui ωtd risulta
inferiore alla frequenza di taglio ωt con la sola correzione statica ed
inoltre lo sfasamento in ritardo in corrispondenza di ωtd assicura il
margine di fase richiesto dalla specifica relativa o ne e’ minore (cioe’ il
margine di fase per ωtd e’ sovrabbondante). In sintesi si verifica che:
ωtd < ωt e mϕ (ω=ωtd) > mϕd
In questo caso un’azione attenuatrice opportunamente predisposta porta al
soddisfacimento delle specifiche imposte.
1
Riferendoci cioe’ alla F. di T. a guadagno unitario:
1+
τi
s
mi
C `( s ) = Catt ( s ) =
1+τis
si trattera’ di scegliere i parametri mi e τi (cioe’
di posizionare la coppia polo-zero) in modo appropriato.
Se lo sfasamento in corrispondenza di ωtd e’ circa uguale a quello desiderato si
puo’ scegliere di posizionare la coppia polo-zero sufficientemente lontano in
bassa frequenza, rispetto alla ωtd , in modo che lo sfasamento in ritardo
introdotto a tale frequenza sia trascurabile. In tal caso, come vedremo piu’
esplicitamente piu’ avanti, il parametro mi (cioe’ la posizione dello zero rispetto
al polo) e’ legato direttamente all’entita’ dell’attenuazione da introdurre e il suo
valore si puo’ ricavare semplicemente dal diagramma asintotico dei moduli
dell’azione attenuatrice.
Se invece su tratta di modificare anche la fase in corrispondenza di ωtd , si
dovranno considerare esplicitamente i diagrammi effettivi dell’azione di
correzione e non solo l’andamento asintotico.
Non e’ detto che le modifiche da apportare all’ampiezza ed alla fase possano
essere introdotte convenientemente con l’impiego di una sola funzione del tipo
polo-zero; spesso si trattera’ di introdurne due (doppia funzione attenuatrice) o
piu’ tra loro in cascata con opportuni valori dei parametri per ciascuna di esse.
b)
Un’altra situazione tipica e abbastanza semplice e’ quella in cui la ωtd
e’ uguale o di poco superiore alla frequenza di attraversamento di
KCP(jω). In questo caso l’ampiezza o deve rimanere la stessa o deve
essere leggermente aumentata. La fase sia invece deficitaria rispetto al
margine di fase desiderato, cioe’ bisogna introdurre anticipi di fase. In
sintesi si verifica che:
ωtd ≥ ωt e mϕ (ω=ωtd) < mϕd
In questo caso un’azione anticipatrice opportunamente predisposta porta al
soddisfacimento delle specifiche imposte. Riferendoci cioe’ alla F. di T. a
guadagno unitario:
C `( s ) = Cant ( s ) =
1+ τas
1+
τa
ma
s
si dovranno scegliere i
valori dei parametri τa e ma in maniera opportuna. Spesso si trattera’ di
posizionare lo zero della coppia zero-polo nell’intorno della pulsazione di
attraversamento desiderata ωtd .
Anche in casi come questo, non riuscendo con una sola coppia zero-polo, e’
possibile dover ricorrere a due o piu’ funzioni del tipo zero-polo in cascata
(doppia funzione anticipatrice).
2
Per la scelta dei parametri τa ed ma dell’azione anticipatrice e τi ed mi
dell’azione attenuatrice si dispone di uno strumento grafico che agevola tale
diagrammi universali .
operazione
⇒
c)
Un caso tipico di situazioni meno semplici di quelle a) e b) discusse
sopra e’ quello in cui ωtd e’ minore della frequenza di attraversamento
con la sola correzione statica e lo sfasamento in ritardo in
corrispondenza di ωtd e’ maggiore di quello desiderato. In sintesi:
ωtd < ωt e mϕ (ω=ωtd) < mϕd
In tale caso si tratterebbe di introdurre sia un’attenuazione dei moduli che un
anticipo di fase e cio’ non puo’ essere ottenuto con un solo tipo di azione di
correzione di cui sopra.
Il risultato desiderato si puo’ ottenere con l’impiego di entrambe le azioni
elementari utilizzate in cascata e piu’ precisamente col ricorso ad un’azione
attenuatrice seguita (per frequenze piu’ elevate) da un’azione anticipatrice.
La F. di T. di una tale azione combinata e’ dunque:
 τi 
1 + s 
mi  (1 + τ a s )
C `( s ) = C sella ( s ) = 
⋅
(1 + τ i s )  τ a 
1 +
s 
m


a
in cui e’
mi
τi
<
1
τa
.
Tale azione di correzione prende il nome di azione a sella (o correzione a sella)
e tale nome fa riferimento alla forma tipica dell’andamento del diagramma dei
moduli.
⇒
diagrammi di Bode
Nel caso in cui ma = mi gli andamenti dei diagrammi godono di caratteristiche
di simmetria e si parla di azione di correzione a sella simmetrica
Come si vede dai diagrammi l’azione a sella introduce un’attenuazione
dell’ampiezza in un certo campo di frequenze e un anticipo di fase in un
successivo campo di frequenze, dove l’attenuazione introdotta va riducendosi.
I parametri della funzione di correzione a sella dovranno essere scelti
opportunamente, in particolare in modo che l’azione anticipatrice si esplichi
nell’intorno della pulsazione di attraversamento desiderata ωtd .
Anche in questo caso, nonostante il maggior numero di parametri a disposizione,
non sempre e’ possibile o conveniente soddisfare le specifiche con una sola
funzione a sella. Si trattera’, se necessario, di ricorrere a piu’ funzioni del tipo a
sella in cascata.
Il ricorso ai diagrammi universali agevola anche in questo caso la scelta dei
valori dei parametri dell’azione a sella in base alle specifiche.
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Come gia’ accennato nella presentazione della procedura di sintesi per tentativi
nel dominio della frequenza, alla fase di scelta della struttura e del valore dei
parametri del controllore (prima fase), che viene condotta con riferimento al
sistema a ciclo aperto, deve seguire la fase di verifica del soddisfacimento delle
specifiche a ciclo chiuso (seconda fase).
⇒
Senza la disponibilita’ di un PC tale fase viene condotta necessariamente
col ricorso alle carte di Nichols che, come abbiamo visto, ci permettono di
ottenere i valori dei parametri di interesse della risposta armonica a ciclo chiuso
senza la necessita’ di procedure analitiche lunghe e pesanti da sviluppare a
tavolino, quali quella di determinare la espressione di W(jω) nella forma adatta
per il tracciamento dei relativi diagrammi di Bode o quella, ancora piu’ lunga, di
antitrasformazione nel dominio del tempo.
Dato pero’ che la scelta dei parametri del controllore si e’ basata essenzialmente
su relazioni largamente approssimate tra parametri a ciclo aperto e parametri a
ciclo chiuso, sara’ usualmente necessario eseguire una serie di iterazioni che,
dalla verifica non soddisfacente della seconda fase, portano a tornare alla prima
fase per modifiche da apportare alle scelte precedenti nell’intento di ottenere il
soddisfacimento delle specifiche a ciclo chiuso.
E’ evidente che quanto maggiore e’ il numero di specifiche imposte e quanto piu’
stringenti sono i vincoli sui loro valori desiderati, tanto meno semplice e’ il
procedimento di sintesi e tanto piu’ numerose le iterazioni necessarie per
arrivare alla soluzione soddisfacente.
Soltanto l’esperienza puo’ portare all’ottenimento della soluzione soddisfacente
riducendo al minimo la durata della procedura.
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