teoria dei sistemi analisi dei sistemi lti - Automazione@ingre

Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004
TEORIA DEI SISTEMI
Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica
Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale
TEORIA DEI SISTEMI
ANALISI DEI SISTEMI LTI
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522234
e-mail: [email protected]
http://www.ingre.unimore.it/staff/secchi
Rappresentazioni Equivalenti
Introducendo il concetto di stato, abbiamo detto che NON esiste un
modo unico di scegliere le variabili di stato per rappresentare un sistema
dinamico.
Consideriamo un sistema LTI. Una volta scelta una base per X=Rn,
U=Rm e Y=Rp e scelte le variabili di stato, esso è rappresentato da:
Consideriamo una matrice n x n T costante e non singolare e mediante un
cambio di variabili definiamo un nuovo vettore di stato x come:
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Rappresentazioni Equivalenti
Sostituendo nelle equazioni di partenza si ottiene:
Il sistema LTI rappresentato da queste equazioni è equivalente al
sistema LTI di partenza nel senso che per un ingresso u(t), t ≥ 0, e due
stati iniziali legati dalla condizione
i movimenti dello stato x(t) e
sono legati dalla relazione
e le uscite sono identiche.
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Rappresentazioni Equivalenti
I comportamenti descritti dai due sistemi di equazioni sono gli stessi e
sono legati mediante la matrice non singolare T.
Quindi le quadruple di matrici (A,B,C,D) e
sono
semplicemente due modi diversi di rappresentare matematicamente lo
stesso sistema. Le matrici A e
sono simili.
Spesso è utile fare un cambio di variabile per portare le equazioni che
descrivono un sistema LTI in una forma particolare in cui, ad esempio,
sono immediatamente visibili certe proprietà oppure in cui i conti
risultano semplificati.
Ovviamente noi siamo interessati alle proprietà intrinseche del
sistema, cioè quelle che NON variano al variare della
rappresentazione matematica
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Esempio
u1
k
m1
m2
u2
Due carrelli di massa m1 e m2 sono collegati ad una molla di rigidezza k e
sono sospinti rispettivamente dalle forze u1 e u2. Siano x1 e x2 le posizioni
del carrello di massa m1 e di quello di massa m2 e x3 e x4 le rispettive
velocità.
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Esempio
Le equazioni che rappresentano il sistema sono (trovarle come esercizio!):
dove si è assunto che l’elongazione della molla sia x2-x1
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Esempio
Supponiamo di voler rappresentare il sistema rispetto alle seguenti variabili
Si ha che
Le nuove equazioni del sistema sono:
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Autovalori e Autovettori
Sia dato uno spazio vettoriale V su cui sia definita una trasformazione
lineare T:V → V rappresentata da una matrice quadrata A di ordine n.
Se esistono un vettore non nullo v ∈ V e uno scalare λ ∈ R tali che:
allora:
1) Lo scalare λ è un autovalore della matrice A
2) Ogni vettore v che verifica tale relazione è un autovettore di A
relativo all’autovalore λ. L’insieme di tutti gli autovettori associati ad
un certo autovalore λ è uno spazio vettoriale detto autospazio Uλ. La
dimensione µ di Uλ è la molteplicità geometrica dell’autovalore λ
3) L’insieme degli autovalori di A è detto lo spettro di A
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Autovalori e Autovettori
Proprietà 1: L’autospazio Uλ è invariante rispetto ad A, cioè ogni
elemento di Uλ viene trasformato dalla matrice A in un elemento
appartenente ancora a Uλ
Proprietà 2: Ad autovalori λ1, … , λt distinti corrispondono autovettori
linearmente indipendenti v1, …, vt. Per questo motivo gli autospazi Uλj e
Uλi relativi ad autovalori distinti λi e λj sono disgiunti
Proprietà 3: Non sempre l’unione di tutti gli autospazio Uλ coincide con
l’intero spazio vettoriale V. Quando questo accade, esiste sempre una
base di V esprimibile come combinazione lineare degli autovettori di A e,
quindi, esiste una trasformazione T che consente di esprimere la matrice
A in forma diagonale.
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Determinazione degli autovalori
Le soluzioni λi dell’equazione:
sono tutti e soli gli autovalori della matrice A
1) Il polinomio det(λ I-A) è detto polinomio caratteristico della matrice
A. Inoltre, la molteplicità η dell’autovalore λ come soluzione
dell’equazione caratteristica det(λ I-A)=0 è detta molteplicità
algebrica dell’autovalore. In generale, la molteplicità algebrica non
coincide con quella geometrica.
2) Se λ è un autovalore, la soluzione del seguente sistema nelle
incognite v1, …, vn
fornisce l’insieme di tutti gli autovettori relativi all’autovalore λ,
cioè determina l’autospazio Uλ
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Esempio
L’equazioni caratteristica è:
La molteplicità algebrica dell’autovalore è η=2 poiché è una soluzione
doppia dell’equazione caratteristica.
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Esempio
Per determinare l’autospazio relativo a λ=1 occorre risolvere:
che è ovviamente soddisfatta per ogni vettore v ∈ R2. Pertanto Uλ = R2 e
dim Uλ=2
Quindi la molteplicità geometrica dell’autovalore λ=1 è µ = 2
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Esempio
L’equazioni caratteristica è:
La molteplicità algebrica dell’autovalore è η=2 poiché è una soluzione
doppia dell’equazione caratteristica.
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Esempio
Per determinare l’autospazio relativo a λ=1 occorre risolvere:
Uλ è costituito da tutti i vettori della forma (v1,0)T, quindi dim Uλ=1.
Pertanto la molteplicità geometrica dell’autovalore λ=1 è µ=1
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Autovalori e autovettori
Proprietà: L’insieme degli autovalori di una trasformazione lineare T è
indipendente dalla particolare base scelta per rappresentare la
trasformazione lineare stessa.
L’insieme degli autovalori è una proprietà strutturale della
trasformazione lineare T definita dalla matrice A ed è quindi un elemento
caratteristico del sistema descritto dalla matrice di stato A.
Proprietà: Matrici simili hanno lo stesso insieme di autovalori.
Pertanto, nell’ambito dei sistemi LTI, un cambio di variabile mediante
una matrice non singolare T non cambia l’insieme degli autovalori della
matrice di stato che caratterizza il sistema.
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Significato fisico degli autovalori
Consideriamo di nuovo il sistema meccanico:
x1
x2
m
k
u
b
y
Sia x la posizione del carrello.
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Significato fisico degli autovalori
Ponendo x1=x e x2=v e y=x1 abbiamo anche visto che il sistema può
essere rappresentato dalle seguenti equazioni:
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Significato fisico degli autovalori
Gli autovalori della matrice di stato sono dati dalle soluzioni di:
cioè:
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Significato fisico degli autovalori
Usando la legge di Newton, il sistema può essere descritto dalla seguente
equazione:
Ponendo come uscita x, la posizione della massa, e come ingresso u la
forza applicata, possiamo calcolare la funzione di trasferimento
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Significato fisico degli autovalori
I poli della funzione di trasferimento sono le soluzioni di:
cioè:
Gli autovalori della matrice A coincidono con i poli della funzione di
trasferimento del sistema dinamico considerato.
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Forma canonica di Jordan
Sia A una matrice di stato n x n di un sistema LTI e siano λ1, …, λh gli
autovalori distinti di A e siano r1, …, rh le loro rispettive molteplicità
algebriche. Il polinomio caratteristico può cioè essere decomposto scritto
come:
Esiste una matrice quadrata di dimensione n non singolare T, tale che
la matrice
è in una particolare forma, detta forma canonica di Jordan, nella quale
sono evidenziati gli autovalori λi. Siccome A e
sono simili, hanno gli
stessi autovalori con le stesse molteplicità.
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Forma canonica di Jordan
La forma canonica di Jordan della matrice A è:
ad ogni autovalore distinto λi corrisponde un blocco di Jordan di
dimensione ri:
dim Ji=ri
i=1,…,h
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Forma canonica di Jordan
Ogni blocco di Jordan è una matrice diagonale a blocchi ed è formato da
qi miniblocchi di Jordan:
ognuno dei quali ha dimensione νi,j e:
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Forma canonica di Jordan
Come si trova la trasformazione T ?
1) Trovare i qi autovettori distinti vi,j associati all’autovalore λi risolvendo:
2) Se qi=ri:
e la forma di Jordan è una matrice diagonale.
3) Se qi ≠ ri si devono utilizzare metodi più complessi (come gli
autovettori generalizzati.
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Forma canonica di Jordan
In Matlab esiste il comando jordan per il calcolo a forma di Jordan di una
matrice:
Sintassi:
>>J=jordan(A)
Associa a J la forma di
Jordan della matrice A
>>[T,J]=jordan(A)
Associa a J la forma di
Jordan della matrice A e
a T la trasformazione
per calcolarla.
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Sistemi LTI e forma di Jordan
Dato un sistema LTI
è sempre possibile trovare una matrice non singolare T tale che il cambio di
coordinate
porti alla seguente rappresentazione equivalente del
sistema:
dove
è nella forma canonica di Jordan.
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Movimento libero di sistemi LTI
Dato un sistema LTI ed uno stato iniziale x(0)=x0, il movimento libero del
sistema è dato da:
L’utilità della forma di Jordan sta nel fatto che consente di calcolare
agevolmente l’esponenziale di matrice e, inoltre, consente di legare in
maniera molto esplicita le caratteristiche del movimento libero agli
autovalori della matrice di stato.
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Proprietà dell’esponenziale di matrice
L’esponenziale di matrice gode delle seguenti utili proprietà:
• Sia T una matrice non singolare; allora:
• L’esponenziale di una matrice diagonale a blocchi è una matrice
diagonale a blocchi in cui ciascun blocco è l’esponenziale del blocco
della matrice di partenza:
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Movimento libero di sistemi LTI
Dato un sistema LTI:
e la trasformazione:
per cui la matrice di stato nelle nuove coordinate è in forma di Jordan,
abbiamo che il movimento libero x(t) è dato da:
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Movimento libero di sistemi LTI
Siccome è
in forma canonica di Jordan
quindi, per calcolare il movimento libero, è sufficiente saper calcolare
l’esponenziale del generico miniblocco di Jordan di dimensione ν
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Movimento libero di sistemi LTI
E’ possibile dimostrare che l’esponenziale di un generico miniblocco di
Jordan di dimensione ν relativo a un autovalore λ è:
E’, quindi, possibile, a partire dalla forma di Jordan, calcolare
l’esponenziale di una matrice in maniera piuttosto semplice e, quindi,
calcolare il movimento libero di un sistema LTI a partire da un certo stato
iniziale in maniera agevole.
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Movimento libero di sistemi LTI
All’espressione “quasi diagonale” che caratterizza la forma canonica di
Jordan, si giunge sempre, anche nel caso vi siano autovalori complessi
coniugati. In questo caso, però, i blocchi della forma di Jordan
contengono dei termini complessi e, pertanto, il loro utilizzo risulta molto
poco intuitivo nell’analisi dei sistemi LTI e del loro movimento.
Per ovviare questo inconveniente, nel caso di autovalori complessi
coniugati, si applica un’ulteriore trasformazione nello spazio degli
stati che porta la matrice in forma di Jordan ad avere sulla dagonale
principale dei blocchi reali di dimensione 2.
Si consideri, ad esempio, una matrice A di dimensione 6
caratterizzata da una coppia di autovalori complessi coniugati
λ1,2=σ±jω di molteplicità 3. Siano v1, v2, v3 gli autovettori associati a
un autovalore e e v1*, v2*,v3* gli autovettori complessi coniugati
associati al suo complesso coniugato.
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Movimento libero di sistemi LTI
Applicando la trasformazione di coordinate:
Si ottiene la forma di Jordan della matrice A:
Si ottengono cioè due blocchi di Jordan ciascuno costituito da un solo
miniblocco di dimensione 3
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Movimento libero di sistemi LTI
Si indichi con vi,R e vi,I rispettivamente la parte reale e la parte complessa
dell’autovettore complesso i-esimo (i=1,2,3). Utilizzando la seguente
trasformazione di coordinate:
è possibile trasformare la matrice A nelle seguente forma canonica “reale”
di Jordan:
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Movimento libero di sistemi LTI
In tal modo è possibile esprimere il movimento libero di sistemi LTI come
combinazione lineare di soli termini reali. Infatti:
occorre però dare una formula per l’esponenziale della matrice
E’ possibile mostrare che, nell’esempio considerato:
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Esempio
A
Dato il sistema:
C
Calcolare l’uscita libera del sistema a partire dallo stato iniziale
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Esempio
L’uscita libera è data da:
Per poter calcolare l’esponenziale di matrice, porto la matrice di stato
nella forma canonica di Jordan. Gli autovalori della matrice di stato
sono le soluzioni di:
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Esempio
Gli autovettori corrispondenti all’autovalore λ1=1 si determinano
risolvendo:
Si trovano due autovettori indipendenti:
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Esempio
Gli autovettori corrispondenti all’autovalore λ2=-1 si determinano
risolvendo:
Si trova un solo autovettore:
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Analisi dei sistemi LTI -- 39
Esempio
La matrice T che trasforma A nella sua forma di Jordan è:
Facendo il cambio di variabile:
Le matrici A e C vengono trasformate in:
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Esempio
Forma canonica
di Jordan di A
Il movimento libero del sistema è dato da:
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Esempio
Utilizzando i dati del problema:
e
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Esempio
E quindi l’uscita libera vale:
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Matrice di trasferimento
E’ possibile utilizzare la trasformata di Laplace alle equazioni nello
spazio degli stati di un sistema LTI. Questo consente di ottenere una
rappresentazione dei sistemi LTI MIMO che è l’analogo della funzione
di trasferimento: la matrice di trasferimento.
Se f(t) è una generica funzione del tempo:
Trasformata di
Laplace
E vale la seguente proprietà:
Trasformata di
Laplace della
derivata
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Analisi dei sistemi LTI -- 44
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Matrice di Trasferimento
Applicando la trasformata di Laplace al modello di un sistema LTI:
e, quindi:
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Analisi dei sistemi LTI -- 45
Matrice di Trasferimento
Quando u(t)=0 ∀ t ≥ 0 si ha l’evoluzione libera:
da cui si ricava che:
Quando x0=0 si ha l’evoluzione forzata:
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Matrice di Trasferimento
Inversa di una matrice: L’inversa di una matrice quadrata non
singolare di orine n è definita da:
dove la matrice aggiunta aggM è la matrice trasposta (coniugata trasposta)
dei complementi algebrici Mi,j della matrice M.
Il complemento algebrico Mi,j è dato da (-1)i+j volte il determinante della
matrice (n -1 ) × (n-1) che si ottiene eliminando la i-esima riga e la j-esima
colonna della matrice M.
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Analisi dei sistemi LTI -- 47
Matrice di Trasferimento
Analogamente a quanto si fa con la funzione di trasferimento nel caso SISO,
è possibile, anche nel caso MIMO, legare la trasformata di Laplace
dell’ingresso alla trasformata di Laplace dell’uscita forzata. La matrice di
trasferimento H(s) è una matrice razionale propria di dimensione p × m
tale che:
quindi:
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Analisi dei sistemi LTI -- 48
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Matrice di Trasferimento
• det(sI-A) è un polinomio di grado n. Le sue radici sono gli autovalori
della matrice di stato A
• C(sI-A)-1B è una matrice di ordine p × m i cui elementi sono polinomi
in s che hanno al massimo grado n-1
La matrice di trasferimento è, quindi, una matrice di funzioni razionali
fratte. Il generico elemento Hi,j è la funzione di trasferimento che lega
l’uscita forzata i-esima all’ingresso j-esimo. Pertanto, la matrice di
trasferimento H(s) può essere considerata una generalizzazione al caso
MIMO della funzione di trasferimento.
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Analisi dei sistemi LTI -- 49
Matrice di Trasferimento
I poli di ciascun elemento di H(s) sono gli autovalori della matrice di
stato. Questo ribadisce ulteriormente il ruolo fondamentale degli
autovalori della matrice di stato nella determinazione del comportamento
del sistema.
Siccome l’ingresso determina solo la componente forzata dell’uscita, la
matrice di trasferimento non dà alcuna informazione sull’uscita libera.
Per ottenere l’uscita complessiva, occorre sommare il contributo
dell’uscita libera. Se le condizioni iniziali sono nulle, allora l’uscita
coincide con l’uscita forzata e, quindi, è possibile utilizzare la matrice di
trasferimento per calcolare l’uscita del sistema.
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Analisi dei sistemi LTI -- 50
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Esempio
Dato il sistema LTI:
dove:
Trovare la matrice di trasferimento del sistema.
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Esempio
Il sistema ha n=2 stati, m=3 ingressi e p=2 uscite e, quindi, la matrice
di trasferimento H(s) è una matrice p × m = 2 × 3
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