Corso di Analisi Matematica Comportamenti asintotici

a.a. 2013/2014
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Comportamenti asintotici
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Funzioni asintoticamente equivalenti
Sia x̄ ∈ R. Siano f e g due funzioni tali che la funzione rapporto
f /g sia definita vicino a x̄ . Se
f (x)
= 1,
lim
x→x̄ g (x)
diciamo che f e g sono asintoticamente equivalenti per x che tende
a x̄ e scriviamo f (x) ∼ g (x) per x → x̄ .
Osservazione
È indispensabile specificare “per x che tende a x̄ ” perché,
variando il punto in cui si considera il limite, l’affermazione
f (x) ∼ g (x) potrebbe non essere vera.
Esempio: sin(x) ∼ x per x → 0, ma sin(x) 6∼ x per x → π .
Osservazioni
• f e g sono asintoticamente equivalenti per x → x̄ se e solo se
f (x) = g (x) h(x),
dove h è una funzione che tende a 1 per x → x̄ .
• Se f e g sono asintoticamente equivalenti per x → x̄ , allora
sono entrambe non regolari oppure entrambe regolari per x → x̄ ;
in quest’ultimo caso, hanno lo stesso limite per x → x̄ .
Non vale il viceversa!
Proprietà della equivalenza asintotica
Transitività
Per x → x̄ :
f (x) ∼ g (x)
g (x) ∼ h(x)
Prodotti e rapporti
Per x → x̄ :
!
=⇒ f (x) ∼ h(x)
Nota: non c’è una proprietà per somme e differenze!
f1 (x) ∼ f2 (x)
f1 (x) g1 (x) ∼ f2 (x) g2 (x)
!
g1 (x) ∼ g2 (x)
=⇒ f (x)
f2 (x)
1
∼
g1 (x)
g2 (x)
Composizione
h(x) → ȳ per x → x̄


f (y ) ∼ g (y ) per y → ȳ 
 =⇒
f e g continue in ȳ , se ȳ ∈ R
f (h(x)) ∼ g (h(x))
per x → x̄
Osservazione
Dai “limiti notevoli” segue che, per x → 0:
• sin(x), arcsin(x), tan(x), arctan(x), e x − 1, ln(1 + x)
sono asintoticamente equivalenti a x (e quindi tra loro);
x2
• 1 − cos(x) è asintoticamente equivalente a
.
2
Esercizio
(e x − 1) sin(3x)
x→0 ln(1 + tan(x 2 ))
Calcolare lim
Esempi
Per x → +∞:
2x 4 − x 3 + 3x 2 ∼ 2x 4
2x 4 − x 3 + 3x 2 + 5 ∼ 2x 4
3x 2/5 − x 2/3 + 2x 4/3 ∼ 2x 4/3
Per x → 0:
2x 4 − x 3 + 3x 2 ∼ 3x 2
2x 4 − x 3 + 3x 2 + 5 ∼ 5
3x 2/5 − x 2/3 + 2x 4/3 ∼ 3x 2/5
Generalizzando gli esempi si ottiene la seguente
Proposizione
Una combinazione lineare di potenze di x con esponente positivo
(brevemente: funzione algebrica) è asintoticamente equivalente
• al monomio con esponente maggiore per x → +∞,
(x → −∞)
• al monomio con esponente minore per x → 0.
(x → 0+ )
Esercizio
Calcolare i seguenti limiti:
√
2x 3 − 3x − 4 x
√
lim
3
x→+∞
5x 4 + 7 x 5
√
2x 3 − 3x − 4 x
√
lim
3
x→0+
5x 4 + 7 x 5
(x 4 − 2x 3 )(5x 2/5 + 2x 2 )
√
x→−∞ (3x 5 + 3 x 2 )(3x − 1)
lim
(x 4 − 2x 3 )(5x 2/5 + 2x 2 )
√
x→0 (3x 5 + 3 x 2 )(3x − 1)
lim
Gli esempi mostrano che le forme di indecisione in cui compaiono
prodotti e/o rapporti di funzioni algebriche si risolvono rapidamente
trascurando i termini con esponente inferiore o superiore, a seconda
che x tenda all’infinito o a 0.
Possiamo generalizzare il procedimento a funzioni non algebriche?
Confronto tra infiniti e infinitesimi
Sia x̄ ∈ R. Supponiamo che le funzioni f e g siano entrambe infinite
oppure entrambe infinitesime per x che tende a x̄ .
Se
f (x)
lim
= 0,
x→x̄ g (x)
diciamo che f è infinito di ordine inferiore, oppure infinitesimo di
ordine superiore, rispetto a g per x che tende a x̄ e scriviamo
f (x) = o(g (x)) per x → x̄
(si legge “f è o piccolo di g ”). Terminologia?
Esempio
Per x → 0: 1 − cos(x) = o(sin(x)).
Nota
Se il rapporto f (x)/g (x) diverge per x → x̄ , si dice che f è infinito di
ordine superiore, oppure infinitesimo di ordine inferiore, rispetto a g .
Motivazione . . .
Proposizione
Sia x̄ ∈ R. Siano f , g funzioni infinite o infinitesime per x → x̄ .
Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti:
(a) f (x) ∼ g (x) per x → x̄ ,
(b) f (x) = g (x) + o(g (x)) per x → x̄ .
Verifica . . .
Nota
Con le notazioni della proposizione, chiamiamo g (x) la parte
principale di f (x).
Osservazione
Dalla proposizione e dalle proprietà della equivalenza asintotica segue
che, nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto,
in ciascun fattore gli infiniti di ordine inferiore e gli infinitesimi di
ordine superiore sono trascurabili (conta solo la parte principale).
Definiamo l’infinito/infinitesimo campione:

1

 x
oppure
se x̄ ∈ {−∞, +∞}
x
ϕ(x) =
1


oppure x − x̄
se x̄ ∈ R
x − x̄
Se la parte principale di f (x) è del tipo c [ϕ(x)]α , chiamiamo α
ordine di infinito/infinitesimo di f .
Nota: se α non è un numero intero, può essere necessario sostituire
ϕ(x) con |ϕ(x)|.
Osservazione
Per una funzione algebrica:
• per x → +∞ (oppure x → −∞), la parte principale coincide con
il monomio con esponente maggiore e l’ordine di infinito coincide
con l’esponente maggiore;
• per x → 0, la parte principale coincide con il monomio con
esponente minore e l’ordine di infinitesimo coincide con
l’esponente minore.
Conferma del procedimento seguito per funzioni algebriche . . .
Esempi
Determinare (se esistono) la parte principale rispetto agli
infiniti/infinitesimi campione delle funzioni
√
• e 3/ x − 1
per x → +∞
4x • ln 1 − 4
per x → +∞
x +1
x +1
• q
5
tan (x − 3)2
• tan(x)
per x →
• x 2 (sin(x) + 3)
• ex
per x → 3
π
da sinistra
2
per x → +∞ ???
per x → +∞ ???
• ln(x)
per x → +∞ ???
Regola di de l’Hôpital
Teorema
Siano f e g due funzioni e sia x̄ ∈ R un punto di accumulazione
f
per il dominio della funzione rapporto .
g
Supponiamo che:
(a) f e g siano entrambe infinite oppure entrambe infinitesime
per x che tende a x̄ ;
(b) f e g siano derivabili vicino a x̄ ;
(c) esista il limite
lim
x→x̄
f 0 (x)
= ` ∈ R.
g 0 (x)
Allora:
f (x)
anche il rapporto
ha limite in x̄ e si ha
g (x)
f (x)
lim
= `.
x→x̄ g (x)
Esempi
ln(x)
Calcolare lim
x→1 1 − x 2
sin(x) − x
x→0
x5
lim
sin(x)
???
x→0
x
lim
Ruolo delle ipotesi
f
Se (a) non è soddisfatta, non è detto che il limite di
sia uguale
g
0
f
x
al limite di 0 . Esempio: lim+
g
x→1 ln(x)
f
Se (c) non è soddisfatta, niente può dirsi sul limite di , che può
g
x − sin(x)
esistere o non esistere. Esempio: lim
x→+∞ x + sin(x)
Esempi (da ricordare)
Come applicazione della regola di de l’Hôpital calcoliamo i seguenti
limiti, che nei casi indicati presentano la forma di indecisione ∞/∞:
lim
x→+∞
loga (x)
=0
xp
p>0
xp
=0
x→+∞ ax
a > 1, p > 0
lim
Esponenziale e logaritmo
non hanno ordine di infinito
Corollario (gerarchia degli infiniti)
Per x → +∞:
• la funzione logaritmo con base qualsiasi è trascurabile rispetto
alla funzione potenza con esponente positivo qualsiasi;
• la funzione potenza con esponente positivo qualsiasi è trascurabile
rispetto alla funzione esponenziale con base maggiore di 1.
Esempi
Calcolare
lim
x→+∞
√
x − ln(x)
(log3 (x))2
x→+∞
x3
lim
x 2 − 3x
x→+∞ 2x + x 3
lim
Classificazione dell’andamento all’infinito di una funzione
Sia x̄ ∈ {−∞, +∞}. Supponiamo che f diverga per x → x̄ .
Diciamo che f ha andamento lineare se
(∗) esiste m ∈ R∗ tale che f (x) ∼ mx per x → x̄ .
Formulazione
equivalente?
Se vale (∗) e inoltre
f (x) − mx → q ∈ R per x → x̄ ,
diciamo che la retta di equazione y = mx + q è un asintoto obliquo
per f . Interpretazione grafica?
Diciamo che f ha andamento sublineare se
f (x) = o(x) per x → x̄ .
Formulazione equivalente?
Diciamo che f ha andamento superlineare se
x = o(f (x)) per x → x̄ .
Formulazione equivalente?
Esempi
Classificare (se appropriato) l’andamento all’infinito delle seguenti
funzioni; in caso di andamento lineare, stabilire l’esistenza di asintoti
obliqui.
q
x2 − x + 2
x3 − x + 2
f (x) =
f
(x)
=
f (x) = 5 x 2 (x − 1)
x2 + 1
x2 + 1
√
f (x) = 3x + x
f (x) = x(sin(x) + 3)
Risoluzione grafica e approssimata di equazioni
Per ciascuna delle seguenti funzioni, tracciare un grafico
approssimativo e utilizzarlo per determinare il numero di soluzioni
dell’equazione f (x) = λ, al variare di λ ∈ R.
f (x) = |x + 1|e −x
f (x) = x ln(x)
f (x) =
ln(x)
x −2
Si considerino le seguenti equazioni, non risolvibili esplicitamente:
2x 3 − 4x 2 + 1 = 0
2x = −x
3x 2 − x 6 = 1
ln
x + 1
+x +4=0
x
Determinare il numero esatto di soluzioni in R; determinare
approssimativamente ciascuna soluzione con una cifra decimale
corretta.
Osservazione
Sia P(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 .
Dal teorema degli zeri segue che:
• se n è dispari, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno una
soluzione;
• se n è pari e an · a0 < 0, l’equazione P(x) = 0 ammette almeno
una soluzione negativa e una positiva.