ESERCIZI PER GARA IR SENIOR - ROMA (LEGGI DI KEPLERO E

ESERCIZI PER GARA IR SENIOR - ROMA
(LEGGI DI KEPLERO E DINAMICA) - 9/2/2016 Liceo Righi
Problema 1.4
Calcolate la velocità orbitale media della Luna intorno alla Terra e della Terra intorno al Sole in km/
s, sapendo che un mese siderale è di 27.3217 giorni e che un anno siderale è pari a 365.2564
giorni. Assumete orbite circolari con raggio pari al semiasse maggiore.
Problema 1.6.
Il Sole dista circa 8 kpc dal centro della Galassia. Quanto tempo impiega per compiere una
rivoluzione completa attorno al centro della Galassia? Supponendo che il periodo sia rimasto
invariato nel tempo, quante rivoluzioni complete intorno al centro galattico ha effettuato il Sole fino
a oggi ?
Problema 1.14
Un asteroide ha un raggio di 200 km e la sua densità media è pari a quella di Mercurio. Calcolate il
valore dell’accelerazione di gravità alla superfice dell’asteroide in m/s2.
Problema 1.15
Gli antichi astronomi pensavano che le stelle si trovassero su una “sfera celeste” che ruotava
intorno alla Terra. In questa ipotesi quale sarebbe la velocità della stella Mintaka (= δ Orionis), che
si trova a circa 900 anni-luce dal Sole e ha declinazione δ ∼ 0°? Commentate il risultato.
Problema 1.19
Supponete di raddoppiare la massa del Sole. Calcolate il nuovo periodo di rivoluzione della Terra
mantenendo inalterato il valore dell’UA. Se la massa di Mercurio raddoppiasse, quale sarebbe il suo
nuovo periodo di rivoluzione supponendo che il semiasse maggiore dell’orbita resti invariato ?
Problema 1.20
La stella Castore (= α Gem) è un sistema binario con semiasse maggiore dell’orbita delle
componenti pari a 1.2 · 1010 km e periodo di rivoluzione di 306 anni. Determinare la somma delle
masse delle due componenti in unità della massa del Sole. Castore ha una parallasse di 0”.076.
Quanto può valere il valore massimo della distanza angolare delle sue componenti se osservate
dalla Terra ?
Problema 1.26
Intorno a una stella a 10 a.l. dal Sole è stato scoperto un corpo di massa MA = 6.5 · 1024 kg, che
percorre intorno ad essa in 20 anni un’orbita circolare, perpendicolare alla direzione di
osservazione e il cui semiasse maggiore sottende un angolo α = 4”.89. Di che tipo di corpo si
tratta, una stella, una nana bruna o un pianeta ? Si calcoli la massa della stella in unità di masse
solari. Quanto varrebbe il periodo di rivoluzione del corpo se orbitasse intorno al Sole ?
Problema 1.29
Le stelle di neutroni sono corpi estremamente densi e in rapida rotazione. Consideriamo una di tali
stelle con raggio R = 15 km e Prot = 0.1s. Quale massa minima deve avere per attrarre gli oggetti
all’equatore sulla sua superficie altrimenti espulsi a causa della sua rapida rotazione ? Esprimere il
risultato in masse solari. Calcolare la velocità di fuga per la massa minima della stella di neutroni e
paragonarla con quella del Sole. Perché una stella di neutroni ruota così velocemente ?
SOLUZIONI:
Problema 1.4
Il semiasse maggiore dell’orbita della Luna è di 384.4 · 103 km, la circonferenza dell’orbita lunare è
quindi 2.415 · 106 km. Il periodo di rivoluzione della Luna, mese siderale, è di 2360595 s, quindi la
velocità media di rivoluzione della Luna intorno alla Terra è di 1.023 km/s. Il semiasse maggiore
dell’orbita della Terra è pari a 149.6 · 106 km, la circonferenza dell’orbita terrestre è quindi 940.0 ·
106 km. Il periodo di rivoluzione della Terra, anno siderale, è di 31558153 s, quindi la velocità
media di rivoluzione della Terra intorno a Sole è di 29.79 km/s
Problema 1.6
La lunghezza dell’orbita del Sole attorno al centro galattico è di circa 1.55 · 1018 km. Per compiere
una rivoluzione (Anno Galattico o Anno Cosmico) occorrono quindi 6.89 · 1015 s = 218.3 · 106 anni.
Il Sole ha circa 4.6 · 109 anni e quindi il numero di rivoluzioni completate è di 21. Nota: poiché la
distanza dal Sole dal centro galattico e la sua velocità orbitale non sono ancora ben note, le stime
per la durata dell’Anno Galattico oscillano tra 215 e 250 milioni di anni.
Problema 1.14
La massa è data dalla densità media per il volume. Se il corpo è sferico: M = σ V = σ 4 π R3 /3.
Poiché la densità dell’asteroide è pari a quella di Mercurio si avrà: Ma = MM (Ra /RM)3 = 3.30 · 1023 ·
5.51 · 10-4 = 1.82 · 1020 kg e ga = G M / R2 = 6.67 ·10-11 · 1.82 ·1020 / 4.00 ·1010 = 0.303 m/s2
Problema 1.15
Un anno luce equivale a 9.460 · 1012 km. Mintaka descriverebbe una circonferenza attorno all’asse
Nord-Sud del cielo. Poiché ha
δ ∼ 0°, tale circonferenza coinciderebbe, con buona
approssimazione, con l’equatore celeste e avrebbe una lunghezza C = 2 ⋅ π ⋅ D = 5655 a.l. = 5.35
· 1016 km. Se questa distanza viene percorsa in un giorno siderale (= 86164 s), ne deriva una
velocità v = C / 86164 = 6.21 · 1011 km/s, cioè oltre 2 · 106 volte maggiore di quella della luce!
Problema 1.19
Esprimendo il semiasse maggiore in UA e il periodo di rivoluzione in anni, la costante della III
Legge di Keplero vale 1. Per i corpi del Sistema Solare tale costante si può approssimare a G MSole/
4π2, risultando quindi direttamente proporzionale alla massa del Sole. Se la massa del Sole
raddoppia avremmo: 1 UA / T2 (anni) = 2, da cui ricaviamo T = anni = 0.707 anni = 258.2 giorni.
Raddoppiando la massa di Mercurio il suo periodo di rivoluzione rimarrebbe praticamente invariato.
Infatti la costante nella III Legge di Keplero di fatto non cambierebbe a causa del raddoppio della
massa di Mercurio, che resterebbe del tutto trascurabile rispetto a quella del Sole.
Problema 1.20
Applichiamo la III Legge di Keplero nella forma generalizzata:
M + m = 39.48 · 1.73 · 1039 /6.67 · 10-11 · 9.32 · 1019 = 1.10 · 1031 = 5.52 M. Castore dista dal
Sole 13.158 pc = 4.06 · 1014 km. La massima distanza angolare tra le componenti si osserva
quando il loro piano orbitale risulta perpendicolare alla linea di vista dalla Terra. Detta β la distanza
angolare si avrà: β ∼ arctg (2 · 1.2 · 1010 / 4.06 · 1014) ∼ 12”.2
Problema 1.26
Il corpo è un pianeta, infatti la sua massa risulta minore di 0.012 M. Poiché l’orbita è
perpendicolare alla direzione di osservazione il semiasse maggiore (a) vale: a = D tan α = 224.3 ·
107 km. Dalla terza legge di Keplero generalizzata ricaviamo: Ms + MA = 4 π2 a3 / G T2, da cui
sostituendo si ha: Ms + Mp = Ms = 39.48 · 1.13 ·1037 / 6.67 ·10-11 · 3.98 · 1017 = 1.68 ·1031 kg =
8.44 M (essendo la massa del pianeta trascurabile rispetto a quella della stella). La distanza
pianeta-stella è pari a circa 15 UA, se il pianeta ruotasse intono al Sole il suo periodo varrebbe
circa 58 anni.
Problema 1.29
Per impedire che un corpo con massa m sfugga a causa della rotazione, la forza gravitazionale
deve essere uguale o superiore alla forza centrifuga; all’equatore della stella deve essere: FG = G
M m / R2 ≥ mω²R con ω=2π/T. E quindi: M ≥ 4 π²R3 / G T2 da cui: M ≥ 2 · 1026 kg ≥ 10-4 M.
La velocità di fuga è data dalla relazione: Nel caso della massa minima si avrà vf = 1334 km/s, nel
caso del Sole vf = 618 km/s. Una stella di neutroni è quello che resta di una stella di grande
massa (almeno 8 volte la massa del Sole) esplosa come supernova. Poiché prima di esplodere la
stella era una gigante/supergigante, la conservazione del momento angolare, anche considerando
che in realtà nel corso dell’esplosione buona parte del momento angolare viene perso, fa si che la
stella di neutroni abbia un periodo di rotazione estremamente breve.