Project Management

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Project Management

Project Management
Massimo Paolucci
([email protected])
DIST – Università di Genova
2
Project Management
Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di
progetti
• esempi sono progetti nell’edilizia, lo sviluppo di sistemi (software),
ricerca, ecc.
I problemi di gestione:
• aumentano col crescere della grandezza del progetto (numero di
attività)
• dipendono dal livello di interdipendenza delle attività
• sono legati alla disponibilità limitata delle risorse
• devono tener conto dei costi fissi e variabili del progetto (e.g. di
penali) e dei costi delle risorse
3
Project Management
Domande a cui chi gestisce un progetto deve rispondere:
•
•
•
•
qual è la durata del progetto (la consegna) ?
quali attività più di altre possono influire su tale durata ?
quando possono iniziare e terminare le singole attività ?
quali margini di tempo esistono per ritardare delle attività senza
influire sulla durata del progetto ?
• di quali attività posso prolungare la durata (risparmiando risorse)
senza influire sulla durata del progetto ?
• su quali attività conviene concentrare le risorse per cercare di
ridurre la durata del progetto ?
• come posso ridurre complessivamente i costi del progetto
mantenendone la durata fissata o eventualmente aumentandola
sino ad un livello accettabile ?
4
Project Management - Definizioni
PERT (Project Evaluation and Review Technique) (1950)
CPM (Critical Path Method) (1957)
Progetto
• un insieme di attività che devono essere svolte con un certo
ordine
Attività
• un’operazione che richiede delle risorse ed un certo tempo
per essere eseguita
5
Project Management - Definizioni
Carta di Gantt
• strumento grafico per la pianificazione dei progetti
T1
T2
T3
T1
T2
T5
attività
risorse
T4
T3
T6
tempo
T4
T5
T6
tempo
• E’ una rappresentazione che non evidenzia le dipendenze tra
i task ⇒ non mi permette di rispondere a molte domande.
6
Project Management – PERT-CPM
PERT-CPM
• Sono metodi time-oriented, ovvero determinano lo
scheduling dei task nel tempo
• Scheduling:
¾ Assegnare, Sequenziare, Temporizzare
• Sono anche dette tecniche reticolari per la
programmazione dei progetti
• Sono tecniche di scheduling che non tengono conto
della presenza di risorse limitate
• Sono metodi efficienti (polinomiali)
7
Tre fasi del PERT-CPM
• Planning
suddividere il progetto in attività (task) costruendo un grafo
orientato in cui ciascun arco rappresenta una singola attività
• Scheduling
costruire una mappa temporale che riporti l’inizio e la fine di
ogni attività e le relazioni di dipendenza tra le attività, mettendo
in evidenza le attività critiche
• Controlling
utilizzando il grafo e la mappa temporale permette di seguire
l’avanzamento del progetto ed eventualmente apportare
modifiche allo schedule
8
La fase di planning
¾ Determinazione delle attività del progetto
• E’ la fase più importante della gestione del progetto
• E’ un’analisi eseguita da un team
• Individuare le attività rilevanti
• Individuare le relazioni (precedenze) tra le attività
• Stimare le durate delle attività
9
La fase di planning
¾ Costruzione del grafo orientato delle attività
Grafo delle attività
Rappresenta le relazioni (precedenze) tra le attività del
progetto (Activity-On-Arc, AOA)
Arco orientato ⇒ Attività
Nodo ⇒ Evento
Evento: istante di inizio o di completamento di un’attività
evento i
j
i
attività (i, j)
evento j
10
La fase di planning
¾ Significato del grafo
dij
i
j
k
djh
h
dkj
• L’attività (j,h) deve attendere che siano terminate le
attività (i, j) e (k, j) per potere avere inizio
• Ad ogni arco/attività si associa un peso che rappresenta
la durata dell’attività
11
La fase di planning
¾ Regole per la costruzione del grafo
Regola 1
Ciascuna attività è rappresentata da un solo arco
orientato
Regola 2
Non possono esistere attività differenti caratterizzate dalla
stessa coppia di eventi (stesso evento iniziale e stesso
evento finale) (alcuni software lo consentono)
12
La fase di planning
• Per soddisfare la Regola 2 si introducono attività
dummy (attività fittizie di durata zero)
j
i
B
A
i
A
B
j
dummy
k
13
La fase di planning
• Le attività dummy possono servire per definire meglio
relazioni logiche
Ad esempio, A e B precedono C, B precede E
i
A
C
j
k
B
E
h
f
i
A
j
C
h
dummy
k
B
g
f
E
14
La fase di planning
Regola 3
La correttezza delle relazioni di precedenza costruite può
essere verificata eseguendo ogni volta che si aggiunge
un’attività i seguenti controlli:
1. verificare quali attività devono completarsi immediatamente
prima che la nuova attività inizi
2. verificare quali attività devono seguire l’attività
3. verificare quali attività si devono svolgere
contemporaneamente
15
La fase di planning
¾ Osservazioni
•
Il grafo AOA mette in evidenza:
l’esistenza di attività che possono essere eseguite in parallelo
la presenza di eventi di sincronizzazione nel progetto
•
In alternativa le relazioni di precedenza (in modo più
intuitivo) possono essere descritte da un grafo Activity-OnNode
16
La fase di planning
• Un esempio
A, B, C attività iniziali
A, B → D
B → E, F, H
F, C → G
E, H → I, J
C, D, F, J → K
K→L
I, G, L attività finali
17
La fase di scheduling
¾ Allocare le attività nel tempo
• Si determinano gli istanti di possibile inizio e fine delle
attività tenendo conto solo delle precedenze
• Si applica un algoritmo semplice (polinomiale) basato
su operazioni aritmetiche eseguite direttamente sul
grafo
• Si determinano le attività critiche
18
¾ Attivita critiche e percorso critico
Attività critica
un’attività che causerebbe un ritardo nel completamento
dell’intero progetto se ne venisse ritardato l’inizio
Attività non critica
il tempo che intercorre tra il primo istante in cui, in base alle
precedenze, è possibile iniziare l’attività (Earliest Start, ES) e
l’ultimo istante in cui “può terminare” (Latest Completion, LC) è
maggiore della durata dell’attività
Percorso critico (Critical Path, CP)
la catena delle attività critiche dall’inizio alla fine del progetto
19
¾ Determinare il percorso critico (CP)
• Il calcolo del CP si esegue in due passi
Forward pass
Dal nodo iniziale verso il nodo finale, per ogni nodo j si
calcola il ESj
Backward pass
Dal nodo finale verso il nodo iniziale, per ogni nodo j si
calcola il LCj
20
¾ CP – Fase forward
• Si calcola ESi Earliest Start Time di tutte le attività che
partono dall’evento i, i=1,...,n
Per i=0 si pone ES0=0
dij è la durata dell’attivita associata all’arco (i, j)
ES j = max
i:∃ ( i, j)
[ES i + d ij ]
21
¾ CP – Fase forward
• ESj
ESi
attività che
completano in j
i
dij
ESj
j
ESi
ESj
22
¾ CP – Fase backward
• Si calcola LCi Latest Completion Time di tutte le attività
che terminano nell’evento i
Per per i=n si pone LCn = ESn
[
LC i = min LC j − dij
j:∃(i, j)
]
23
¾ CP – Fase backward
• LCi
attività che
iniziano in i
j LCj
dij
LCi
i
LCi
LCj
24
• Un esempio
Attività
A
B
C
D
E
F
G
H
I
L
Durata (dj)
3
2
2
3
2
3
7
5
6
2
Precede
E, D
C
F, G, H, L
F, G, H, L
G, H
I
I
25
• Un esempio
A, 3
0
E, 2
2
4
B, 2
dummy
D, 3
H, 5
G, 7
5
1
I, 6
C, 2
6
F, 3
3
L, 2
26
• Un esempio: fase forward
0
A, 3
0
3
ESi
E, 2
2
6
4
B, 2
D, 3
13
1
2
G, 7
dummy
5
I, 6
C, 2
F, 3
3
6
H, 5
L, 2
19
6
27
• Un esempio: fase forward
ESi
• I calcoli

ES0=0
ES1=ES0+d01=0+2=2
ES2=ES0+d02=0+3=3
ES3=maxi[ESi+di3]=max[2+2, 3+3]=6
ES6=maxi[ESi+di6]=max[6+5, 13+6, 6+2]=19
28
LCi
• Un esempio: fase backward
ESi
3
0
0
A, 3
0
6
3
E, 2
2
6
4
B, 2
dummy
D, 3
4
1
G, 7
13
13
I, 6
F, 3
6
6
3
19
19
5
2
C, 2
H, 5
L, 2
6
29
• Un esempio: fase backward
LCi
ESi
• I calcoli

LC6=ES6=19
LC5=LC6-d56=19-6=13
LC4=mini[LCi-d4i]=min[19-5, 13-7]=6
LC3=mini[LCi-d3i]=min[6-0, 13-3, 19-2]=6
LC1=LC3-d13=6-2=4
30
¾ Le attività critiche
• L’attività (i, j) è sul CP se:
1. ESi = LCi
2. ESj = LCj
3. ESj - ESi = LCj - LCi = dij
• La lunghezza del CP corrisponde al tempo minimo
necessario per completare il progetto
31
• Un esempio: identificazione delle attività critiche
3
0
0
A, 3
0
6
3
E, 2
2
6
4
B, 2
dummy
D, 3
4
1
G, 7
13
13
19
19
5
I, 6
2
C, 2
H, 5
6
F, 3
6
3
6
L, 2
32
¾ Calcolo dei Margini (Float)
• Un insieme di quantità associate ad ogni attività dette
float indicano con quale margine un’attività può essere
spostata nel tempo ed in che modo tale spostamento
influenza le altre attività
• Tre float
Total Float
Free Float
Independent Float
33
• Total float (margine totale) di (i, j)
TFij = LCj - ESi - dij = LSij - ESi
dove LSij = LCj - dij è il Latest Start di (i, j)
• TFij è il margine di tempo tra il massimo intervallo in cui
può essere eseguita (i, j) e la durata di (i, j)
• E’ il massimo ritardo dell’inizio di (i,j) rispetto ESj che
non influenza la durata del progetto
34
• Free float (margine libero) di (i, j)
FFij = ESj - ESi - dij = ESj - ECij
dove ECij = ESi + dij è l’Earliest Completion di (i, j)
• Supponendo che le attività precedenti finiscano il prima
possibile, rappresenta il margine di tempo che resta
completando prima possibile (i, j) e dovendo far iniziare
le attività che iniziano con l’evento j il prima possibile
35
• Independent float (margine indipendente) di (i, j)
IFij = ESj - LCi - dij
• Supponendo che tutte le attività precedenti completino
il più tardi possibile e che quelle seguenti inizino prima
possibile, rappresenta il margine di tempo che resta
completando il più tardi possibile (i, j) e dovendo far
iniziare le attività che iniziano con l’evento j il prima
possibile
36
• Graficamente
ESi
LCi
ECij LSij
ESj
dij
dij
TFij
FFij
IFij
LCj
37
Osservazioni
• I float indicano quale possibilità di manovra si ha nel
ritardare l’inizio di un’attività o nel farne crescere la
durata senza influenzarne altre
• TFij = 0 per le attività critiche
• Se si ritarda l’inizio delle attività critiche o la loro durata
aumenta, cresce di conseguenza la durata di tutto il
progetto
38
¾ La rappresentazione dei risultati
•
I risultati dell’analisi possono essere raccolti in una tabella
Attività
Durata
ESi
LCj
TFij
FFij
IFij
• Quindi è possibile costruire una carta di Gantt per
rappresentare graficamente lo schedule. In questa
carta non sono evidenziate le risorse (risorse infinite)
39
¾ La rappresentazione dei risultati
•
Un esempio di carta di Gantt
Attività critica
3
1
0
Precedenza
5
6
CP
ES0
0
4
2
CP
LC2
Attività non critica
tempo
Range per attività non critica
40
• L’esempio continua
3
0
0
A, 3
0
6
3
E, 2
2
6
4
B, 2
dmy
D, 3
4
1
G, 7
13
13
I, 6
F, 3
6
6
3
19
19
5
2
C, 2
H, 5
L, 2
6
41
• L’esempio continua
Attività
Durata
ESi
LCj
TFij
FFij
IFij
A (0, 2)
3
0
3
0
0
0
B (0, 1)
2
0
4
2
0
0
C (1, 3)
2
2
6
2
2
0
D (2, 3)
3
3
6
0
0
0
E (2, 4)
2
3
6
1
1
1
dm y (3, 4)
0
6
6
0
0
0
F (3, 5)
3
6
13
4
4
4
G (4, 5)
7
6
13
0
0
0
H (4, 6)
5
6
19
8
8
8
I (5, 6)
6
2
13
6
19
19
0
11
0
11
0
11
L (3, 6)
42
2
0
3
D
A
dmy
6
5
G
4
I
1
B
C
1
E
F
L
H
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
43
2
0
3
A
D
dmy
6
5
I
G
4
1
B
C
1
E
F
L
H
0
2
4
6
8
12
10
14
16
18
20
44
¾ Osservazioni
•
Se TFij = FFij l’attività (i, j) può essere posizionata
liberamente all’interno del proprio intervallo di attivazione
senza che ciò influenzi altre attività
•
Se TFij > FFij l’attività (i, j) può essere ritardata rispetto ESi
solo del FFij senza che questo influenzi le attività seguenti.
Questo si verifica se un’attività che ne precede un’altra può
terminare (LC) anche dopo il primo possibile istante di inizio
della successiva (ES)
0
1
B
1
C
3
45
¾ Osservazioni
•
IFij può essere anche negativo.
In questo caso tale quantità indica l’anticipo con cui
dovrebbe verificarsi l’evento i rispetto LCi perchè lo schedule
dell’attività (i, j) non influenzi le attività seguenti
LCi
ESi
LSij
ECij ESj
LCj
dij
TFij
FFij
IFij <0
46
• Un altro esempio
Attività
A
B
C
D
E
F
G
H
I
L
M
N
O
Durata (dj)
3
5
7
4
2
3
2
7
3
5
3
2
6
Precede
D
E, F, G
F, G
O, H
I, L
I, L
M
N
M
N
I, L
47
La fase di controlling
¾ Assegnazione delle risorse
•
Lo schedule determinato assume che siano presenti risorse
infinite (le risorse non modificano la possibilità di eseguire le
attività)
•
La presenza di margini nello schedule permette di
assegnare le attività in modo da ridurre le risorse necessarie
per la loro esecuzione
•
In generale il problema del project scheduling con risorse
limitate è NP-hard
48
¾ Valutazione della durata del progetto
•
Se la durata prevista del progetto indicata dallo schedule
non fosse accettabile ...
Analisi strategica: valutare se la struttura delle precedenze è
proprio quella considerata per le attività critiche o può essere
cambiata
Analisi tattica: effettuare l’analisi dei costi che si dovrebbero
pagare riducendo ad un livello accettabile la durata del
progetto
49
¾ Analisi dei costi
•
Determinato il CP è possibile eseguire un’analisi di postottimalità tenendo conto dei costi
•
In genere il costo totale ( CT) di un progetto è dato da
CT =
∑
( i, j)∈ A
c ij + c P
A è l’insieme delle attività
cij è costo dell’attivita (i,j) (costo diretto)
cP è un costo associato globalmente al progetto (e.g., affitto
macchinari, concessioni, penali, ecc.) (costo indiretto)
50
•
I costi diretti dipendono dalla durata delle attività che a sua
volta dipende dalla quantità di risorse utilizzate per eseguirla
•
Alternative per ridurre CT:
ridurre i costi diretti cij aumentando la durata di un’attività non
critica rispettando i margini
ridurre il costo indiretto cP riducendo la durata delle attività
critiche; in questo caso tuttavia i costi diretti delle attività
critiche aumenteranno ⇒ compromesso
•
L’analisi deve essere effettuata imponendo che il CP non
cambi
51
¾ I costi diretti
•
Si assumono lineari in una
regione tra
dijn durata nominale → cijn
dijc durata di crash → cijc
cij
cijc
cijn
dij
• cij = αij⋅dij
α ij = −
αij<0
dijc
dij
n
c ijc − c n
ij
dn
− d ijc
ij
52
¾ I costi indiretti
•
Si assumono lineari
cP
α P>0
• cP = αP⋅dP
• dP = ESn=LCn
c0
dP
d0
53
•
Si può formulare un problema di PL
Obiettivo (minizzazione CT)
min C T =
∑
(i, j)∈ A
α ij ⋅ d ij + α P d P
dp è una variabile dipendente → dP =
∑
(i, j)∈CP
dij
Introducendo ESi e LCi come variabili → dP = ESn
54
•
Vincoli
costi diretti lineari → dc ≤ dij ≤ dn
ij
ij
definizione del CP → dP =
∑
(i, j)∈CP
∀(i, j) ∈ A
dij
conservazione del CP (post-ottimalità) →
∑
(i, j)∈Pk
dij ≤ dP
∀Pk ≠ CP
Pk percorso tra l’evento inizio e l’evento fine del progetto
55
•
Una formulazione lineare più generale si ha usando le ESi e
LCi come variabili
dP = ESn
Obiettivo (minizzazione CT)
min C T =
∑
(i, j)∈ A
α ij ⋅ d ij + α P ES n
56
•
Vincoli
n
c
costi diretti lineari → dij ≤ dij ≤ dij
definizione degli ESi e LCi →
ESi ≥ ES j + dij ∀j ∈ pred(i)
LCi ≤ LC j − dij ∀j ∈ succ(i)
LC j − ESi ≥ dij
∀(i, j) ∈ A
∀(i, j) ∈ A
57
Esempi con software
• Excel
• MS Project
58
Esempi
59
Esempi
60
Esempi
2
4
1
3
5
61
Esempi
Activity DIP
62
Esempi
min C T =
∑
( i, j )∈ A
− α ij ⋅ ∆ ij
0 ≤ ∆ij ≤ ∆max
∀(i, j) ∈ A
ij
ESi ≥ ES j + (dij − ∆ij ) ∀j ∈ pred(i)
LCi ≤ LC j − (dij − ∆ij ) ∀j ∈ succ(i)
LC j − ES i ≥ dij − ∆ ij
∀(i, j) ∈ A
63
Considerazioni finali
• L’analisi del PERT-CPM può essere effettuata
anche in presenza di durate aleatorie delle attività
(almeno in presenza di ipotesi semplificative)

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