Compito del 15 feb. 2007-A

Facoltà di Ingegneria
Prova scritta di Fisica ____
Data: ______________
Cognome: _____________________________
CdL/Matricola: _______ / _______________
Nome: ________________________________
Aula: ____
Compito: _____
Per annullare la propria presenza a questa prova scrivere “RITIRATO” al rigo seguente:
………………………………..
Modalità di svolgimento:
1.
2.
3.
risolvere i problemi, il cui SVOLGIMENTO COMPLETO DEVE ESSERE RIPORTATO SUI FOGLI DI
BELLA
successivamente, rispondere alle domande; alcune di esse si riferiscono ai problemi e prevedono 4 possibili
risposte (tra le quali potrebbe anche non esserci quella giusta); altre domande sono in realtà affermazioni che
possono essere vere o false.
alla fine, compilare il foglio a lettura ottica con i risultati di tutte le domande a cui si è riusciti a rispondere
Regole per lo svolgimento:
1. indicare subito su ogni foglio Cognome, Nome , Data, CdL, Matricola, Aula e Compito.
N.B.: Ad esempio, la matricola 06103/000527 corrisponde a C.d.L 6103 e Matr. 527
(sul foglio a lettura ottica annerire le caselle in successione, partendo dall’alto)
2. risolvere ciascun problema COMMENTANDO OPPORTUNAMENTE I PASSAGGI. Soltanto dopo aver
risolto gli esercizi, rispondere alle altre domande.
Se tra le risposte indicate non c’è quella che l’allievo ritiene corretta, le caselle relative sul
foglio ottico non vanno annerite.
3.
sforzarsi di risolvere almeno un problema prima di rispondere alle “altre domande”, di cui fornire, ai fini della
valutazione, una breve spiegazione sul foglio di bella.
Elementi di valutazione:
1.
2.
i compiti non corredati da calcoli numerici (ove richiesti) o costituiti da sole formule senza commenti o
spiegazioni saranno penalizzati anche a fronte di risultati esatti.
la mancata corrispondenza tra quanto scritto sulla bella e quanto riportato sul foglio a lettura ottica può dar
luogo all’ annullamento delle risposte, ancorché giuste.
Consegna:
Inserire:
1. la traccia con tutte le altre fotocopie avute,
2. il foglio a lettura ottica,
3. la brutta copia dello svolgimento,
nel foglio di bella e consegnare tutto in un unico plico.
Facoltà di Ingegneria
Prova di Fisica I
15 Febbraio 2007
Compito A
M,R
O
Carrucola
ideale
Quesito n. 1
Il sistema rappresentato in figura consta di un disco, di
massa M e di raggio R, che rotola senza strisciare su di
Piano orizzontale
un piano orizzontale, di una carrucola ideale e di un
scabro
blocco di massa m, posto su di un piano scabro,
inclinato di un angolo θ rispetto alla verticale.
Il disco viene messo in moto da un filo ideale, ovvero
θ
inestensibile e privo di massa, teso, che è legato ad un
m
estremo al centro O del disco, mediante un gancio G di
G
massa trascurabile, mostrato nel riquadro sinistro della
Piano
inclinato
figura, e all’altro suo estremo al blocco.
scabro
R
Si assuma che il gancio sia sistemato in maniera tale da
non produrre attrito sul disco, quando quest’ultimo è in
rotazione e che tra il blocco e il piano inclinato scabro
il coefficiente di attrito dinamico valga µ. Il sistema è inizialmente fermo.
Si risolva il problema in condizioni dinamiche e si risponda quindi alle seguenti domande, utilizzando i seguenti dati
numerici: M =2.00 Kg, m =1.00 Kg, , θ =30°; R=10.0 cm; d=1.60 m, µ = 3 .
2
1) La reazione vincolare normale al piano sul quale poggia il blocco è in modulo pari a
a. N b = mg cos θ
b.
c.
d.
N b = mg
N b = mg sin θ (*)
N b = mg tan θ
2) L’accelerazione del blocco lungo il piano inclinato vale
a. a = g sin θ
b. a = mg (sin θ − µ cos θ )
(m + M2 )
c.
d.
mg cos θ
M

m + 
2 

(cos θ − µ sin θ ) g (*)
a=
4
a=
3) Il modulo T della tensione nel filo, è
a. T = 2.14 N
T = 3.18 N (*)
c. T = 6.44 N
d. T = 21.2 N
b.
4) Il modulo ftd della forza di attrito tra il disco e il piano orizzontale è
a.
f td = 1.06 N (*)
b.
c.
d.
f td = 6.41 N
f td = 64.1 N
f td = 113 N
5) La velocità VCM del centro di massa del disco, dopo che quest’ultimo si è spostato di distanza d dal punto di
partenza sul piano orizzontale vale
a. VCM = 1.06 m s
VCM = 1.84 m s (*)
c. VCM = 6.41 m s
d. VCM = 16.3 m s
b.
Quesito n. 2
Un piccolo blocco di massa m può scivolare senza attrito sulla
superficie interna di una guida sagomata a mo’ di quarto di
circonferenza avente raggio R (vedi figura). Il blocchetto parte
da fermo dalla sommità A della guida e giunge nel punto B con
velocità VB, da dove incomincia un moto parabolico nel vuoto,
fino a cadere al suolo nel punto C. Il punto B è ad una quota R
dal punto S al suolo.
Si trovino le quantità cinematiche di rilievo nel problema nei
vari punti indicati nella figura e si risponda quindi alle seguenti
domande.
A M
m
R
B
6) La velocità VB del blocchetto vale
R
S
C
d
a.
VB = 2 g R
b.
V B = 2 gR (*)
c.
VB =
d.
V B = gR
2R
g
7) Il tempo di volo tV del blocchetto, calcolato dal momento che esso lascia il punto B e fino a che arriva in C è
a.
tV =
b.
tV =
c.
tV =
R
g
R
g
2R
g
2 R (*)
g
8) La distanza orizzontale d, misurata da S, alla quale il blocchetto cade al suolo
d=R
a.
b. d = 2 R (*)
c. d = 3R
d.
tV =
d.
d=
R
2
9) La componente y della velocità del blocchetto un attimo prima che esso tocchi il suolo vale
a. VCy = − 2 gR (*)
R
2
b.
VCy = − 2 g
c.
VCy = − 4 gR
d.
VCy = −2 R g
10) L’angolo θ che il vettore velocità del blocchetto in C fa con l’orizzontale vale
a.
θ =−
π
6
b.
c.
d.
θ =−
θ =−
θ =−
π (*)
4
π
3
π
5
Quesito 3
Un blocchetto, assimilabile ad un punto materiale di massa m = 4 kg , partendo da fermo nel punto A, ad una quota
pari a h = 10 m scivola lungo una guida priva di attrito. Alla base di essa il blocco prosegue il suo moto lungo un tratto
orizzontale, anch’esso privo di attrito e termina la sua corsa comprimendo una molla ideale di costante elastica
N
k = 200
(vedi figura). Determinare la massima compressione della molla.
m
Rispondere quindi alle seguenti domande:
11) durante il moto del blocchetto si conserva
a. la sua energia potenziale
b. la sua energia cinetica
c. la sua energia meccanica (*)
d. la sua quantità di moto
12) Assumendo come punto di riferimento la base della guida, l’energia potenziale del blocchetto alla quota h vale
a. 18.6 J
b. 56.5 J
A
m
c. 392 J (*)
d. 107.1 J
13) La compressione massima della molla vale
a. 13.45 m
h
b. 10.03 m
c. 5.08 m
k
d. 1.98 m (*)
Quesito 4
Lungo un piano inclinato di α rispetto all’orizzontale può scendere strisciando un blocchetto di massa M, che attraverso
un filo inestensibile provoca la risalita di due blocchetti di massa m1 ed m2, tra loro legati da un secondo filo più corto.
Supponendo che la carrucola sia ideale, che i fili siano inestensibili e che il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco
di massa M ed il piano valga µ, si calcoli:
• il modulo a dell’accelerazione del corpo di massa M
• il modulo T della tensione del filo più lungo (quello avvolto attorno alla carrucola)
• il modulo della velocità del blocchetto di massa M quando, partendo
da fermo, scende di 2.7 m lungo il piano inclinato.
π
Valori numerici: M=6kg, m1=0.5kg, m2=0.5kg, µ=0.5, α =
3
m1
Si risponda quindi alle seguenti domande:
M
14) il modulo dell’accelerazione del blocco di massa M vale:
m
m2
a. a = 3.8 2 (*)
s
m
b. a = 17.84 2
s
α
m
c. a = 12.5 2
s
m
d. a = 28.15 2
s
15) il modulo T della tensione del filo più lungo vale
a. T = 2.6 N
b. T = 13.6 N (*)
c. T = 34.7 N
d. T = 91.4 N
16) il modulo della velocità del blocchetto di massa M quando, partendo da fermo, scende di 2.7 m lungo il piano
inclinato vale
m
a. v = 16.75
s
m
b. v = 4.51
(*)
s
m
c. v = 0.06
s
m
d. v = 42.14
s
Altri quesiti
17) (tutti)
Un punto materiale si muove lungo l’asse x (moto rettilineo) con velocità v < 0 ed accelerazione costante
a < 0 . Il modulo della velocità
a. rimane costante nel tempo (moto rettilineo uniforme)
b. aumenta al passare del tempo (moto uniformemente accelerato) (*)
c. diminuisce al passare del tempo (moto uniformemente decelerato)
d. prima aumenta poi diminuisce
18) (tutti)
Nel moto parabolico di un proiettile lanciato verso l’alto ad un angolo di 45°, nel punto di altezza massima, la
velocità ha
a. componente orizzontale nulla e componente verticale diversa da zero
b. entrambe le componenti nulle
c. entrambe le componenti diverse da zero
d. componente orizzontale diversa da zero e componente verticale nulla (*)
19) (tutti)
Un sassolino viene lanciato verticalmente verso l’alto. Nel punto di altezza massima, il sassolino ha
a. velocità nulla ed accelerazione diversa da zero (*)
b. velocità ed accelerazione nulle
c. velocità ed accelerazione diverse da zero
d. velocità diversa da zero ed accelerazione nulla
20) (tutti)
r r
r r
Siano a e b due vettori e sia θ l’angolo compreso tra di essi. Il modulo della somma a + b vale
a.
a 2 + b 2 − 2ab cos θ
b.
a 2 + b2
a 2 + b 2 + 2ab cos θ (*)
a+b
c.
d.
21) (tutti)
r
Siano a
a.
b.
c.
d.
22) (tutti)
(
) {( (cr ) ∧ (b ) )⋅ d }
r r
r r r
, b , c , d dei vettori. La seguente espressione b ∧ c ∧
è un vettore
è uno scalare
non ha senso (*)
uguale alla somma dei 4 vettori
r
r
r
r
r
Siano a ≡ (1,−1,−1) , b ≡ ( 2,−2,−2) , e c ≡ (3,−3,−3) tre vettori tridimensionali.
(r
r
r
)
Calcolare ( a + b ) ∧ c :
a.
b.
c.
d.
(
(
(
(
r r r
(a + b ) ∧ c
r r r
(a + b ) ∧ c
r r r
(a + b ) ∧ c
r r r
(a + b ) ∧ c
) = (3, -9, -1)
) = 0 (*)
) =5
) = (1, 0, 0)
23) (tutti)
r
r
r
Siano a ≡ (0,0,+2) , b ≡ (0,+2,0) , e c ≡ (0,0,−5) tre vettori tridimensionali.
(r
r
r
)
Calcolare a ⋅ (b ∧ c ) :
a.
b.
c.
d.
(
(
(
(
r r r
a ⋅ (b ∧ c )
r r r
a ⋅ (b ∧ c )
r r r
a ⋅ (b ∧ c )
r r r
a ⋅ (b ∧ c )
) = (3, -9, -1)
)= 15
)= 5
)= 0 (*)
24) (tutti, tranne l’anno di preparazione)
Un punto materiale si muove di moto rettilineo lungo l’asse x con velocità v = kt
2
con k = 2
m
s2
e t in
secondi. Al tempo t=5s, l’accelerazione del punto materiale vale:
a.
b.
c.
25)
26)
27)
28)
29)
a = 20m / s 2 (*)
a = 140 m / s 2
a = 0 m / s2
a = 0.5 m / s 2
d.
(tutti, tranne l’anno di preparazione)
L’accelerazione del centro di massa di un sistema di particelle dipende
a. soltanto dalla risultante delle forze interne
b. soltanto dalla risultante delle forze esterne (*)
c. soltanto dal momento risultante delle forze interne rispetto al CM
d. soltanto dal momento risultante delle forze esterne rispetto al CM
(tutti, tranne l’anno di preparazione)
r
Il momento angolare di un corpo rigido QUALSIASI che ruota intorno ad un asse con velocità angolare ω è:
a. parallelo all’asse di rotazione
r
b. parallelo ed equiverso ad ω
c. perpendicolare all’asse di rotazione
d. ha sia una componente parallela che una componente ortogonale all’asse di rotazione (*)
(tutti, tranne l’anno di preparazione)
Dato un sistema di particelle, la quantità di moto totale si conserva se:
a. la risultante delle forze esterne è nulla (*)
b. la risultante delle forze interne è nulla
c. il momento risultante delle forze esterne rispetto al CM del sistema è nullo
d. tutte le forze esterne e tutte le forze interne sono conservative
(tutti, tranne l’anno di preparazione)
In presenza di forze di attrito, l’energia meccanica di un sistema di particelle che evolve da una configurazione
iniziale A ad una configurazione finale B
a. rimane costante (E A = E B )
b. aumenta (E A > E B )
c. diminuisce (E A < E B )
d. raddoppia (E B = 2E A )
(tutti, tranne l’anno di preparazione)
Una ruota omogenea ha massa M, raggio R e momento d’inerzia I rispetto all’asse passante per il suo CM. Se
la ruota compie un moto di puro rotolamento, con il CM che si sposta con velocità di modulo v CM , l’energia
cinetica della ruota risulta
1
2
Mv CM
a.
2
1
1 I 2
2
Mv CM
+
v CM (*)
b.
2
2 R2
1 I 2
v CM
2 R2
1
1 2
2
d.
Mv CM
+ Iv CM
2
2
30) (tutti, tranne l’anno di preparazione)
Il periodo di oscillazione di un pendolo semplice non dipende
a. dall’ampiezza dell’oscillazione (*)
b. dalla lunghezza del filo
c. dalla massa del pendolo
d. dall’accelerazione di gravità
31) (tutti)
Un moto rettilineo (posizione x, velocità v, accelerazione a) è armonico quando l’accelerazione è
a. a = costante
b. a = − kx con k=costante (*)
c.
c. a = −kx 2 con k=costante
d. a = − kv con k=costante
32) (tutti, tranne l’anno di preparazione)
r
r
Un punto materiale di massa m ha posizione r rispetto ad un polo O e velocità v . Su di esso agisce una forza
r
F . Il suo momento angolare rispetto ad O è
r r
a. r ⋅ mv
r r
b. r ⋅ F
r
r
c. r ∧ mv (*)
r r
d. r ∧ F
33) (tutti, tranne l’anno di preparazione)
Il teorema di Koenig dell’energia cinetica dice che
a. L’energia cinetica di un sistema di particelle è sempre nulla
b. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del CM del sistema
c. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del CM del sistema più
l’energia cinetica del sistema rispetto al sistema del centro di massa (*)
d. L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del sistema rispetto al
sistema del centro di massa
SOLUZIONI
Quesito 1
Applicando la seconda legge di Newton al blocchetto, scegliendo un sistema di assi con asse x lungo il piano e orientato
lungo il verso dell’accelerazione del blocchetto, e l’asse y ad esso ortogonale, possiamo scrivere:
 Fx = ma − T − f tb + mg cos θ = ma
,
⇒

 N b − mg sin θ = 0
 Fy = 0
f tb = µN b = µmg sin θ
ove
(1)
(2)
Si noti che la scelta dell’angolo non è quella solita. La stessa legge, generalizzata per sistemi di punti materiali,
applicata al disco, ci dà:
 Fx = Ma T − f td = Ma
.
⇒

F
=
0
N
−
Mg
=
0
y
d


(3)
Applicando il teorema del momento angolare al disco che rotola sul piano orizzontale, scegliendo come polo il punto di
contatto del disco col piano, possiamo scrivere
M P( ext ) = I Pα ⇒ TR =
3
3
MR 2α ⇒ T = Ma .
2
2
(4)
Dalla seconda equazione nella (1) si vede perciò che la reazione vincolare normale al piano sul quale poggia il blocco è
in modulo pari a N b = mg sin θ .
L’accelerazione del blocco lungo il piano inclinato si trova sostituendo la (4) nella prima equazione della (1), tenendo
conto della (2), cosicché si ha:
a=
Sostituendo i valori numerici si ottiene a =
mg (cos θ − µ sin θ )
.
(m + 32M )
3
m
g = 1.06 2 . Pertanto, dalla (4) si ha che il modulo T della tensione
16
s
nel filo, è T = 3.18 N .
Il modulo ftd della forza di attrito tra il disco e il piano orizzontale si trova adesso attraverso la prima equazione nella
(3), tenendo conto della (4), cosicché f td =
1
Ma = 1.06 N .
2
La velocità VCM del centro di massa del disco, dopo che quest’ultimo si è spostato di distanza d dal punto di partenza sul
piano orizzontale si trova notando che l’accelerazione a è costante, cosicché si può scrivere
2
VCM
= 2ad ⇒ VCM = 1.84
m
.
s
Quesito 2
Applicando la conservazione dell’energia dal punto A al punto B si ha:
1
mVB2 = mgR
2
La velocità VB del blocchetto pertanto vale V B = 2 gR .
Il tempo di volo tV del blocchetto, calcolato dal momento che esso lascia il punto B e fino a che arriva in C, si trova
scrivendo la legge oraria del moto per il blocchetto, assumendo come tempo iniziale nullo il momento in cui il
blocchetto transita per il punto B. Scriviamo allora
 x = VB t


1 2
 y = R − 2 gt
Imponendo y=0, si ha:
tV =
Per trovare adesso la distanza d, si pone d = V B tV =
2 gR
2R
.
g
2R
. E perciò d = 2 R .
g
Per ottenere l’espressione della velocità del blocchetto, derivando il vettore posizione di quest’ultimo, scriviamo:
V x = VB
.

V y = − gt
Cosicché VCy = − gtV = − g
2R
= − 2 gR .
g
Infine, l’angolo θ che il vettore velocità del blocchetto in C fa con l’orizzontale si trova ponendo
Pertanto
θ =−
π
4
.
θ = tan −1
Vy
Vx
= −1 .