Capitolo 7 - Tutorati UNIPV

Capitolo 7
Struttura metrica in Rn
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria
Università degli studi di Pavia
Tutorato di geometria e algebra lineare
Anno accademico 2014-2015
Marco Robutti
Capitolo 7
Definizione (Prodotto scalare standard)




x1
y1
 
 
x2 
y2 
n

 
Dati due vettori X = 
 ..  e Y =  ..  in R , chiamiamo
.
.
xn
yn
prodotto scalare standard dei vettori X e Y il seguente numero
reale:
hX , Y i = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = X T Y .
Marco Robutti
Capitolo 7
Definizione (Norma di un vettore)
La norma di un vettore X ∈ Rn è il seguente numero reale non
negativo:
kX k =
q
hX , X i =
q
x12 + x22 + · · · + xn2 ;
un vettore X ∈ Rn è detto versore se kX k = 1.
Se X ∈ Rn , allora Y =
1
kX k X
è sicuramente un versore.
La distanza tra due vettori X , Y ∈ Rn è il numero positivo:
d (X , Y ) = kX − Y k.
Due vettori X , Y ∈ Rn sono ortogonali se e solo se il loro
prodotto scalare è nullo:
Marco Robutti
Capitolo 7
Definizione (Angolo convesso tra due vettori)
L’angolo convesso tra due vettori è definito e può essere ricavato
dalla seguente relazione:
cos θ =
hX , Y i
kX k · kY k
Marco Robutti
Capitolo 7
Definizione (Sistema ortogonale e sistema ortonormale)
Un insieme di vettori non nulli {Y1 , . . . , Yk } , k ≥ 2 , è detto un
sistema ortogonale se i vettori sono a due a due ortogonali, cioè:
hYi , Yj i = 0,
∀i 6= j;
Un insieme di vettori non nulli {Y1 , . . . , Yk } , k ≥ 2 , è detto un
sistema ortonormale se è formato da versori a due a due
ortogonali, cioè:
hYi , Yj i = 0,
∀i 6= j
e
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hYi , Yi i = 1,
Capitolo 7
∀i = 1, . . . , k.
Definizione (Trovare le coordinate di un vettore in una base
ortogonale)
Sia B = {Y1 , Y2 , . . . , Yh } una base ortogonale di un sottospazio
V di Rn . Allora ∀Y ∈ V , Y ammette la seguente scrittura:
X =
Xh
hY , Y2 i
hY , Yh i
hY , Y1 i
Y1 +
Y2 + · · · +
Yh =
ci Yi ,
hY1 , Y1 i
hY2 , Y2 i
hYh , Yh i
i=1
dove i coefficienti ci sono detti coefficienti di Fourier.
hY ,Yi i
Il vettore hY
Yi è detto vettore proiezione ortogonale del
i ,Yi i
vettore X su Span (Yi ), per ogni i = 1, . . . , h.
Quindi Y è la somma delle sue proiezioni ortogonali
rispettivamente lungo ciascun vettore Yi della base, i = 1, . . . , h.
NB. Tutto ciò vale solo perché B è orgonale!
Marco Robutti
Capitolo 7
Definizione (Trovare le coordinate di un vettore in una base
ortonormale)
Sia B = {Y1 , Y2 , . . . , Yh } una base ortonormale di un sottospazio
V di Rn . Allora ∀Y ∈ V , Y ammette la seguente scrittura:
X = hY , Y1 i Y1 + hY , Y2 i Y2 + · · · + hY , Yh i Yh .
Marco Robutti
Capitolo 7
Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
Dato un insieme di vettori linearmente indipendenti
{Y1 , . . . , Yh } posso rendere tale insieme di vettori un insieme
ortogonale {X1 , . . . , Xh } ottenendo i vari vettori Xi nel modo
seguente:
X1 = Y1 ,
X2 = Y2 −
X3 = Y3 −
hY2 , X1 i
X1 ,
hX1 , X1 i
hY3 , X2 i
hY3 , X1 i
X2 , −
X1 ,
hX2 , X2 i
hX1 , X1 i
..
.
Xh = Yh −
hYh , Xh−1 i
hYh , X1 i
Xh−1 − · · · −
X1 ,
hXh−1 , Xh−1 i
hX1 , X1 i
Marco Robutti
Capitolo 7
Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
ovvero il vettore Xi del nuovo insieme ortogonale si ottiene
sottraendo dal vettore Yi dell’insieme di vettori iniziale le sue
proiezioni ortononali lungo X1 , . . . , Xi−1 .
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Capitolo 7
Definizione (Matrice ortogonale)
Una matrice Q ∈ GL (n, R) è detta ortogonale se e solo se:
QQ T = Q T Q = In ,
cioè:
Q T = Q −1 .
NB: Le colonne della matrice formano una base ortonormale di
Rn ;
NB1: det (Q) = ±1
(C.N.N.S)
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Definizione (Complemento ortogonale di un insieme)
Sia S ⊂ Rn un sottoinsieme non vuoto. Chiamiamo insieme
ortogonale di S l’insieme dei vettori di Rn che sono ortogonali a
tutti i vettori di S. In simboli:
S ⊥ = {Y ∈ Rn | Y ⊥ X , ∀X ∈ S} = {Y ∈ Rn | hY , X i = 0, ∀X ∈ S} ,
tale insieme viene detto complemento ortogonale di S in quanto
risulta:
Rn = V ⊕ V ⊥ .
Marco Robutti
Capitolo 7
Osservazione (Una nota importante...)
Ogni vettore X ∈ Rn può essere decomposto in una parte
X 0 ∈ V e X 00 ∈ V ⊥ cosı̀ che:
X = X 0 + X 00 ;
Da qui possiamo ricavare che le proiezioni ortogonali del vettore
X su V e V ⊥ sono date da:
X 0 = X − X 00 ,
X 00 = X − X 0 ,
cioè conoscendo la proiezione ortogonale di un vettore su V ,
posso ottenere la proiezione di quel vettore su V ⊥ e viceversa.
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Algoritmo - Trovare le equazioni cartesiane del
complemento ortogonale di un insieme
Dato l’insieme V e una
 sua
 base BV = {X1 , . . . , Xn }, fissato un
x1
 
x2 
n
⊥

generico vettore X = 
 ..  ∈ R , le equazioni cartesiane di V
.
xn
sono date da:
V⊥ :


hX1 , X i



hX2 , X i
=0
=0
..


.




=0
=0
hXn , X i
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Teorema (Teorema spettrale)
Sia A ∈ MR (n) una matrice simmetrica di ordine n. Allora
esiste una base ortonormale di Rn formata da autovettori di A.
Marco Robutti
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Algoritmo - Trovare una base ortonormale costituita da
autovettori
La soluzione di questo problema è contenuta nella
dimostrazione del teorema spettrale:
1) Si determinano gli autovalori di A, α1 , α2 , . . . , αh .
2) Per ciascun autovalore αi si determina una base qualsiasi Dαi
del corrispondente autospazio.
3) Con l’algoritmo di Gram-Schmidt si ortogonalizza la base
Dαi ottenendo una base ortogonale Bαi di Vαi .
Marco Robutti
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Algoritmo - Trovare una base ortonormale costituita da
autovettori
4) Si uniscono tutti questi sistemi di vettori ottenendo una base
ortogonale di Rn composta da autovettori di A (infatti gli
autospazi di una matrice reale simmetrica sono in somma
diretta tra loro e quindi l’unione delle loro basi da una base per
Rn ...).
5) Infine, se si cerca una base ortonormale, è sufficiente
normalizzare i vettori cosı̀ ottenuti.
Marco Robutti
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