varianza deviazione standard

Università degli Studi del Piemonte Orientale
Corso di Laurea in Infermieristica
Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari
Statistica
Lezione 2(bis)
a.a 2011-2012
Dott.ssa Daniela Ferrante
[email protected]
Misure di tendenza centrale e di variabilità
- Misure di tendenza centrale
Media aritmetica
Media aritmetica calcolata su dati raggruppati
Mediana
Moda
Percentili
Diagrammi a scatola e baffi (Box Plot)
- Misure di variabilità
Range
Devianza
Varianza
Deviazione Standard
Coefficiente di Variazione
Range o campo di variazione
Si calcola come:
Valore massimo – valore minimo
Esempio:
138 130 140 120 125 120 132 140 145 125
Range = 145-120=25
Devianza
La Devianza è la somma dei quadrati delle differenze tra il
valore della variabile e la media (scarti).
dev =
n
(
∑ xi − X
i =1
)
2
Varianza
La Varianza è la devianza divisa per il numero di
osservazioni – 1
n
var = dev /( n − 1) =
(
∑ xi − X
i =1
( n − 1)
)
2
Deviazione standard
La Deviazione Standard (DS) è la radice quadrata della
varianza.
n
DS =
(
∑ xi − X
i =1
(n − 1)
)
2
Coefficiente di variazione
Rapporto tra deviazione standard e media. Viene solitamente
espresso in percentuale.
DS
CV % =
∗ 100
x
Se le modalità quantitative delle distribuzioni statistiche
sono espresse in unità di misura diverse allora per il
confronto si devono usare indici di variabilità relativa.
Esercizio 5
(xi − x)2
Pressione
sistolica
120
(120-131,5)2=132,25
120
132,25
n
dev = ∑
i =1
n
125
42,25
125
42,25
130
2,25
132
0,25
138
42,25
140
72,25
140
72,25
145
182,25
720,5
var =
(x − X )
2
i
(
∑ xi − X
i =1
(n − 1)
n
DS =
CV % =
)
2
=
(
720,5
= 80,05
9
∑ xi − X
i =1
= 720,5
( n − 1)
)
2
= 8,95
DS
8,95
∗ 100 =
∗ 100 = 6,8 %
131,5
x
Esempio di distribuzione simmetrica:
Voto all'esame di statistica
14
frequenza assoluta
12
10
8
6
4
2
0
18
19
20
21
22
23
24
voto
25
26
27
28
29
30
Esercizio 5
• Si considerino i battiti cardiaci al minuto di 10 soggetti:
68 64 88 72 60 88 76 60 88 76
Calcolare media, mediana, moda, primo quartile,
devianza, varianza, deviazione standard e coefficiente di
variazione
Esercizio 5
n
Media = X =
∑x
i =1
n
i
= 74
Mediana:
N pari quindi le posizioni mediana sono la N/2 e la
N/2+1 ossia la 5°e la 6°
Ordino le osservazioni:
60 60 64 68 72 76 76 88 88 88
Mediana = 74
Esercizio 5
Moda = 88
1°quartile:
(n*k)/100 = (10*25) / 100 = 2,5 non è intero
quindi la posizione è int((n*k)/100)+1 = 2+1=3
1°quartile = 64
Esercizio 5
Battiti
cardiaci
(min)
n
(xi − x)2
60
(60-74)2=196
60
196
64
100
68
36
72
4
76
4
76
4
88
196
88
196
88
196
1128
dev = ∑
i =1
n
var =
(x − X )
2
i
(
∑ xi − X
i =1
2
( n − 1)
n
DS =
)
(
∑ xi − X
i =1
= 1128
( n − 1)
1128
=
= 125 ,3
9
)
2
= 11, 2
DS
11, 2
CV % =
∗ 100 =
∗ 100 = 15 ,1 %
74
x