Programma e Problemi x corso Ragionamento Logico

Corso di recupero di Ragionamento logico (Gustavo De Santis, febbr-aprile 2014)
Testi di riferimento
Un qualunque manuale di matematica delle superiori. Per la guida e un “Bignami” degli argomenti
più importanti qui trattati, v. le appendici di G. De Santis, Demografia, il Mulino, 2010 (Nota:
questo testo è usato per il corso di “Demografia”, obbligatorio nel curriculum di Studi Sociali,
opzionale negli altri. Chi conta di dare questo esame non deve quindi comprare testi aggiuntivi
Filosofia generale
Le cose importanti qui sono due: 1) è pensare a questo corso come a un’opportunità di rivedere cose
vecchie (la matematica!) con occhi nuovi, e 2) essere curiosi e coerenti (La tecnica verrà, forse).
Per stimolare la curiosità eccovi una serie di problemi: alcuni sono banali, altri meno. Alla fine del
corso mi aspetto che sappiate almeno come ragionare per poterli (un giorno) risolvere.
*) Problema del deserto
Due persone devono affrontare una traversata del deserto, per la quale servono (minino!) 4 pani a
testa. Il primo ne ha 7 e il secondo 5, e quindi pensano di poter affrontare il viaggio in sicurezza.
Ma arriva una terza persona, stracciata e senza pani: anche lei vuole attraversare, sostiene che 12
pani in 3 sono sufficienti, e tanto prega e insiste che alla fine li convince. Partono e, sia pure con
molte sofferenza, arrivano vivi tutti e tre dall’altra parte del deserto.
Ora il terzo personaggio si rivela: non è uno straccione, ma uno sceicco, che ha voluto mettere alla
prova la generosità degli altri due. Tira fuori 12 monete d’oro e dice: “Sono per voi, ve le siete
meritate: 7 per chi aveva 7 pani, e 5 per chi ne aveva 5”.
“E no - obietta il primo viaggiatore - Io ti ho dato 3 pani, e l’altro solo uno. Quindi io devo avere il
triplo di quello che prende lui. Con 12 monete in gioco, a me ne toccano 9, e a lui 3”
“Niente affatto, interviene il secondo viaggiatore. E’ vero che io avevo meno monete, ma se non
avessi messo a disposizione la mia (rischiando anch’io la mia vita), il viaggio non si sarebbe fatto e
le 12 monete non si sarebbero guadagnate. Quindi mi tocca la metà della vincita, 6 monete,
esattamente come all’altro”.
Chi ha ragione?
*) Problema delle 3 porte (da “Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte”, di Mark Haddon)
Un uomo partecipa a un quiz televisivo. Può vincere un’auto. Il presentatore gli mostra 3 porte.
Dice che dietro a una delle tre porte c’è l’auto in palio mentre dietro alle altre due ci sono delle
capre. Gli chiede di sceglierne una. Quella che ha indicato non viene aperta. Il presentatore, invece
apre una delle porte che il concorrente non ha scelto e mostra una capra (perché lui sa cosa sta
dietro a ognuna delle porte). E dà un’ultima possibilità al giocatore prima dell’apertura di tutte le
porte. Vuole cambiare la porta, o mantenere la scelta iniziale?
Cosa suggerite: Conviene cambiare porta o mantenere quella scelta? O è indifferente?
*) Problema dei tre condannati a morte
A, B, e C sono tre condannati a morte, ma il giorno dell’esecuzione è festa nazionale, e lo Scià
grazierà uno di questi. Scrive su un foglio il nome del graziato e lo affida alle guardie, perché lo
rivelino all’ultimo minuto. A, che non regge alla tensione, corrompe una della guardie per farsi
rivelare la scelta in anticipo. La guardia prende i soldi. E gli dice: “Non posso parlarti del tuo
destino personale. Ma ti posso dire che C morirà”. Il condannato A è comunque contento perché il
suo rischio di morte è sceso da 2/3 (≈67%) a 1/2 (=50%).
Ha ragione A, o invece la guardia gli semplicemente rubato i soldi senza dargli niente in cambio?
1
*) Problema dell’eredità
Un ricco commerciante arabo muore lasciando 3 figli maschi, e 17 cammelli. Nel testamento scrive
“Al primogenito lascio la metà dei miei cammelli; al secondogenito un terzo dei miei cammelli; al
terzogenito un nono dei miei cammelli”. I figli sono (comprensibilmente) in difficoltà con la
divisione, e vanno da altro commerciante, amico del padre, a farsi aiutare. Il commerciante presta
loro un cammello e ... tutto si risolve.
Come è possibile? Dov’è il trucco?
*) 107 x 93; 251 x 864
Oltre che con la macchinetta, queste due operazioni si possono fare facilmente a mente. Come?
*) I tre figli e il numero di casa
Due amici si re-incontrano per caso, dopo moltissimi anni. Scambio di saluti e informazioni. Uno
rivela di avere tre figli. “Quanti anni hanno”. “Beh, visto che eri appassionato di ragionamento
logico, ti voglio sfidare: indovina! Ti posso dire che il prodotto delle loro età fa 36.”
“Ma non mi basta!” protesta l’amico.
“Hai ragione. Ti dirò anche che la somma delle loro età fa il numero civico di casa tua.”
“Ma ancora non mi basta!” ri-protesta l’amico.
“E’ vero. Ma il più grande ha gli occhi azzurri”
“Ah, beh: allora è facile!”
Quanti anni hanno i tre figli?
*) Scommettiamo sui dadi (1)
Io ho in mano un dado regolare (giuro!). Se esce la faccia 1 pago 1 euro, se esce la faccia 2 pago 2
euro; ..., se esce la faccia 6 pago 6 euro. Vi propongo di giocare con me.
Quanto siete disposti a pagare per lanciare il dado?
*) Scommettiamo sui dadi (2)
Io ho in mano un dado regolare (giuro!). Se esce la faccia 1 pago 1 milione di euro, se esce la faccia
2 pago 2 milioni di euro; ..., se esce la faccia 6 pago 6 milioni euro. Vi offro di giocare con me.
Quanto siete disposti a pagare per lanciare il dado?
*) Scommettiamo sui dadi (3)
Io ho in mano un dado regolare (giuro!). Se esce un numero pari, pago 2 euro (e il gioco finisce); se
invece esce un numero dispari, si rilancia il dado. Ora, se esce un numero pari pago 4 euro, e il
gioco finisce, altrimenti si rilancia il dado. Ora, se esce un numero pari pago 8 ero, ecc. (sempre
raddoppiando). Vi offro di giocare con me. Quanto siete disposti a pagare per giocare?
*) Scommettiamo sui dadi (4)
Io ho in mano 2 dadi regolari (giuro!). Se esce la faccia 6 (non importa se una o due volte) pago 6
euro. Vi offro di giocare con me. Quanto siete disposti a pagare per lanciare i due dadi insieme?
*) Statistica poliziesca
Viene ammazzata una donna, e un testimone rivela che l’omicida è un uomo di colore. Un uomo di
colore viene effettivamente trovato nelle vicinanze in circostanze sospette, fermato e condotto in
tribunale. Poiché in città gli uomini di colore sono percentualmente molto pochi, solo uno su mille,
la pubblica accusa chiede la condanna, sostenendo che le probabilità di condannare un innocente
sono solamente una su mille. Se voi foste il giudice, condannereste?
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*) I sillogismi aristotelici e statistica (classificazioni)
Gli uomini sono mortali
Gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
Il mio gatto è mortale
Socrate è mortale
Il mio gatto è un uomo
Statisticamente, i sillogismi sono una gigantesca banalità. Quale? Perché uno funziona e uno no?
*) Achille pie’ veloce e la tartaruga (Paradosso di Zenone del V sec. a.C.)
Descrizione di Jorge Luis Borges: “Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga,
simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di
vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel
metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un
centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre
quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che
Achille può correre per sempre senza raggiungerla”. Zenone (e Borges) hanno ragione?
*) In banca
Avete bisogno di (circa) 10.000 euro di prestito, con restituzione in 5 anni, e andate da sei banche
diverse (B1, B2, ..., B6), che vi fanno le seguenti proposte:
B1) pagare il 5% composto annuo
B2) Pagare il primo anno il 7%, poi il 6%, poi (ecc.) e infine il 3% (media=5%), composto annuo
B3) Pagare il primo anno il 3%, poi il 4%, poi (ecc.) e infine il 7% (media=5%), composto annuo
B4) Pagare il 4% composto annuo, ma con l’aggiunta di 500 euro finali, a titolo di “spese pratica”
B5) Pagare il 4% composto annuo, ma con l’aggiunta di 400 euro iniziali, a titolo di “spese pratica”
B6) Pagare 2400 euro alla fine di ogni anno, per 5 anni
Quale banca scegliete? Sapete ordinare le proposte per vantaggiosità?
Appendici del libro G. De Santis, Demografia, Il Mulino, Bologna, 2010
(contengono solo un’infarinatura di concetti da approfondire a lezione e/o su testi liceali)
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Numeri (arabi contro romani; insiemi di numeri)
Sommatoria
Probabilità
Equazioni e sistemi di equazioni
Diagramma cartesiano, punti, rette e trasformazioni lineari.
Modello geometrico e esponenziale
Il numero di Nepero
Logaritmi e trasformazioni non lineari in genere.
Parabole, tangenti, derivate, minimi e massimi, flessi. Concavità e convessità. Asintoti.
Integrali.
10. Medie
11. Numeri puri e unità di misura
12. Numeri indici
13. Matrici e vettori
+ Proporzioni e percentuali, riproporzionamento (scaling) [parte delle trasf. lineari, punto 5)
SOLO PER CURIOSITA’ (e, magari, memoria) Somme notevoli (convergenti)
n
1) n 1   
con n, M , K naturali, e M  K 
M K
M 
K
2) n 1
n
K
n

K
1
con n, K naturali, e K  2 // n1 np ( n1) 
con n naturale, e 0  p  1
K  1
1  p 2
K
2
3