Temi d`esame passati

Temi d’esame passati
Esame 1
0.0 0.1
0.3
F(x)
0.8 0.9 1.0
Esercizio 1
La linea continua tracciata nel grafico seguente rappresenta la funzione di frequenza
relativa cumulata del costo (in euro) per notte di una camera doppia rilevato su un
campione di 100 alberghi nella provincia di Bologna.
50 70 100
200
300
400
Costo (in euro)
(a) Ricostruire dal grafico la tabella delle frequenze relative della variabile costo
per notte di una camera doppia.
(b) Calcolare la percentuale di alberghi che offrono una camera doppia con un costo
compreso tra 80 e 200 euro per notte.
(c) Calcolare il costo medio di una camera doppia per notte.
(d) Calcolare la varianza del costo di una camera doppia per notte.
(e) Il costo della camera è comprensivo dell’IVA al 10%. Determinare l’ammontare
medio versato per l’IVA per una camera doppia a notte.
(f) I dati sintetizzati nel grafico precedente sono stati estratti da un’indagine più
ampia che ha riguardato l’intera regione Emilia Romagna. Complessivamente
su tutta la regione si è osservato un campione di 300 alberghi (inclusi i 100
di Bologna). Sull’intero campione di 300 alberghi la media del costo di una
camera doppia per notte è risultata pari a 120 euro. Da questo dato, si derivi
il costo medio di una camera doppia per notte considerando tutte le provincie
dell’Emilia Romagna esclusa la provincia di Bologna.
Esercizio 2
È noto che il 70% degli italiani abita in una casa di proprietà. Si sa, inoltre, che
il 60% degli italiani abita in una casa dotata di box-auto, ma tale percentuale sale
all’80% per coloro che abitano in una casa di proprietà.
(a) Estratto a caso un italiano, quale è la probabilità che abiti in una casa di
proprietà che è dotata di box-auto?
(b) Abbiamo estratto un italiano che abita in una casa dotata di box-auto, quale
è la probabilità che la casa sia di sua proprietà?
(c) Se estraiamo casualmente 4 italiani, quale è la probabilità che più della metà
abiti in una casa di proprietà?
(d) Se estraiamo casualmente 100 italiani, quale è la probabilità che più di 60
abitino in una casa di proprietà?
Esercizio 3
La filiale di una banca ha di recente installato sui propri computer un nuovo programma che estende i servizi offerti tramite lo sportello Bancomat. I responsabili
della filiale sanno che prima dell’aggiornamento del sistema il numero medio di clienti che si rivolgevano agli sportelli interni in un’ora era pari a 148. Dopo due mesi
dall’aggiornamento si vuole verificare se i maggiori servizi dati agli sportelli Bancomat ha prodotto una riduzione del numero medio per ora di clienti che si avvalgono
degli sportelli interni. A questo fine, è stato analizzato un campione casuale di 25
intervalli orari sul quale si è ottenuto che il numero medio orario di clienti che si
rivolgono agli sportelli interni è pari a 139 con varianza campionaria corretta pari a
20, 92 . Si può assumere che la distribuzione del numero orario di clienti sia normale.
(a) Costruire un intervallo di confidenza di livello 90% per il numero medio orario
di clienti che si rivolgono agli sportelli interni a due mesi dall’aggiornamento.
(b) Verificare ad un livello di significatività pari a 5% se vi è stata una riduzione
del numero medio orario di clienti che si rivolgono agli sportelli interni a due
mesi dall’aggiornamento.
(c) Dopo un anno dall’aggiornamento è stata condotta un’indagine campionaria
simile a quella eseguita dopo due mesi, al fine di verificare se vi è stata un ulteriore riduzione del numero medio di clienti che utilizzano gli sportelli interni.
Sul nuovo campione di numerosità 20 si sono ottenuti una media campionaria
pari a 135 clienti per ora e una varianza campionaria corretta pari a 212 . È
possibile dire che rispetto a 10 mesi fa, il numero medio orario di clienti che si
rivolgono agli sportelli interni è diminuito, usando un livello di significatività
pari a 5%?
Esame 2
Esercizio 1
La seguente tabella si riferisce alla quantità annuale di rifiuti urbani (in chilogrammi
per abitante) calcolata per 100 comuni.
Rifiuti urbani
(kg per abit.)
400 ` 500
500 ` 550
550 ` 600
600 ` 650
650 ` 750
Numero di comuni
10
20
40
22
8
(a) Si costruisca l’istogramma per i dati riportati nella tabella e si commenti il
grafico.
(b) Si calcolino la quantità media e mediana di rifiuti urbani per abitante nei 100
comuni.
(c) Si calcoli un indice di dispersione per le osservazioni riportate in tabella.
(d) Se viene introdotta una sovratassa per i comuni con una quantità di rifiuti
urbani per abitante superiore a 570 kg, quale percentuale dei comuni esaminati
subirà tale sovratassa?
Esercizio 2
Un’azienda ritiene che la percentuale di clienti insolventi sia pari a 1%; di questi il
70% è solo parzialmente insolvente avendo in parte pagato quanto dovuto.
(a) Se in un giorno l’azienda ha concluso affari con 5 clienti, quale è la probabilità
che almeno uno dei 5 non paghi quanto dovuto, parzialmente o totalmente?
(b) Se l’azienda conclude un affare con un cliente, quale è la probabilità che egli
risulterà parzialmente insolvente?
Per la somma (in euro) non pagata da un cliente insolvente (parzialmente o totalmente) si può assumere una distribuzione uniforme sull’intervallo (100,1000).
(c) Quale è la perdita media subita dall’azienda a causa dell’insolvenza (parziale
o totale) di 30 clienti?
(d) Quale è la probabilità che su 30 clienti insolventi (parzialmente o totalmente)
la somma non percepita dall’azienda sia superiore a 15000 euro?
Esercizio 3
In un’indagine campionaria sono state chieste agli intervistati notizie circa l’ora in
cui abitualmente vanno a letto. I risultati, suddivisi per professione dell’intervistato,
sono riportati nella tabella che segue.
Professione
Studente
Operaio
Pensionato
9`10
89
56
48
Ora
10`11
165
196
75
11`12
96
98
27
(a) Si verifichi al livello 0,01 l’ipotesi di indipendenza tra le due variabili.
(b) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 90% per la percentuale di
studenti che vanno abitualmente a letto tra le 11 e le 12.
(c) Assumendo che per ogni professione la distribuzione dell’ora sia gaussiana, si
verifichi al livello 5% l’ipotesi che in media gli studenti e i pensionati vadano
a letto alla stessa ora, contro l’alternativa che i pensionati vadano a letto in
media prima degli studenti.
Esame 3
Esercizio 1
In un’indagine sulla spesa sanitaria condotta in Italia sono state rilevate, per diverse
classi di età degli assistiti, le spese straordinarie (per emergenze). La tabella sottostante riporta le frequenze relative condizionate alla classe di età della variabile
dicotomica “Spesa straordinaria” avente modalità “Nessuna spesa straordinaria” e
“Spesa straordinaria positiva”:
Spesa straordinaria
Nessuna spesa straordinaria
Spesa straordinaria positiva
39 ` 50
0,71
?
50 ` 60
0,67
?
Età
60 ` 70
0,58
?
70 ` 80
0,50
?
80 ` 95
0,44
?
Sapendo che le numerosità delle classi di età sono
39 ` 50
3000
50 ` 60
2000
60 ` 70
2600
70 ` 80
1800
80 ` 95
600
(a) costruire la tabella delle frequenze assolute congiunte per le due variabili;
(b) rappresentare graficamente la distribuzione marginale della variabile “Spesa
straordinaria”;
(c) confrontare la variabilità dell’età tra gli assistiti che non hanno comportato
spese straordinarie e coloro per i quali si sono sostenute spese straordinarie
positive;
(d) calcolare la percentuale di assistiti di età superiore a 75 anni, tra coloro che
hanno comportato una spesa straordinaria positiva;
(e) costruire una misura dell’interdipendenza tra le due variabili.
Esercizio 2
In una fabbrica che produce schede di memoria vengono utilizzati due macchinari,
A e B. In particolare, il 55% dei pezzi prodotti proviene da A, la restante parte
prodotta da B. Tra i pezzi prodotti da A, il 3% risulta difettoso; tra i pezzi prodotti
da B il 4% è difettoso.
(a) Selezionando a caso un solo pezzo tra quelli prodotti dalla fabbrica, qual è la
probabilità che esso provenga dal macchinario B, sapendo che risulta difettoso?
(b) Estraendo a caso un pezzo prodotto da A e uno prodotto da B, determinare
la probabilità che almeno uno di questi sia difettoso.
(c) Si estrae casualmente un campione di schede dalla produzione del solo macchinario A. Quanto grande deve essere il campione affinché il numero atteso di
pezzi difettosi estratti sia pari a 15?
Esercizio 3
Un supermercato ha studiato la spesa in euro per dolci natalizi nel periodo 1– 24
dicembre 2010 da parte di un campione di 130 clienti. I risultati sono riportati nella
seguente tabella:
Spesa
0 ` 30
30 ` 50
50 ` 80
Numero di clienti
30
78
22
Si può assumere che la spesa per cliente sia normalmente distribuita.
(a) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per la spesa media per
cliente per dolci natalizi.
(b) È possibile affermare ad un livello α = 0, 03 che più del 10% dei clienti spende
almeno 50 euro per dolci natalizi?
(c) Nel 2009 nello stesso periodo su tutti i clienti del supermercato si è calcolata
una spesa media per cliente per dolci natalizi pari a 35 euro. Ad un livello
α = 0, 01, si può dedurre che nel 2010 vi è stato un aumento della spesa media
rispetto al 2009?
(d) Si supponga nota e pari a σ 2 = 250 la varianza della spesa in dolci natalizi
per cliente nel periodo 1–24 dicembre 2010. Si ottenga il p-value (livello di
significatività osservato) del test per il sistema di ipotesi del punto (c) e si
commenti il risultato.
Esame 4
Esercizio 1
I dati riportati nella tabella si riferiscono agli incidenti successi in tre anni di funzionamento di un’industria in condizioni relativamente costanti, classificati in base
al giorno della settimana e all’ammontare (in migliaia di euro) del danno causato
dall’incidente.
Danno
(migliaia di euro)
0a 2
2a 5
5a 10
Lunedı̀
32
14
12
Giorno della settimana
Martedı̀ Mercoledı̀ Giovedı̀
21
23
29
10
11
10
12
13
11
Venerdı̀
35
15
11
(a) Rappresentare graficamente la funzione di frequenza relativa cumulata della
variabile “Ammontare del danno”.
(b) Determinare l’ammontare del danno oltre il quale si trova il 70% degli incidenti.
(c) Confrontare il numero medio giornaliero di incidenti che si verificano in un
giorno centrale della settimana (Martedı̀, Mercoledı̀ e Giovedı̀) con il numero
medio giornaliero di incidenti che si verificano in un giorno prossimo al fine
settimana (Lunedı̀ e Venerdı̀) e commentare.
(d) Confrontare l’ammontare medio del danno per gli incidenti che si verificano in
uno dei giorni centrali della settimana con quello degli incidenti che si verificano
in un giorno prossimo al fine settimana e commentare.
(e) Costruire la distribuzione di frequenza relativa della variabile “Giorno della
settimana” condizionata ai danni di ammontare superiore a 5 mila euro.
Esercizio 2
Il numero di televisori posseduti da una famiglia italiana è una variabile casuale
discreta la cui funzione di ripartizione assume i seguenti valori:
F (−1) = 0;
F (0) = 0, 2;
F (1) = 0, 7;
F (2) = 0, 9;
F (3) = 0, 95;
F (4) = 1.
(a) Calcolare la probabilità che una famiglia italiana possieda più di 2 televisori.
(b) Calcolare la media e la varianza del numero di televisori posseduti da una
famiglia italiana.
(c) Se si estraggono 4 famiglie dalla popolazione italiana, quale è la probabilità che
più della metà possieda un solo televisore?
(d) Se si estraggono 100 famiglie dalla popolazione italiana, quale è la probabilità
che più della metà possieda un solo televisore?
Esercizio 3
Su 20 giorni lavorativi il proprietario di un bar ha rilevato che il numero medio
di tazze di caffè vendute giornalmente è pari a 120 con varianza campionaria (non
corretta) pari a 100. Il numero di caffè venduti giornalmente segue una distribuzione
normale.
(a) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per il numero medio di
caffè venduti giornalmente.
(b) In base all’intervallo ottenuto al punto precedente, possiamo concludere che il
numero medio di caffè venduti giornalmente sia pari a 130 contro l’alternativa
che sia diverso da 130 ad un livello pari al 5%? (Giustificare adeguatamente
la risposta.)
Il proprietario decide di fare pubblicità al proprio bar. Su 30 giorni lavorativi successivi alla campagna pubblicitaria il proprietario calcola che il numero medio di
caffè venduti in un giorno lavorativo è pari a 130 con varianza campionaria (non
corretta) pari a 121.
(c) E’ possibile dire al livello 1% che la pubblicità ha portato ad un aumento del
numero medio di caffè venduti giornalmente? (Si precisino le ipotesi sottostanti
alla procedura statistica utilizzata.)