Power Point - Matematica e Informatica

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Comunicazione delle Matematiche, Scienze delle Formazione, Università di Palermo, 2008/2009
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Corso di Laurea in Scienze della Formazione
Quadro teorico
Didattica laboratoriale
Progettazione e
sperimentazione
Comunicazione delle Matematiche
(Prof. Filippo Spagnolo)
Anno Accademico 2008/2009
Discussione collegiale
dei risultati evidenziati
Filippo Spagnolo
Benedetto Di Paola
Mappa del corso
G.R.I.M., Dipartimento di Matematica ed Applicazioni Palermo
http://math.unipa.it/~grim/
Comunicazione delle Matematiche 2008/09
ScF
Programma del
corso
Avvertenza
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Tutto ciò che segue viene
presentato solo in maniera
schematica come traccia degli
argomenti trattati durante il corso.
Mappa del corso
ScF
Programma del corso
Programma del
corso
Percorso Formativo,
quadro teorico.
Interpretazione semiotica
delle Matematiche.
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Programma
del corso
Mappa del corso
Esempi di didattica
laboratoriale (TSD di Brousseau).
Epistemologia sperimentale
Breve percorso logico-filosofico delle
Matematiche nel 900.
Il ruolo della metafora (l’embodiment:
come apprendimento tramite il movimento
del corpo), esempi di paradossi semantici
sintattici e pragmatici.
Progettazione dei lavori
sperimentali.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Accoglienza: contratto formativo del corso
Educazione Matematica e
metodologiche didattiche
Conoscenza e Competenza
Quadro teorico di riferimento
I Saperi Matematici nella scuola primaria
Teoria delle Situazioni di Brousseau
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
La trasposizione didattica
Scelta di nuclei fondanti per la Matematica
ScF
Educazione Matematica e metodologiche didattiche
Programma del
corso
1
Percorso Formativo
Quadro teorico
Riconoscimento della natura dei concetti (oggetti)
della Matematica e i registri semiotici per le
rappresentazioni di questi (trattamento e
2
conversione). (D’Amore, 2001, Duval 1993)
Linguaggio comune e linguaggio matematico
(D’Amore 1993, Laborde, 1982)
Progettazione e
sperimentazione
Differenza fra Matematica e educazione
Matematica.
(Chevallard, 19985, D’Amore, 2001,
Brousseau, 1986)
3
4
La Matematica come fatto culturale
(D’Ambrosio 1990)
Relazioni tra insegnante, allievo e sapere
(Artigue, 1989, D’Amore 2001)
Mappa del corso
5
Approccio neuroscientifico e linguistico
Quadro teorico
Esempi di didattica laboratoriale
Progettazione e verifica
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
1
Un interessante studio (Gallagher,1991) condotto in classe osservando il lavoro degli
insegnanti e discutendo con loro, ha individuato sei concezioni della relazione tra
insegnamento/apprendimento, che sono state categorizzate ed ordinate in un ordine
crescente rispetto all’evoluzione professionale:
il livello più basso è quello in cui
l’insegnante si considera semplicemente
il “depositario” dei contenuti della
disciplina che trasmette secondo
sequenze rigide e “garantite”, mentre il
livello più alto è quello in cui l’insegnante
ha di sé l’immagine professionale di
mediatore, usa molteplici strategie per
aiutare lo studente ad esplicitare le proprie
conoscenze ed innesta su di esse nuove
conoscenze che l’alunno metterà in
relazione con quanto già conosce.
Gallagher, J. (1991). Prospective and practicing secondary school science teachers’ knowledge and beliefs about the philosophy of
science. Science Education, 75, 121-133.
ScF
1
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
G. Frege 1879 Begriffsschrift; eine
der arithmetischen nachgebildete
Formelsprache des reines Denkens,
Nebert, Halle (tr.it. Ideografia, un
linguaggio in formule del pensiero
puro, a imitazione di quello
aritmetico, in Frege 1965)
ScF
4
Programma del
corso
Da una scuola fondata sulle conoscenze a una scuola centrata sulle
competenze!
Percorso Formativo
Come si definisce una competenza?
Quadro teorico
Quale il suo ruolo nell'azione didattica?
Progettazione e
sperimentazione
Possibilità di definire competenze generali e specifiche per la Matematica!
La competenza come principio fondamentale per il rinnovamento
della scuola.
Quali competenze per la Matematica?
Mappa del corso
M. Pellerey, Insegnare religione, nn. 1-2-3/2007
Aspetto culturale. Possibile un collegamento
tra competenze e storia della civiltà?
ScF
4
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Curricolo della scuola di
base, 2001 De Mauro
Raccomandazioni per
la scuola primaria,
diffuse informalmente
nel 2003 per il
progetto Moratti
Indicazioni per il
curricolo del primo ciclo
Mappa del corso
Regolamento dell'obbligo
di istruzione (DM 139/07)
per il primo biennio del
secondo ciclo
«capacità di utilizzare le conoscenze acquisite»
«l'insieme delle buone capacità potenziali portate
al miglior compimento nelle particolari situazioni
date».
«le competenze sviluppate nell'ambito delle singole discipline
concorrono a loro volta alla promozione di competenze più ampie e
trasversali, che rappresentano una condizione essenziale per la piena
realizzazione personale e per la partecipazione attiva alla vita
sociale, nella misura in cui sono orientate ai valori della convivenza
civile e del bene comune».
«indicano la comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e
capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di
lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le
competenze sono descritte in termini di responsabilità e
autonomia». Cfr. Quadro Europeo delle Qualifiche e dei Titoli
(2006)
ScF
Programma del
corso
4
Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio d'Europa (2006):
otto "competenze chiave" per l'apprendimento permanente.
« combinazione di conoscenze, abilità e attitudini adeguate per affrontare una situazione particolare».
Percorso Formativo
Esse «Contribuiscono alla realizzazione personale, all'inclusione sociale,
alla cittadinanza attiva e all'occupazione».
Competenze chiave sono:
-comunicazione nella madrelingua,
-comunicazione nelle lingue straniere,
-competenza Matematica
-competenze di base in scienza e tecnologia,
-competenza digitale,
-imparare a imparare,
-competenze interpersonali, interculturali e sociali e
-competenza civica, imprenditorialità, espressione culturale.
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Nel Regolamento dell'obbligo vengono poi tradotte in: imparare ad imparare, progettare, comunicare,
collaborare e partecipare, agire in modo autonomo e responsabile, risolvere problemi, individuare
collegamenti e relazioni, acquisire ed interpretare l'informazione.
ScF
4
Programma del
corso
Percorso Formativo
B. D'Amore e alli
Competenze in Matematica,
2003
Quadro teorico
UMI 2003
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Riccardo Cantoral: “Conoscenza è l’informazione senza uso; il Sapere è l’azione
deliberata per fare con la conoscenza un oggetto utile di fronte ad una situazione
problematica. Dal che si deduce che l’Apprendimento è una manifestazione
dell’evoluzione della conoscenza in sapere. L’apprendimento consiste dunque nel
dare la risposta corretta prima della situazione concreta". Definizione espressa a
proposito del dibattito su che cosa significhi davvero sapere
ScF
4
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Un contenuto è una porzione limitata di sapere, ristretta ad un certo ambito e limitata ad un certo soggetto, un
certo tema specifico, un certo elemento di tale sapere.
Contenuto disciplinare, metadisciplinare, pluridisciplinare, multidisciplinare, interdisciplinare, non
disciplinare…
Una conoscenza è, allo stesso tempo: la capacità di rielaborare contenuti in modo autonomo per raggiungere una
mèta e il risultato di tale elaborazione.
Una conoscenza può coinvolgere uno o più contenuti.
La competenza è concetto complesso e dinamico:
si tratta infatti dell'insieme di due componenti:
uso e padronanza anche elaborativi, interpretativi e creativi, di conoscenze che collegano contenuti diversi.
Questo uso e questa padronanza non sono però l'unica espressione della competenza; la competenza racchiude in
sé fattori meta-conoscitivi come l'accettazione dello stimolo a farne uso, il desiderio di farlo, il desiderio di
completare le conoscenze e quindi lo stesso desiderio di aumentare la propria competenza.
La capacità è l'espressione specifica (esterna) di carattere attuativo di ogni singola competenza.
ScF
4
Programma del
corso
“Più che di sistema di insegnamento-apprendimento, si tratta soprattutto di
un complesso sistema di azioni che proseguono tra situazioni didattiche ed
a-didattiche, nelle quali lo studente accetta il suo ruolo non solo di
ripetitore passivo di quanto gli è stato insegnato, ma di attore protagonista
della costruzione.
Percorso Formativo
Quadro teorico
A questo va aggiunto,…, l'educazione all'assunzione di responsabilità
apprenditiva, di sfida, di valutazione quasi autonoma dei risultati
raggiunti”
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Problematiche relative alle classi multiculturali in Italia.
Aspetti psicopedagogici e didattici.
ScF
3
Aspetti psico-pedagocici e didattici.
Programma del
corso
Classe
MulticulturaleInterculturale
Percorso Formativo
Progettazione e
sperimentazione
Risorse
cognitive
Quadro teorico
Agenti individuali
(micro pattern)
Mappa del corso
Risorse
sociali
Cultura
personale
Relazioni di scambio e
analisi della
mediazione delle
conoscenze
(macro pattern)
Cultura condivisa
3
ScF
Programma del
corso
Uno dei principali problemi della didattica della Matematica è oggi[1], quindi, quello
di riguardare in maniera critica la possibilità di coniugare teoria e pratica in un
ambito di un programma etnomatematico[2]; cercando di pianificare e condurre le
attività didattiche della programmazione, in maniera consapevole dello sviluppo
delle conoscenze Matematiche (Bishop, 1998; Favilli, 2002; Joseph, 1992; Gagatsis,
2003) e dei processi di insegnamento/apprendimento attuati in contesti culturali
differenti da quello proprio, come quelli, ad esempio, delle scuole nei paesi orientali
(Spagnolo 2002, Di Paola 2006).
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Favorire quindi un approccio disciplinare interculturale come modello educativo più
appropriato ed efficace in situazioni di multiculturalità (Oliveras, Favilli & César,
2002).
Mappa del corso
Aspetti psico-pedagocici e didattici.
Particolarmente rilevante per la problematica trattata è stato certamente l’ICMI del 2004, Copenhagen.
Il termine Etno-matematica viene definito come “the mathematics which is practised among identifiable cultural groups such as
national-tribal societies, labour groups, children of a certain age bracket, professional classes and so on”, “the arts or techniques
developed by different cultures to explain, to understand, to cope with their environment” (D’Ambrosio, 1992)
[1]
[2]
ScF
3
PISA 2003 - 2006 - 2009
Pisa
(Programme for International Student Assessment)
risultati ottenuti, metodologia di ricerca e
paesi coinvoltiti nella sperimentazione.
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
E’ un'indagine internazionale che si propone di valutare, con scadenza triennale, le competenze
degli studenti . Valuta, quindi, ogni tre anni la literacy raggiunta da studenti coinvolti in tre
ambiti considerati fondamentali per il “futuro cittadino”: lettura, Matematica e Scienze.
La proposta del PISA (innovativa rispetto a ricerche analoghe come, per esempio, l'indagine
TIMSS sulle competenze Matematiche e scientifiche proposta dall' associazione IEA,
International Association for the Evaluation of Educational Achievement) è quella di non
guardare indietro, verificando se gli studenti abbiano o no imparato quello che gli è stato
proposto, ma piuttosto avanti.
Con questa finalità il PISA propone ogni 3 anni quesiti, scritti (di cui solo una metà a scelta
multipla) su tutti e tre gli ambiti, alternando l'estensione dell'indagine, così da avere ogni tre anni
un approfondimento su ognuna delle tre discipline. Nel 2000 si è iniziato con la lettura, nel
2003 l'ambito principale è stato la Matematica, nel 2006 è stato le Scienze.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
3
L'indagine OCSE-PISA 2003
PISA 2003 - 2006 - 2009
Il programma PISA 2003 ha coinvolto in totale 41 paesi, tra i quali 30 paesi dell'OCSE.
(Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico) ed è stato affidato, per quanto
riguarda l’Italia, all'INVALSI, Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema dell'Istruzione.
La ricerca ha seguito procedure rigorose, per la traduzione dei quesiti nelle varie lingue, il
campionamento e la somministrazione alle scuole, controllate a livello internazionale per garantire
la comparabilità dei risultati.
Progettazione e
sperimentazione
L’Italia è risultata tra gli ultimi paesi OCSE, ben al di sotto la media internazionale in tutti e
tre gli ambiti. …
Perché questi risultati?
Mappa del corso
ScF
3
PISA 2003 - 2006 - 2009
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Competenze
Argomentazione;
Comunicazione;
Modellizzazione;
Formulazione e risoluzione di problemi;
Rappresentazione;
Uso del linguaggio simbolico, formale e
tecnico e delle operazioni.
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Dagli anni ’70 l’insegnamento della Matematica ha subito un costante sviluppo; in
consonanza con l’insegnamento in generale, l’attenzione si è spostata
dall’insegnare all’imparare, dall’insegnante quindi all’allievo.
Nel considerare la terna SAPERE-ALLIEVO-INSEGNANTE (S.A.I.) si è posta
allora sempre più attenzione alla relazione allievo–sapere (conoscenze da
imparare).
La ricerca in didattica della Matematica, ha ricevuto, in questo senso, da Guy
Brousseau e il suo gruppo di ricerca operante a Bordeaux (Francia), uno stimolo
fondamentale.
La teoria didattica creata si propone, da una parte di capire e spiegare con chiarezza
i processi che si verificano nei fenomeni di insegnamento/apprendimento della
Matematica, d’altra parte, di fornire agli insegnanti e ai ricercatori uno strumento
per progettare e realizzare un insegnamento efficace e quindi identificare una serie
di situazioni di apprendimento che possano permettere all’allievo di imparare quasi
senza interventi didattici da parte del docente.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Concetti principali della TSD:
• le situazioni di azione, formulazione, validazione,
• l’istituzionalizzazione,
• la distinzione tra situazione didattica e situazione a-didattica,
• la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza Matematica,
• l’ambiente del compito (milieu),
• il processo di devoluzione,
• il contratto didattico,
• gli ostacoli all’apprendimento (epistemologici, psicologici, didattici).
ScF
Programma del
corso
Concetti principali della TSD:
Percorso Formativo
• le situazioni di azione, formulazione, validazione,
• l’istituzionalizzazione,
• la distinzione tra situazione didattica e situazione a-didattica,
• la situazione fondamentale rispetto a una conoscenza Matematica,
• l’ambiente del compito (milieu),
• il processo di devoluzione,
• il contratto didattico,
• gli ostacoli all’apprendimento (epistemologici, psicologici, didattici).
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Analisi di lavori sperimentali condotti dal differenti
gruppi di ricerca e possibili spunti di riflessioni su
differenti ambienti di Matematica.
Una riflessione sulla risoluzione di una “situazione problema” di Matematica
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Descrivi brevemente quali possono essere, secondo te, le strategie di risoluzione e gli errori
messi in atto da uno studente per la risoluzione del quesito posto sotto:
Un agricoltore pianta dei meli in modo da formare
un quadrato. Per proteggere questi alberi dal vento,
pianta delle conifere intorno al frutteto.
Rappresentato puoi vedere uno schema che indica la
disposizione dei meli e delle conifere per un numero
qualsiasi di filari (n) di meli:
Completa la seguente tabella inserendo nei riquadri i valori corretti *
N
1
2
3
Numero di meli Numero di conifere
1
8
4
16
9
4
5
Mappa del corso
* OCSE/PISA - Programme for International Student Assessment
ScF
Programma del
corso
N
Numero di meli
Numero di conifere
1
1
8
2
4
16
3
9
24
4
16
32
Mappa del corso
5
25
40
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
G.R.I.M. Gruppo di Ricerca sull’Insegnamento delle Matematiche
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni - Via Archirafi, 34 - 90123 PALERMO
Tel.+39(091) 6040434 - 6040428 - Fax +39(091) 6165425
Mail: [email protected]
Web: http://math.unipa.it/~grim/
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Laboratorio di macchine Matematiche
Pantografo per simmetria centrale:
ABCP è un rombo articolato, il lato AB è imperniato al piano del modello nel
suo punto medio O. L'asta CB è prolungata di una lunghezza BQ=CB. I punti
P e Q hanno due gradi di libertà, la macchina realizza una trasformazione in
cui P e Q si corrispondono. Poiché in ogni posizione P e Q sono allineati con
O e PO=OQ , la corrispondenza generata è la simmetria centrale con centro
O.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Pantografo di Sylvester (rotazione) :
OABC è un parallelogramma articolato, il vertice O è imperniato al piano del
modello. Sui lati AB e CB sono costruiti due triangoli isosceli simili con i
vertici in A e in C. I punti P e Q hanno due gradi di libertà; la macchina
realizza una corrispondenza fra due regioni finite di piano: i punti P e Q si
corrispondono in una rotazione di centro O e ampiezza .
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Traslatore del Kempe:
ABCD e DCPQ sono due parallelogrammi articolati aventi il lato CD in
comune. Il lato AB del primo è fissato al piano del modello. I punti P e Q
hanno due gradi di libertà; la macchina realizza una corrispondenza fra due
regioni di piano in cui P e Q si corrispondono; tale corrispondenza è la
traslazione individuata in modulo, direzione e verso da BA.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
E.Fascinelli, M.Fiori, B. Gastaldelli, P.Golinelli, “Giochiamo con la Matematica 4 Anni”, Fabbri Editori, 1994
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
E.Fascinelli, M.Fiori, B.
Gastaldelli, P.Golinelli,
“Giochiamo con la Matematica 5
Anni”, Fabbri Editori, 1994
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
“Giochiamo con la
Matematica 5 Anni”,
Fabbri Editori, 1994
Mappa del corso
“Giochiamo con la
Matematica 5 Anni”,
Fabbri Editori, 1994
ScF
Le Trasformazioni geometriche di Escher
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Le Trasformazioni geometriche di Escher
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Problema:
Completa il quadrato magico inserendo i numeri mancanti in modo che la
somma dei numeri di ciascuna riga, colonna o diagonale risulti sempre la
stessa.
Somma 9
Quadro teorico
Somma 26+a
3
2
14
4
Progettazione e
sperimentazione
1
9
11
Fasi dell'attività Scuola Primaria,
Secondaria inferiore e superiore
12
a 10
16 13
CONSEGNA
FASE DI AZIONE: LAVORO INDIVIDUALE CON MOTIVAZIONE (durata 50’)
FORMULAZIONE:GIOCO DI SQUADRA (durata 50’)
Mappa del corso
SITUAZIONE DI VALIDAZIONE
Si scrivono alla lavagna le affermazioni risolutive che tutti ritengono valide e si arriva a formulare un teorema.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Scuola Primaria:
Consegna e Prima fase
Seconda fase
Giustificazione delle strategie adottate.
Giustificazioni generali.
Ragionamenti di tipo locale (che riguardano in
altre parole il solo caso presentato).
Falso ragionamento.
Somma 9
3
2
4
Somma 26+a
14
Scuola Secondaria Inferiore I:
1
9
Complessivamente nei vari gruppi si è evidenziato un tentativo di argomentazione11
con
modalità di tipo generalizzazione e gerarchizzazione.
12
a 10
16 13
In alcuni casi l’argomentazione è corretta, ma non si evidenziano indicatori linguistici particolari,
essa è basata su principi estensivi: “visto che…”, “per arrivare a…” o su indicatori tautologici: “è così
perché fa…”.
Ci sono anche tentativi di controesempio: “facciamo le diagonali, proviamo in tutti i modi…”, “ho
messo così…perché fa…”,
di ipotesi pragmatiche di ulteriore strategia “…io li ho fatti con il meno…”;
“forse dobbiamo fare cosi`…”; “forse dobbiamo cambiare questo…”
In altri casi si utilizzano falsi ragionamenti giustificati, in cui il gruppo
lavora anche fuori dal quadrato.
Quadrato magico
con Excel
ScF
Ragionamento proporzionale
Programma del
corso
La proporzionalità è uno dei temi principali dei programmi di Matematica dalla fine della scuola
primaria ai primi livelli di scuola secondaria.
Percorso Formativo
In accordo con numerose ricerche in Didattica della Matematica, risulta infatti uno di quei concetti
fondamentali per lo sviluppo del pensiero matematico (Confrey e Smith, 1995; Nabors, 2003).
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Il primo riscontro si ha al biennio della scuola primaria sotto forma verbale, analogica.
(Piaget, Campbell, 2001) parlano di analogie come una sorta di “proporzione qualitativa”.
Gradatamente si sviluppa poi in situazioni che prendono in considerazione equivalenza e confronto
di frazioni; evolvendosi successivamente come base per il ragionamento algebrico.
Divisione
Mappa del corso
Frazione
Rapporto
Uguaglianza
Proporzione
Applicare la “regola del tre” è considerata una competenza attestante una buona formazione nel
calcolo, che permette di risolvere la gran parte delle situazioni numeriche incontrate nella vita reale
e con le quali ogni giorno ci confrontiamo: percentuali, scale, densità, velocità …
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Il percorso verso il rigore matematico associato al concetto di proporzione e quindi
di ragionamento proporzionale è lungo e difficile da favorire in classe.
Spesso infatti, gli studenti posti davanti ad una situazione reale, quotidiana, dal
momento in cui percepiscono l’esistenza di due grandezze distinte in gioco, cercano
delle regolarità tra le due successioni numeriche corrispondenti; riportano, dall’una
all’altra, per analogia, certe operazioni elementari come l’addizione, la sottrazione o
la moltiplicazione.
Partendo dall’intuizione, si passa attraverso confusioni, false piste, verifiche
insufficienti … (L’educazione Matematica 2004) ad un ragionamento
“scientifico”.
Mappa del corso
ScF
Percorso Formativo
Quadro teorico
Esempio 7. Le biciclette Velox (UMI 2001)
La proposta è costituita da una
situazione problema sul costo
di 60 biciclette, dato un grafico
che rappresenta i prezzi fino a
un massimo di 25 biciclette.
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Numero
biciclette VELOX
Prezzi in euro
biciclette VELOX
5
1 200
10
2 400
15
3 600
20
4 800
25
6 000
30
?
35
?
40
?
45
?
50
?
55
?
60
?
Competenze
Interessate
Rappresentare
relazioni tra dati
numerici.
Passare da una
rappresentazione
all’altra.
Contenuti
Nuclei
coinvolti
Relazioni e
loro
rappresentazi
oni (tabelle,
piano
cartesiano).
Collega
menti
esterni
Le relazioni
Il numero
I dati e le
previsioni
Risolvere e
porsi
problemi
Argomentare
e
congetturare
Grafico dei nuovi prezzi: BICICLET T E VELOX
6000
prezzi in euro
Programma del
corso
4800
3600
2400
1200
0
0
5
10
15
numero biciclette
20
25
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Esempio 1 . Decorazioni (9° RMT (2001), prova II, problema 9, cat. 4 - 5 - 6.)
Un pittore ha dipinto quattro figure diverse su un muro.
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Ha utilizzato dei barattoli di colore della stessa grandezza: 18 barattoli di rosso per una figura, 21
barattoli di blu per un’altra figura, 27 barattoli di giallo per un’altra figura ancora e alcuni
barattoli di nero per la figura che resta. Alla fine del suo lavoro, tutti i barattoli erano vuoti.
Indicate il colore di ogni figura.
Quanti barattoli di colore nero ha utilizzato?
Mappa del corso
Spiegate come avete trovato la risposta.
Il Problema è stato successivamente trasformato in “Tartufi al cioccolato” per la finale dell’undicesimo RMT, e sperimentato a Ginevra
da Vernex (2004) in quattro classi di quinta e sesta (9 e 10 anni ) con valori un po’ più semplici di quelli della versione RMT.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Analisi del compito
Per risolvere questa situazione-problema, bisogna, in un prima fase di analisi, rendersi conto della
presenza di due “grandezze”: le figure geometriche presentate, ed il numero di barattoli utilizzati per la
pittura.
“Grandezze”:
Quadro teorico
Rettangolo
Ottagono
Triangolo
Rombo
Progettazione e
sperimentazione
8
7
9
6
I valori relativi alle quantità di colori sono indicati nel testo ma ne manca uno. L’allievo non può
sapere a quale figura geometrica associare il colore esatto e il nero che è mancante
Nella maggior parte dei problemi di proporzionalità, come abbiamo visto, le corrispondenze sono
sempre date dall’enunciato! La situazione che si presenta in questo caso deve prevedere una fase di
congettura ed argomentazione che devono preludere una fase dimostrativa.
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Possibile analisi a-priori delle strategie risolutive:
S1: Determinare il coefficiente di proporzionalità (il numero di barattoli da usare per colorare un
quadratino). Strategia per prove ed errori.
Il quoziente “numero di barattoli da usare”/ “numero di quadratini che compongono una
figura geometrica” restituisce la quantità di barattoli di colore per colorare un quadratino
(pensiero proporzionale)
S2: Utilizzare la proprietà additiva (delle differenze) della linearità:
6
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
7
8
9
+1
18 21 … 27 +3
S3: …
La figura associata ai vari colori è quindi data dalla corrispondenza tra le due righe. Il Nero è il
colore associato al rettangolo (8) e la quantità è quindi 24 barattoli.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Esempio 2. Pista di atletica (Cramer K, et all., 1993)
Giulia e Elena corrono alla stessa velocità su una pista di atletica. Giulia è
partita prima.
Nel momento in cui ha fatto 9 giri, Elena ne ha fatto 3.
Quanti giri avrà fatto Giulia quando Elena ne avrà fatto 15?
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Cramer, Post e Currier hanno proposto questo problema a 33 futuri
maestri.
Tutti, salvo uno, hanno risolto il problema cercando il numero
sconosciuto risolvendo
l’equazione 9:3 = x:15 per ottenere x = 45.
La soluzione è, evidentemente 15 + (9 - 3) = 21
Elena
Giulia
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g1
g8
g2
g9
g3
g10
g4
g11
g5
g12
g6
g13
g7
g14
g8
g15
g9
g16
g10
g17
g11
g18
g12
g19
g13
g20
g14
g21
g15
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Esempio 3. Il puzzle (Brousseau, 1981)
L'insegnante propone agli allievi, suddivisi in gruppi di 4, la situazione seguente:
“A partire dal puzzle rappresentato in figura ogni allievo di ciascun gruppo riceve uno dei quattro
pezzi. Poiché ogni gruppo dovrà ottenere un ingrandimento del puzzle,
- ogni allievo di ciascun gruppo ha il compito di realizzare un ingrandimento del proprio
pezzo in modo da poter ricostruire l'intero puzzle ingrandito,
- il lato che misura 4 cm deve misurarne 6 sul puzzle ingrandito.
Naturalmente in ogni gruppo sarà necessario accordarsi sul metodo da seguire. »
Si tratta di una situazione che fa venire alla luce la
concezione (additiva) erronea del tipo:
Bisogna aggiungere 2 cm a ciascun lato per fare l'ingrandimento
richiesto.
Per arrivare alla realizzazione concreta, è necessario
rinunciare alla concezione additiva (erronea) della situazione
(Grugnetti, 1996).
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Esempio 4. Griglie (RMT (2000), prova II, problema 5, cat. 3 - 4 - 5.)
Secondo il disegno, da una griglia all’altra, si aggiunge una riga e una colonna di quadrati.
Continuando secondo la stessa metodologia, si troverà una griglia di 120 quadrati?
E una griglia di 240 quadrati?
Spiegate il vostro ragionamento.
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Jaquet (2000) ha messo in evidenza come, tra le diverse procedure e strategie,
risulti un ragionamento frequente che si sviluppa in ambito numerico e dove
l’ostacolo del «modello esclusivo di linearità» interferisce con la ricerca e
conduce ad una soluzione errata:
-Abbiamo disegnato i quadrati fino a quello di 120; calcolando il doppio di 120
il risultato è 240. Quindi si trovano tutti e due i numeri.
-Nous avons fait cela jusqu’à 120 (disegno e calcoli per ogni figura) oui, on
peut trouver une grille de 240 carrés. Il faut faire cela par rapport au
précédent..
Base
Altezza
Num.quadrati
3
1
3
4
2
8
5
3
15
6
4
24
7
5
35
8
6
48
9
7
63
10
8
80
11
9
99
12
10
120
13
11
143
14
12
168
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Esempio 5. Altezze (Chastellain, Jaquet, 2001)
Ophélie era alta 83 cm a 2 anni e 1,66 m a 16 anni.
Puoi dire quanto è alta Ophélie oggi, che compie 32 anni?
E quanto era alta a 1 anno, 4 anni, 8 anni?
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Un solo allievo ha detto che «il problema è impossibile». (Dumas,
Jaquet, 2001)
La relazione tra l’età e l’altezza di una persona non è lineare,
L’enunciato, però, con la scelta dei dati e delle domande può indurre
l’allievo che non analizza in modo critico le sue risposte, ad applicare
meccanicamente le proprietà della linearità, tanto più che l’effetto del
contratto didattico lo spinge a dare una risposta alle domande, malgrado
le contraddizioni che appaiono, nei calcoli,
per 4 anni e per 8 anni.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
1) Campeggiatore : Tenda :: Uccello : __________________
Caverne, Nido, gabbia
2) Pecora : Vello :: Pollo : _________________
Uova, Piume, Carne
3) Letto : Dormire :: _________________ : _________________
Carta, Tavolo, Acqua Cibo, Pioggia, Libro
4) Pane : Coltello : _____________________ : ______________________
Giornale, Lenzuolo, Legno Inchiostro, Forbici, Rasoio
Mappa del corso
(Gagatis et alii, 2007)
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
"E’ difficile trovare un campo
migliore in cui dimostrare come
operi il pensiero matematico"
(Henry Poincaré).
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
 Numeri
consecutivi
Case study “Motivate Me Project”, 2008/2009
 Puzzle numerico
Case study “Motivate Me Project” 2008/2009
ScF
Programma del
corso
L’embodiment: apprendimento tramite il movimento del corpo
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
“Quando si discute di sviluppo mentale, ci sono
molti che dicono: <Che cosa c’entra il movimento?
Stiamo parlando della mente>.
E quando pensiamo all’attività intellettiva
immaginiamo sempre persone sedute, immobili
senza movimento e dipendente da questo.
E’ vitale che la teoria e la pratica educativa si
debbano confermare a questa idea”
Mappa del corso
Maria Montessori, 1952
ScF
Arzarello (2006), Lakoff & Nùñez (2005)
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
L’embodiment della mente: la natura dettagliata dei nostri corpi, dei nostri cervelli
e del nostro funzionamento quotidiano nel mondo, struttura i concetti e i
ragionamenti umani. Ciò include i concetti e i ragionamenti matematici.
L’inconscio cognitivo: la maggior parte del pensiero è inconscia: inaccessibile
all’introspezione diretta e cosciente. Noi non possiamo osservare direttamente i
nostri sistemi concettuali e i nostri processi di pensiero. Ciò include la maggior
parte del pensiero matematico.
Il pensiero metaforico: gli esseri umani concettualizzano i concetti astratti in
termini concreti, utilizzando idee e modelli di ragionamento fondati sul sistema
senso-motorio. Il meccanismo per cui l’astratto è compreso in termini del concreto
viene detto metafora concettuale.
•«I NUMERI SONO PUNTI SU UNA RETTA»
•«Le FUNZIONI nel piano cartesiano sono spesso concettualizzate in termini
di moto lungo un percorso» (Lakoff & Núñez, 2005, p.70)
•«LA VARIAZIONE DI UNA FUNZIONE È IL MOVIMENTO COORDINATO
DI DUE TRACCIATORI, uno nel dominio e uno nel codominio della
funzione» (Lakoff e Nuñez, p.249)
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
D’amore (2001)
ScF
Programma del
corso
Cos’è il sensore di movimento?
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
i tratta di un generatore/ricevitore di brevi
impulsi ultrasonori che misura l’intervallo
di tempo trascorso tra l’emissione e la
ricezione dell’impulso riflesso da un
oggetto o da una persona.
ssendo la velocità del suono in aria alla
temperatura ambiente, il tempo misurato
viene tradotto in distanza percorsa dall'onda
sonora
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
l sensore di movimento trasmette le misurazioni al computer, il quale facendo
un uso opportuno del software (Data Logger) visualizza i dati in una tabella ed
un grafico S/t.
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Prima fase sperimentale: movimenti spontanei degli alunni davanti al sensore:
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Seconda fase sperimentale: camminata di allontanamento dal sensore:
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Terza fase sperimentale: camminata di avvicinamento al sensore:
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Quarta fase sperimentale: corpo fermo davanti al sensore:
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Quinta fase sperimentale: congetturazione e argomentazione su
allontanamento e avvicinamento rispetto al sensore:
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Il concetto di velocità nel moto:
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Misura e la pre-misura
Con il termine pre-misura si intende una serie di passaggi preliminari per la
comprensione del concetto di misura vera e propria; passaggi che permettono
all’allievo di conoscere e familiarizzare con alcune delle grandezze fisiche,
compiendo su esse due operazioni fondamentali quali il confrontare e
l'ordinare.
Queste operazioni che precedono, quindi, come detto, la misurazione, e
avviano il bambino, passo dopo passo, al concetto di misura, gli permettono
attraverso delle attività di “osservazione” e comunicazione, di passare, in
maniera più o meno spontanea, da primi confronti qualitativi, alla scelta di una
unità di misura e all’operazione di misura propriamente detta.
Il procedere gradualmente dalla pre-misura alla misura vera e propria
permette all’allievo di cogliere i vantaggi del processo di misurazione;
identificando in maniera più precisa le grandezze fisiche in gioco e trovando
quindi possibili relazioni tra queste.
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Le situazioni didattiche realizzate si propongono come primo obiettivo, quello
di mettere in evidenza, attraverso semplici argomentazioni, come una prima
ingenua osservazione di un fatto sperimentale spesso possa risultare
ingannevole per un’operazione di confronto e solamente attraverso attività
manuali e laboratoriali e attraverso la socializzazione delle osservazioni, il
bambino può avviarsi verso un reale apprendimento dei concetti in gioco.
Progettazione e
sperimentazione
Esempi :
- “Le due tazze”
- “Le clessidre”
Mappa del corso
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
- Le due tazze contengono la stessa quantità di
cioccolata?...
- I diametri sono rispettivamente 6 cm. e 12 cm.; le altezze
8 cm. e 4 cm.
-
Noti degli spazi vuoti, qui?
L’analisi delle analogie e differenze delle varie fasi
sperimentali con le tre differenti clessidre, può condurre gli
studenti, alla fine del processo di misurazione, a
riconoscere nei tre strumenti differenti unità di misura e
quindi l’impossibilità di ottenere valori numerici identici.
Sperimentazione condotta dalle insegnanti Anna Catalano, Liliana Ferrarello, Rosalia Lo Giudice,
Nicoletta Simonetti (MISSB, Palermo, 2008)
ScF
Programma del
corso
I Paradossi nell’interpretazione semiotica delle Matematiche .
Percorso Formativo
Logica, Filosofia e Linguaggio
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Riflessioni sui possibili schemi di ragionamento in culture differenti : i
paradossi logico-linguistici nella cultura europea e cinese. “Quaderni di Ricerca
in Didattica”, n. 18, 2008. G.R.I.M.
Esempi di paradossi: Il cubo di Necker, il triangolo di Penrose, l’illusione di
Zöllner, l’area che scompare…il paradosso di Zenone, il paradosso del mentitore, I
paradossi della decisione…
Mappa del corso
Logica bivalemte- Logica Fuzzy
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Il paradosso…affermazioni, immagini, condizioni, prospettive che sembrano vere ma
che in realtà sono contraddittorie…o che sembrano contraddittorie ma in realtà sono
vere…o che, apparentemente corrette, portano a conclusioni contraddittorie …
Definizione di (Lolli, 1998, pag. 96)
Un esempio dalla “Scuola dei Nomi”, 370-310 d.c.
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
La differenza macroscopica tra la logica bivalente Aristotelica e quella Fuzzy, (A.
Zadeh, 1965 ) è che ai concetti di “vero” e “falso” della logica booleana si sostituiscono
a quelli di “grado di verità” e “grado di falsità”.
Semplificando quella che rappresenta la definizione di insieme fuzzy , potremmo dire che
esso è caratterizzato da una funzione di appartenenza che assegna ad ogni elemento il suo
grado di appartenenza e può assumere tutti i valori compresi nell’intervallo [0,1]
ScF
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Un esempio dalla “Scuola dei Nomi”, 370-310 d.c.
“Un cavallo bianco non è un cavallo”. Questa proposizione possiamo dichiarala vera o
falsa?
2a) Soluzione
2b) Motiva la soluzione proposta
Il Paradosso
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
La distinzione fra ciò che si
accosta di più e ciò che si
accosta di meno è il minimo
di accostamento e di
distinzione: ciò che in tutti
gli esseri è interamente
accostato e interamente
distinto corrisponde al
massimo di accostamento e
di distinzione.
Dal punto di vista della
Logica Fuzzy
Dal punto di vista
della Logica
Bivalente
Dal punto di
vista della
Cultura Cinese
Classica
Un insieme A e l’insieme Una proposizione del Rientra nel
non-A hanno nella
genere non rientra nei classico
logica fuzzy una
sillogismi aristotelici schema di
intersezione che varia da e non trova nemmeno convivenza tra
un minimo a un massimo riscontro nella
opposti come
che dipende dalla
dialettica di Hegel.
nel caso dello
possibilità di accostare
yin e lo yang.
A e non-A e di
distinguere A e non-A.
ScF
Programma del
corso
Alcuni riferimenti:
- Bazzini L., Scimone A., Spagnolo F., (2006), Il Numero,
Editore Palumbo,
Percorso Formativo
Collana Universitaria: "Insegnare Matematica"diretta da
L.Bazzini&F.Spagnolo.
Quadro teorico
- Di Paola B., Manno G., Scimone A., Sortino C., (2007), La
Geometria, una guida ai suoi contenuti e alla sua didattica,
Palumbo, Palermo.
- Scimone A., Spagnolo F. (2005), Argomentare e
Congetturare nella scuola primaria e dell’infanzia, Palumbo,
Palermo.
Progettazione e
- Scimone A., (2006), Storia della Matematica,
sperimentazione
Editore Palumbo,
Collana Universitaria: "Insegnare Matematica"diretta da
L.Bazzini&F.Spagnolo.
- Spagnolo F., (1998) Insegnare le Matematiche nella scuola
secondaria, La Nuova Italia. In particolare i capitoli 1, 2, 3, 4,
5, 6 e le appendici 3 e 4.
Mappa del corso
- UMI, 2001; 2003
- Materiale didattico in rete nel sito del G.R.I.M. (Gruppo
di Ricerca sull’Insegnamento delle Matematiche):
ScF
1
Progettazione e sperimentazione
Programma del
corso
Percorso Formativo
Quadro teorico
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
G. Frege 1879 Begriffsschrift; eine
der arithmetischen nachgebildete
Formelsprache des reines Denkens,
Nebert, Halle (tr.it. Ideografia, un
linguaggio in formule del pensiero
puro, a imitazione di quello
aritmetico, in Frege 1965)
ScF
Possibile progettazione e sperimentazione
Programma del
corso
Lavoro di gruppo
Percorso Formativo
Quadro teorico
Metodologie didattiche e
competenze disciplinari
per il concetto indagato
Progettazione e
sperimentazione
Mappa del corso
Analisi critica
di libri di testo per il
concetto matematico
indagato (???)

Power Point - Matematica e Informatica

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