Descrizione del laboratorio ed esercizi

LaboratoriodiAnalisiinfinitesimale
Docenti:Proff.sseLoredanaBiacinoeEsterGIarrusso.
Illaboratoriohaseguitoilseguentesvolgimento.
Primo incontro - E’ stato inizialmente dato ai ragazzi un questionario di presentazione, ove
intervenivanovariequestionidicuiglistudentidovevanoesseregiàaconoscenzaecheèstatolabase
diunadiscussionesuccessiva.
Eccoilquestionario:
1–Dopoaverintrodottounriferimentocartesianosullaretta,disporviipuntichehannoleseguenti
ascisse:
!
"
1,72; ;5/12;3/16;6/4; ; 3/4.
!
#
2–Dopoaverintrodottounriferimentocartesianonelpiano,spiegareperchél’equazione3x-y=0
rappresentaunaretta.Chièecosarappresentailsuocoefficienteangolare?
3–Saprestiindicareunmetodopercalcolareladecimacifradecimaledi 3(senzausarel’algoritmo
dellaestrazionediradice)?
4–Saprestitratteggiarelapartedelpianoicuipunti(x,y)soddisfanoladisequazione:𝑥 ! +2x+𝑦 ! >3?
+
5-Disegnaleparabolediequazioney= 𝑥 ! ;y=𝑥 ! ;y=2𝑥 ! ;y=4𝑥 ! .Cosanoti?
!
6–Datalaparaboladiequazioney=𝑥 ! ,scriverel’equazione:
a) dellatraslatachehaverticein(0,3);
b) dellatraslatachehaverticein(3,2);
c) dellatraslatachehaverticein(4,0)
d) dellasecantechepassaperl’origineeperilpunto(1,1).
Dopocheiragazzihannorispostoaivariquesiti,sièapertaunadiscussioneconlapartecipazionedi
tutti: si é discusso della rappresentazione cartesiana delle funzioni, della pendenza dei grafici
cartesianiinunpunto,delladefinizionegeometricaditangente.
Dopotalediscussionenoiinsegnantiabbiamodatoledefinizionidifunzionecrescenteodecrescente,
dimassimoeminimoassolutiorelativi,osservandoconesempiincherelazionelatangente,supposta
esistente,sitrovasseconilgraficodellafunzione.Siédiscussoconiragazzidell’argomentoesisono
presiinconsiderazionevaricasiparticolari.SièinfineaccennatoalmetododiFermatperlaricerca
deimassimiedeiminimi.
Ingenerale,conl’ausiliodellageometriaanalitica,possiamoeffettuareunostudioaccuratodimolte
curve e ricavare dall’equazione che le definisce un gran numero di proprietà. Questo è
particolarmente vero per curve che si presentino come grafici di funzioni, per le quali si possono
studiaremassimiominimiutilizzandoingenereilcalcolodifferenziale.
Fermatosservò,inunsuolavorosullaricercadeimassimiedeiminimi,cheseunafunzioneinun
puntox,internoadunintervallodoveèdefinita,haunmassimoounminimoallora,consideratoun
puntovicinoax,siax+E,ilvaloredellafunzioneinx+Edifferiscedimoltopocodalvaloreinx,inmodo
talechenonsolosipuòconfonderecon0ladifferenzaf(x+E)-f(x)maancheilrapporto
. Quindi Fermat pensò che per determinare i massimi e i minimi si dovesse seguire la seguente
procedura:
Costruireilrapporto
;
eseguirelesemplificazionipossibiliinmododaeliminarelaEdaldenominatore;
porreEegualeazeronell’espressionesemplificata;
eguagliareazerol’espressionecosìottenutainmododadeterminareilvalore(oivalori)dellax.
Ivaloricorrispondentif(x)avrebberofornitoiminimioimassimidellafunzione.
Secondoincontro-Ancheinquestocasoaglistudentièstatodatounquestionariodacompilare:
Essoerailseguente.
Crescitadiunacolturadialghe.
Inunesperimentodalaboratorioèstatastudiatalabiomassadiunacolturadialgheperunperiodo
di74giorni,misurandol’areamoccupatadallacolturasulvetrinodelmicroscopio.Sonostatiregistrati
ivaloridim(inmillimetriquadrati)infunzionedeltempot(ingiorni)eipuntideterminatisonostati
unitidaunacurvadiequazionem=f(t)chehal’andamentoinfigura.Labiomassaeracirca0,1nel
giorno10ederacresciutaacirca1,7nelgiorno40.
Qualeincrementohasubitolabiomassaintaleperiodo?
Qual è stata la rapidità di crescita media nell’intervallo di tempo fra il giorno 10 e il giorno 40?
Cherelazionec’ètratalevelocitàmediaelaretta(secante)cheunisceipuntidelgraficodim=f(t)
corrispondentiat=10et=40?
Consideriamo ora intervalli di tempo sempre più corti vicino al punto t=60. I segmenti delle rette
secantidiventanosemprepiùcortielaloropendenzatendeaunlimitecheèlapendenzadellaretta
tangentenelpuntodiascissat=60.Talerettasembrapassareperipunti(2,0)e(60,4.3).
Qualèilsuocoefficienteangolare?
Qualèlavelocitàdicrescitadellabiomassaal60-simogiorno?
Dopocheiragazzihannotentatodirispondere,nontuttienoncompletamente,alledomande,siè
apertaladiscussione,conconsiderazionidicarattereingenuosulladefinizionedilimiteeditangente.
NoiinsegnantiabbiamonuovamenteintrodottoilmetododiFermatperlaricercadeiminimiedei
massimi.Sisonofattedelleosservazionidicaratterestorico,cercandodicollegarel’operadiFermat
ediCartesioall’ambitoculturalediprovenienza.
Eccolecosechesostanzialmentesisonodette:
IlSeicentofuunsecolodigrandiscoperteeinnovazioninell’ambitodelleScienzeingeneraleedella
matematicainparticolare.AParigi,nellaprimametàdelsecolosiassistetteadunfermentoculturale
davveroeccezionale,chenontrovariscontroinnessunaltroperiodostorico,senonforsenelsecolo
d’oro di Atene (V secolo a.C.). Un grande numero di matematici vennero in contatto tra loro, e si
raccolseroattornoallafiguradelpadreminimoMartinMersenneosimantennerocostantementein
rapporto epistolare con lui: e tale entusiasmo non riguardava solo la matematica: infatti
contemporaneamente sorgevano accademie e circoli in cui si discuteva di scienza, lettere e in
generale di cultura. In tali ambiti si andava affermando un nuovo tipo di sapere che si discostava
apertamentedalsapereprecostituito,essenzialmentelascolastica.L’esplosioneditalefenomeno
nonècasuale,masicollegaallegrandiinnovazionienovitàcheavevanosegnatoilsecoloprecedente.
La più importante è la scoperta dell’America, avvenuta nel 1492. Da allora si erano avvicendate
spedizioniinquelleterreremoteeavevanopresoacircolareiraccontidipianteeanimalifantasticie
strani e poi di popolazioni fino ad allora sconosciute. Un grande flusso d’oro aveva cominciato a
scorrereinPortogallo,provenientedaqueipaesilontani!
Nel1543erastatostampatoilDerevolutionibusorbiumcoelestiumdiNicolòCopernico,conilquale
l’autorespiegavaifenomenicelestiponendoalcentrodelsistemasolareilsoleinvecechelaterra,
mettendoincrisil’autoritàdellaChiesaCattolicachedapiùdimilleanniavevaaccoltoefattapropria
lateoriadiAristotele,perfezionatascientificamentedaTolomeo,secondolaqualelaterraèalcentro
dell’universo.Sipuòimmaginarel’impattocheunasimileteoriapotevaaveresullaculturadiallora:
l’uomo improvvisamente non era più il centro della creazione, ma veniva quasi respinto in una
posizionemarginale:perquestolaChiesaavrebbeavversatolenuoveteorieneisecolifuturi.
IllavorodiCopernicononrimaseisolato,maebbedeiseguacidigrandeingegno:bastiricordareTycho
Brahe(1546-1601)eGiovanniKeplero(1571-1630):quest’ultimoosservòcheadescrivereleorbite
dei pianeti attorno al sole ben si prestavano le ellissi, curve studiate sin dall’antichità e che ora
all’improvvisoacquistavanounagrandeimportanza.AquestinomibisognaaggiungereGalileoGalilei
(1564-1642) e in seguito Isacco Newton ((1642-1727) che avrebbe gettato le basi del calcolo
differenzialeedellameccanicamoderna.
UnaltrodurocolpoperlaculturacattolicafupoiinfertodaMartinLutero,chenel1520,bruciando
labollapapalediedeinizioallariformaprotestante.AquestonontardòarisponderelaChiesaconil
ConciliodiTrento(1545-1563)econl’istituzionedell’Inquisizione.
Infine è da ricordare che nel 1571, con la battaglia di Lepanto il pericolo turco fu per il momento
scongiurato:l’Europapotevatirareunsospirodisollievoededicarsiaidissidiintestini.
Dalpuntodivistapoliticoricordiamochedal1616al1643conilregnodiLuigiXIII,laFrancia,grazie
alCardinaleRichelieu,ristabiliscel’autoritàsovranaetendeadoccupareunaposizioneegemonein
Europa. Tale scopo è completamente raggiunto dopo la vittoria sugli Asburgo nella guerra dei
Trent’anni(iniziatanel1635).
Ilnuovotipodiculturaedisaperechesimanifestacomeabbiamodettoinquestoperiodospessosi
scontra apertamente contro l’autorità politica: un atto che bene svela la natura di quest’ultima è
l’ingiunzionedelParlamentofranceseanonattaccareAristoteleeiclassici,penalavita,concuisi
rispose, nel 1624 ad alcuni filosofi che avevano deciso di discutere pubblicamente 14 tesi contro
Aristotele.
Questeosservazionisuldeclinodellascolasticaedellalogicaclassicaavevanoloscopodirendersi
contochenonècasualel’affermarsidelmetododiFermatincuiunaquantitàmatematicaèprima
supposta diversa da zero e in un secondo momento posta eguale a zero. In effetti anche oggi è
unanimementeusatoilprincipiodinoncontraddizione:nonadeguarvisi,aitempidiFermatavevail
significato di cercare nuove strade; ed in effetti quell’errore iniziale, che sarebbe stato
successivamentegiustificato(circaduesecolidopo)conl’introduzionedelconcettodilimite,avrebbe
portatounenormesvilupponelcampodellascienza.
Dopoquestadiscussionesonostatipostivariproblemiaglistudenti.
Problema1.Consideriamolafunzioney=3+2x-x2.Vogliamodeterminarneilmassimo.
SeguiamoleindicazionidiFermat:
poniamo
.
Effettuate le semplificazioni si ottiene: 2-E-2x=0; posto E=0 si deduce x=1. SI ottiene in tal modo
l’ascissadelverticedellaparabola;ilcorrispondentevaloreèunmassimoassoluto,datodaf(1)=4.
Problema2.E’datounsegmentoABdilunghezzaa.DeterminaresudiessounpuntoCinmodoche
ilrettangolodilatiACeCBabbiaareamassima.
PostoAC=xlafunzionedamassimizzareèlaseguenteA(x)=x(a-x).SeguendoleindicazionidiFermat
consideriamolaseguenteequazione:
=0.
Eseguiamoicalcoliesemplifichiamo;otteniamo:a-2x-E=0.
PonendoinfineE=0siricavax= ,cheèilrichiestopuntodimassimo;siosservicheperx=0ex=asiha
ilminimoperl’area,cheèzero.Nonotteniamotalivaloriperchésonoestremidell’intervallo[0,a]
dovevarialax.
Ilquadratoquindihalamassimaareatratuttiirettangolididatoperimetro.Questorientrainun
risultatopiùgenerale:tratuttiipoligoniaventiundatonumerodilatiedidatoperimetro,ilpoligono
regolareèquelloaventeareamassima.Sepoiconsideriamotuttiipoligoniregolarididatoperimetro
eliconfrontiamoconilcerchiochehalostessoperimetrosaràilcerchioadavereareamassima:tale
proprietàdelcerchioèdettaproprietàisoperimetrica.
Problema3.E’datounfoglioquadratodilatoa.Vogliamoformarneunascatolailcuivolumesia
massimo.
Detta x l’altezza della scatola a forma di prisma retto rettangolo la funzione da massimizzare è la
seguente:V(x)=(a-2x)2x.Seguendolaprecedenteproceduraotteniamo:
=0;
eseguiamoicalcoli:
=0;
dividendoperEsiricava:
(a-2x)2+4Ex+4E2-4E(a-2x)-4x(a-2x)=0;
ponendoE=0laprecedenteequazionediventa:
(a-2x)(a-6x)=0.
L’ultimaequazionehaduesoluzioni,x= ex= .
Laprimaditalisoluzionicorrispondeevidentementeadunminimomentrelasecondaèlasoluzione
richiesta.IlcorrispondentemassimoèdatodaV( )= .
Sièpoidettoaglistudenticheunadelleprovedellabontàdelmetodoillustrato(basatasulprincipio
chelalucepercorrecamminicheminimizzanoiltempo)consistevanelfattocheessopermettevadi
dimostrare per la prima volta in modo rigoroso la legge di rifrazione della luce nel passaggio
attraversoduemezziomogeneididiversadensità.Taleleggeerastatastabilitaperviasperimentale
dalmatematicoolandeseWillebrordSnell(Leida1580-1626).Cartesioformulòlaleggecorrettamente
nellaDiottrica,dandoneperòunadimostrazioneinsoddisfacente.
Abbiamoosservatochelostessoprincipiopermettedidimostrarelaleggediriflessionedellaluce,già
notasindall’antichità,dicuisièdiscussaladimostrazionegeometrica.
Problema4-SupponiamocheunraggiodilucedebbapassaredaAaB,unonelprimomezzo,l’altro
nelsecondo,echeiduemezzi,schematizzatinelpianosianoseparatidaunarettasucuiindichiamo
conA’laproiezioneortogonalediAeconB’laproiezioneortogonalediB:trovareinqualepuntoC
ilraggiodilucedeveattraversareilsegmentoA’B’affinchéiltempoimpiegatosiaminimo.
Risoluzione - Poniamo A’B’=c, A’C=x. Quindi, dette a e b le lunghezze dei segmenti AA’ e BB’
rispettivamente,risulta:AC=
;CB=
.
Detteuevlevelocitàneiduemezzi,iltempoperpassaredaAaBèdatoda
T(x)=
+
.
PerminimizzaretaletempoFermatusaunmetodolievementediversodaquelloprecedentemente
illustrato. Considera due punti x1 e x2 prossimi al punto x in cui il tempo è minimo, con x1<x<x2 e
osservache,setalipuntisonoopportunamentescelti,inessideverisultareT(x1)=T(x2).Sostituendo
edeffettuandoqualchesemplicecalcolosiottiene:
+
dividiamoperx1-x2eotteniamo:
=0;
+
=0.
Poniamoorax1=x2=x:allorasideducedallaprecedenterelazione:
=
.
Daquisitrae:
=
,
avendoindicatoconiedrrispettivamentel’angolod’incidenzael’angolodirifrazione.
Terzoincontro–E’statoespostoilmetododelletangentiutilizzatodaFermateiragazzisonostati
invitatiarisolverevariproblemiincuibisognavadeterminarelatangenteadunacurva.
Fermatproposeilsuometodochesebbenelimitatoaparticolarifunzioni(sostanzialmentelefunzioni
razionali)eraperòdifacileapplicazione.Vediamocomeprocede:datalacurvadiequazioney=f(x)ed
ilpuntoP=(x,f(x))eglisupponegiàdatalatangenteinP:siaTilpuntoincuitaletangenteinterseca
l’assexesiaQilpunto(x,0).FermatchiamasottotangenteilsegmentoTQedilsuoscopoèquellodi
determinarlo.Perquestoegliragionaalseguentemodo:fissatoalsolitounvalorepiccoloE,considera
ilpuntoR=(x+E,0)eilpuntoSchehaascissax+Esullatangente.Valel’eguaglianza:SR:PQ=TR:TQ.
Poniamo TQ=c, quindi TR= c+E. Se E è molto piccolo si può pensare che S giaccia sulla curva di
equazioney=f(x)equindisipuòstabilirel’adeguaglianza:
f(x+E):f(x)≅(c+E):c;
sottraendosiottiene(f(x+E)-f(x)):f(x)≅E:c,
dacui:
≅ .
Datalerelazione,semplificandoalsolitomodolaEeponendopoiinfineE=0siottienelac.
Problema1-Determinarel’equazionedellatangentealgraficodiequazionef(x)=x2+4x+2nelpunto
aP=(0,2).
Intalcasof(0+E)=E2+4E+2;
≅ diventa
≅ dacuisemplificandoeponendoinfine
E=0siottienec=1/2.Ovviamenteaquestopuntosipuòrisalireall’equazionedellatangente,come
rettapassanteperT=(-!/2,0)eP=(0,2):siottienel’equazioney=2+4x.
E’statoanchepresoinconsiderazioneilseguenteproblemapostodaFermat:
Problema2-SiconsiderilasemicirconferenzaFBDdidiametroFD;siconducalaperpendicolareBH
aldiametroFD;sicercailmassimodelprodottodiFHperHB.
Noiconsidereremounsistemadiriferimentocartesianoconl’origineinF,assedellexsuldiametro
FDeasseytangenteallasemicirconferenzainF.
DimostrazionesinteticafornitadaFermat.
Fermatosservacheilproblemaconsisteneldeterminare,tratutteleiperbolidiequazionexy=k,quella
tangentealladatasemicirconferenza:ovviamente,dettoBilpuntoditangenzadelleduecurve,esse
hannoinBlastessarettatangente.FermatricordachenelleConichediApollonioèdimostratoche,
dettiAeCipuntiincuitaletangenteintersecagliasintotidell’iperbole,rispettivamentel’asseye
l’assexnelnostrocaso,alloraBdivideametàilsegmentoAC.
DimostrazionedellaproprietàevidenziatadaApolloniocolmetododelletangentidiFermat.
Apriamounabreveparentesiosservandocheilrisultato
dovutoadApolloniopuòesserefacilmentestabilitocon
la procedura analitica di Fermat esposta prima. Infatti
consideratosullatangenteACilpuntoB’diascissax+E
e sull’asse x il punto K=(x+E,0), dalla similitudine dei
triangoliHBCeKB’C,suppostoinoltrecheB’sitrovisulla
curva,sipuòfacilmentestabilirel’adeguaglianza:
,
-
,
,
,
:
,
-./
≅c:(c-E).
Applicandoaquestopuntoilsottraendo,siottiene:
( -
): ≅E:c,
- -./ dove c è la sottotangente, lunghezza del segmento HC. Effettuando i calcoli e le semplificazioni,
ponendoinfineE=0,siottienecomerisultatox=c,cioèFHeHChannoegualelunghezza.Nesegue,
perlasimilitudinedeitriangoliAFCeBHCcheancheAB=BC.
SipuòorarisolvereilproblemadimassimodatoperviasinteticacomefaFermat.SiaMilcentrodella
semicirconferenzaesiaNilpiededellaperpendicolarecondottadaBsull’assey.Allorailtriangolo
MBHèsimilealtriangoloANB(inquantoentrambiitriangolisonorettangolieidueangoliinBsono
egualiinquantoilorolatisonoadueadueperpendicolari).Inoltrel’ipotenusaABéegualeadAF,in
quantoABeAFsonoletangentitracciateallasemicirconferenzadalpuntoA;pertantoABèdoppiadi
AN(inquantoiltriangoloABNèsimilealtriangoloAFCeACèildoppiodiABperquantodimostrato
"
inprecedenza),quindiancheBMèildoppiodiMH.MaalloraFH=FM+MHèegualeai delraggio
!
dellasemicirconferenzaedilproblemaèrisolto.
RisoluzioneanaliticadelProblema.
Siaxl’ascissadiB,rilraggioFM,alloral’ordinataBHsaràdataday= 𝑟 ! − (𝑥 − 𝑟)! ;lafunzioneda
massimizzareèquindi
f(x)=x 𝑟 ! − (𝑥 − 𝑟)! QuièpossibileadoperareunmetodochetalvoltaFermatusa;siconsideranoduepunti𝑥+ e𝑥! tali
chef(𝑥+ )=f(𝑥! ),sielevanoalquadratoamboimembridellaprecedenterelazione,ottenendo:
𝑥+" (2r-𝑥+ ) = 𝑥!" (2𝑟 − 𝑥! )
Daciòsitrae,dopoaverportatoquantoscrittoadestradell’eguaglianzaaprimomembroeaverdiviso
per𝑥+ –𝑥! :
2r(𝑥+! +𝑥+ 𝑥! +𝑥!! )-(𝑥+! +𝑥!! )(𝑥+ +𝑥! ) = 0.
Siponeinfine𝑥+ =𝑥! =x.esiottieneintalmodoun’equazionelecuisoluzionisonox=0,estremo
"
dell’intervallodivariabilitàdellax,corrispondentealminimodelladatafunzioneex= r,cheèla
!
soluzionerichiesta.
Si noti che nel caso della soluzione analitica il risultato intermedio (la proposizione dovuta ad
Apollonio)noninterviene.Ilprocedimentoèpiùmeccanico,masostanzialmentepiùsemplice.
E’chiarodalcontestocheFermatprediligeilmetodosinteticoaquelloanalitico,macomprendeche
mentreilmetodoanaliticofornisceunaprocedurameccanicaequindiuniformechesiapplicaauna
vastaclassediproblemi,perilmetodosinteticobisognaescogitareunadiversasoluzioneperogni
tipo di problema; tale metodo richiede pertanto fantasia ed inventiva, qualità ben diverse dalla
capacitàdiapprendereunaproceduraeapplicarla,sempreegualeasestessa,intuttiicasichesi
presentano.
Unconfrontodelgenerepuòessereutiledidatticamenteperchémetteinlucechementreunmetodo,
quelloanalitico,richiedechevenganoaffinateleabilitàdicalcoloinbaseadateregole(comeavviene
quandosiimparaaderivarelefunzionicompostetramitelefunzionielementari),ilmetodosintetico
(che nel caso della derivazione è ovviamente oggi completamente fuori luogo) richiede la
partecipazionedellamenteadunlivellomaggioredilibertàedifantasia.
Infatti c’è una grande differenza tra applicare delle regole e costruire delle regole. Ora a scuola si
imparaadapplicareleregoleedègiàungranderisultatoquandociòavviene.Moltopiùfaticosoè
imparareadinventareregolenuove:questoèloscopodellarisoluzionedifaciliproblemicheescano
fuoridaglischemitradizionali:civuoleallenamentoadutilizzareciòchegiàsiconosceinmodonuovo
allo scopo di dimostrare una qualche proprietà. Questo esercizio valorizza capacità che possono
esseredigrandeutilitàalivellopersonaleenelcontestosociale:infattinonèbenprecisatoquello
chesaràrichiestoainostristudentiquandolascerannolascuolaol’università;incontinuazionenuove
tecnologiesoppiantanoquellevecchiecosìcheilpanoramadelleabilitàdamettereincampocambia
incessantemente: cosa può essere utile per affrontare una tale situazione? Certo l’attitudine ad
apprendereèessenzialecomeloèl’informazionedibase,maquellochedavverofaladifferenzaèla
capacitàdirisolvereproblemichesipongonoinmodonuovo.
NelcorsodellostessoincontroèanchestatopropostounconfrontoconilmetododiCartesioperla
determinazionedelletangenti.
Cartesionellageometriadel1637esposeilsuometodomoltorigorosoperladeterminazionedelle
tangenti,dicaratterecompletamentealgebricoechepertantononporgevailfiancoalleobiezionidi
carattere logico che si possono opporre al metodo di Fermat: tra i due matematici nacque una
controversia, in cui ognuno affermava la superiorità del suo metodo. In conclusione però Cartesio
ammisecheilmetododiFermaterapiùgeneraledelsuo,potevacioèapplicarsiamoltepiùfunzioni
conunanotevolesemplicità,mentreilsuometodo,appenasiconsideranofunzionipiùcomplesse
presentadifficoltàdicalcoloinsuperabili.IlmetododiCartesio,perquantoegliloapplicasseinun
modolievementediverso,sostanzialmentesipuòusareneiseguentiproblemi.
Problema1-Determinarelatangenteallaparaboladiequazioney=x2nelpuntoP=(a,a2).
Risoluzione-PossiamointersecarelaparabolaconlerettediunfasciopassanteperPeimporreche
larisultantepresentiunaradicedoppia.Quindiscriviamol’equazionediunarettapassanteperP:
y=a2+m(x-a).Sostituendonell’equazionedellaparabolasiottiene:x2-mx+ma-a2≡0.Imponiamouna
soluzione doppia: basta ovviamente imporre che sia nullo il discriminante: otteniamo così: Δ=(m2a)2=0sem=2a.
Quindil’equazionedellatangenterichiestaèy=a2+2a(x-a).
Problema2-Determinarelatangenteallacirconferenzadiequazionex2+y2=1nelpuntoP=( , ).
Risoluzione-SipuòintersecarelacirconferenzaconlerettediunfasciopassanteperPeimporre
che la risultante, che è un’equazione di secondo grado, dipendente da un parametro, che è il
parametro del fascio di rette, presenti una soluzione doppia: per far questo basta annullare il
determinante,ilchecomesiverificafacilmenteportaancoraaun’equazionedisecondogradonel
parametro.
Ilmetodoespostoèdisempliceenunciazione,mapresentadifficoltàdicalcolosemprepiùelevate
quandosipassaacurvepiùcomplicate.
Quartoincontro–
Sièparlatodiproblemiisoperimetrici.Nesonostatipropostialcuni.
Problema1–Unapianuraèattraversatadaunfiumerettilineo.Duevillaggi,AeB,sonosituatidalla
stessabandarispettoalfiume.Determinareilcamminopiùbrevechedevecompiereunabitantedi
AperrecarsiinBfermandosistradafacendoaprendereacquaalfiume..
Problema2–Dataunarettaeduepuntifuoridiessa,determinareilcamminodiminimalunghezza
chehaperestremiAeBeunpuntoincomuneconlaretta.
Problema3–Verificarechetratuttiitriangolichehannounabasefissaeareacostante(quindialtezza
costante)quelloisoscelehailperimetrominimo.
Problema4-Dualedi3–Dituttiitriangoliconlastessabaseeperimetrocostante,l’isoscelehaarea
massima.
Problema5-Datiduetriangoliconlastessabaseelostessoperimetro,haareamaggiorequellodei
dueilcuilatomaggiore(diversodallabase)èminore.
Siaperdimostrare4che5bastaconsiderarel’ellissechehacomefuochiduepuntiAeBtalicheil
segmentoAB,dilunghezzaasiaegualeallabasefissatadeitriangoli,eisuoipuntiPsianotaliche
PA+PB=p-a,essendopilperimetroassegnato.
Problema6-Tratuttiitriangolichehannoperimetrocostante,l’equilaterohaareamassima.
Diquestaproprietàsipossonofornirediversedimostrazioni,quinevienepropostaunadicarattere
analitico che usa il metodo dei minimi e massimi di Fermat e una di carattere sintetico, cioè
puramentegeometrico.
Dimostrazioneanalitica-Siconsideriuntriangolodidatoperimetro2p,cheperquantovistoalpunto
4sipuòsupporreisoscele.Siaxϵ 𝑝/2, 𝑝 ilsuolatoobliquo,quindilasuaaltezzarispettoallabaseè
datada 𝑥 ! − (𝑝 − 𝑥)! = 2𝑝𝑥 − 𝑝 ! econseguentementel’areaèf(x)=(p-x) 2𝑝𝑥 − 𝑝 ! .
ApplicandoilmetododiFermatsiricava:
< -./ =< -
=
/
=
>=-=/
!>-.!>/=>? =(>=-) !>-=>?
!>(>=-)
!>-.!>/=>? . !>-=>?
/
-- 2𝑝𝑥 + 2𝑝𝐸 − 𝑝 ! .
Eguagliandotaleespressionea0eponendoE=0siottiene:
p(p-x)=2px-𝑝 ! dacuiseguex=2p/3,cioèiltriangolodiperimetroppercuil’areaèmassimaèiltriangoloequilatero:
il minimo, eguale a 0, si ottiene per x=p/2 o x=p, valori che non otteniamo dall’applicazione del
metodoinquantoestremidell’intervallodivariabilitàdellax.
Problema7-Determinaretratuttiitriangolidicuiduelatiabbianodatalunghezza,quellodiarea
massima(èiltriangolorettangolodicuiilatidatisonocateti).
Problema8-Tratuttiipoligoniconlostessonumerodilatieperimetrocostante,ilregolarehaarea
massima.
Per avere un’idea della dimostrazione si consideri un poligono ABCD...e si consideri ad esempio il
triangoloABC.PerquantovistonelProblema4sipuòcostruireuntriangoloisoscelesullabaseAC,
avente lo stesso perimetro di ABC e area maggiore. Quindi dato un poligono di n lati che non sia
equilaterosenepuòsemprecostruireunoconlostessoperimetrocheabbiaareamaggiore.Lostesso
discorsosipuòfareriguardogliangoli.RiportiamoparzialmenteladimostrazionediZenodoro.Egli
dimostrainnanzituttoche:
Datiduetriangoliisoscelinonsimili,sipossonocostruiresullestessebasiduetriangolifralorosimili
inmodochelasommadeiloroperimetrisiaegualeallasommadeiperimetrideidueprimitriangolie
lasommadelleareedeitriangolisimilisiamaggioredellasommadelleareedeitriangolinonsimili.
Proviamosullabaseditaleproposizionechetratuttiipoligoniconlostessonumerodilatieperimetro
costante quello di area massima, oltre ad avere tutti i lati eguali deve avere anche tutti gli angoli
eguali. Supponiamo che il poligono equilatero ABCDE abbia area massima ed abbia l’angolo in B
maggiore dell’angolo in D. Allora BAC e DEC sono triangoli non simili. Su AC ed EC come basi si
considerinoduetriangoliisosceliFACeGECsimili,conlasommadeiloroperimetriegualeallasomma
deiperimetrideitriangoliABCeDECelasommadelleloroareemaggioredellasommadelleareedei
triangoliABCeDEC;IlpoligonoAFCGEhaalloraareamaggiore,aparitàdiperimetroedinumerodi
lati,control’ipotesi.
Problema8-Dimostrareche(𝑎 + 𝑏)! ≥4ab.Questadisuguaglianzapuòessereutileperdimostrare
chetratuttiirettangolididatoperimetroilquadratohaareamassimaeviceversafratuttiirettangoli
didataareailquadratohaperimetrominimo.
Osservarechedatounparallelogrammadidatoperimetrosipuòfacilmentecostruireunrettangolo
conlostessoperimetroeareamaggiore.Quindiilquadratohaareamassimanellaclassedituttii
parallelogrammi che hanno lo stesso perimetro e perimetro minimo nella classe di tutti i
parallelogrammichehannolastessaarea..
Problema9-Traduepoligoniregolariaventilostessoperimetro,quelloconnumerodilatimaggiore
haareamassima.
Un’ideadelladimostrazioneèlaseguente.Consideriamounpoligonodinlati,siaABCD...,siaMil
puntomediodellatoCDeconsideriamoiltriangoloBCM.Possiamocostruireuntriangoloisoscele
BFMconlostessoperimetrodiBCM,maareamaggiore.AllorailpoligonoABFMD...han+1lati,lo
stessoperimetrodelpoligonodipartenza,maareamaggiore.
Ditaleproblemasipuòfornireancheunadimostrazioneanaliticaalseguentemodo(perchiconosce
la trigonometria e il calcolo differenziale): si consideri un poligono regolare di n lati di perimetro
fissatop.L’angoloformatocongiungendoilcentrocongliestremidiunostessolatoèdatoda360/n,
>
F
illatodelpoligonoèp/nequindil’apotemaèdatada ctg .Neseguechel’areadelpoligonoè𝐴E =
>?
J
#EHI
K
!E
E
.Sipuòconstatarechesitrattadifunzionecrescentedin;infattilafunzione
F
decrescente di x per 0<x< , come si evince dallo studio della derivata:
!
L
MNO? L
HI? -
HI-=
HI-
èfunzione
<0 se sen(2x)<2x.
Questa proprietà della funzione tangente, espressa in termini puramente geometrici, era nota ad
AristarcodiSamo,adArchimedeeaZenodoro.
Conseguenzaintuita:
Siconsiderinotuttiipoligoniregolariaventilostessoperimetrop.Ilcerchiolacuicirconferenzaha
lunghezzaphaareamaggiorestrettamentediognunodiessi.
Problema10–EsamidiStato–Sessione2006-UnfilometallicodilunghezzaAvieneutilizzatoper
delimitareilperimetrodiun’aiuolarettangolare.
a) Qualeèl’aiuoladiareamassimacheèpossibiledelimitare?
Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un’aiuola quadrata e un’altra
circolare.Comesidovrebbetagliareilfiloaffinché
b) lasommadelledueareesiaminima?
c) lasommadelledueareesiamassima?
Un’aiuola,unavoltarealizzata,halaformadiunparallelepipedorettangolo;unascatola,cioè,colma
di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in
terminipercentuali,sihabisogno?
Problema 11 - Perché non si può pavimentare una stanza usando solo pentagoni regolari? Perché
volendo pavimentare una stanza con poligoni regolari si possono usare solo triangoli, quadrati o
esagoni?
E=!
Se infatti un poligono regolare ha n lati, ogni suo angolo misura 180R
. Per avere allora una
E
pavimentazioneconpoligoniregolaridinlati,gliangolidevonoesseresottomultiplidell’angologiro,
"STE
!E
!E
!E=#.#
#
cioè
=
deveessereunnumerointero.Ma
=
=2+
el’ultimonumeroè
+UT(E=!)
E=!
E=!
E=!
E=!
interosolosen-2≤4,cioèn≤6,dacuisiottienelatesicioèn=3,4,6,scartandoovviamenteilvalore
n=5.
InunbranomoltobelloesuggestivoinaperturadelLibroVdellasuaCollezionematematica,Pappo
di Alessandria (vissuto nel IV secolo d.C.) loda la sagacia delle api, che con il loro istinto creano le
cellettedeiloroalvearidiformaesagonale,poichégliesagonipermettonounricoprimentoottimale
dellasuperficiechehannoadisposizionesenzacherimanganointerstizidovepotrebbeannidarsilo
sporco, ottenendo nello stesso tempo di accumulare il maggior quantitativo di miele a parità di
contornoconlealtrefigure,quindicolminorquantitativodicera.
Problema 12 - Di tutte le curve chiuse di data lunghezza quella che racchiude l’area massima è il
cerchio.Unadimostrazionesibasasullaformula:4πA≤ 𝑝 ! ,validaperognicurvadiperimetrop,A
essendo l’area racchiusa dalla curva. Se infatti si pone nella formula p=2πr, allora si deduce che il
massimovalorediApercuitalerelazionesussisteèA=𝜋𝑟 ! ,cioèlacurvacheracchiudelamassima
areaèlacirconferenza.
Alcuneconsiderazionidicaratterestoricosuiproblemiisoperimetrici
RaccontaEnea,nelprimolibrodell’Eneide,cheDidone,perseguitatadalfratelloPigmalione,redella
feniciaTiro,decisediabbandonarelapatriaeradunataunaflotta,eunagranquantitàdiuominialei
fedeliedibeni,giunsenellaterradell’attualeTunisia.Contrattòconilredelluogo,Iarba,ottenendo
tantosuoloquantopotessecingereconunapelledibue.Sembravaunoscherno,eppurel’accorta
regina,riuscìadotteneredellestriscesottilissimeconcui,dopoaverlelegatel’unaall’altra,recintò
unampiospaziosemicircolaredavantialmare,fondandolacittàdiCartagine.Sembraquindiche,pur
non avendo nozioni di matematica, con il suo intuito Didone capì che l’area maggiore che poteva
cingereconlestrisceeraun’areasemicircolare.
Ebbene però da altre fonti sembra che considerazioni tanto sagge non fossero molto diffuse
nell’antichità.ApprendiamodallenotediProclosuEuclidechequeiteoremicheprovavanochedue
triangoliodueparallelogrammiaventilastessabaseecompresitralestesseretteparallelehannola
stessaareasembravanoparadossaliallepersonecomunidell’antichitàperchésenededucevachesi
potevaingrandireadismisurailperimetrodiuntriangoloodiunparallelogrammasenzaalterarne
l’area. Così erano possibili molti fraintendimenti errori e ...inganni. Racconta Proclo che alcuni
geometri ricavavano informazioni circa la grandezza delle città dai loro perimetri. Egli cita anche
membridisocietàcomunitariedeisuoitempicheimbrogliavanoiloroseguacidandolorounaterra
di perimetro maggiore ma di area inferiore a quella che essi prendevano per sé, così che mentre
acquistavanogranreputazioneperlaloroonestà,difattoprendevanomoltapiùterradellaquotache
lorospettava.Cisonoaltretestimonianzedierroridovutiatalefraintendimento.Tuciditestimala
grandezzadellaSiciliadaltempoimpiegatopercircumnavigarla.Circanel130a.C.Polibioosservache
c’erano persone che non riuscivano a capire che campi con lo stesso perimetro potevano avere
diverse grandezze. Plinio dal canto suo confrontava la grandezza di diverse parti della terra
aggiungendoallalorolunghezzalalorolarghezza.
Sebbene alcuni matematici avessero osservato l’erroneità di tali ragionamenti, il primo che se ne
occupòinmodosistematicofuZenodoro,matematicogrecodicuinonsonopervenutenotizie.Pare
sia vissuto nella seconda metà del secondo secolo a.C.. Egli scrisse un trattato, Sulle figure
isoperimetriche,chenoncièpervenuto.Peròalcunesueproposizionisonostatepreservatedall’oblio
grazieauncommentariodiTeonediAlessandriasulLibroIdell’AlmagestodiTolomeo,delIVsecolo
d.C...EssefuronoseguitemoltodavicinodaPappo,all’iniziodelLibroVdellaCollezionematematica
(IVsecolod.C.),dovetrattalaquestioneaggiungendocommentieintegrazioni.
L’interesseperiproblemiisoperimetricidopoPapposembrascomparireeritroviamoconsiderazioni
informapiùmodernasolonel1600,dapartediFermate,versolafinedelSeicento,dapartedei
fratelliBernoulli,incontemporaneaconlanascitadelcalcolodellevariazioni.
Solonel1838ilmatematicosvizzeroJacobSteiner(1796-1863)risolseilproblemaisoperimetricoin
generaleconsvariatimetodigeometricitracuiunprocessochiamatosimmetrizzazionediSteiner.
Essosibasasulleseguenticonsiderazioni.
a)Dataunafiguraconcavasipuòconsiderare,medianteopportuniribaltamenti,unafiguraconvessa
cheabbialostessoperimetroeareamaggiore.Quindi,assegnatoilperimetrop,fratuttelefigure
aventiquelperimetroquelladiareamassimaèconvessa.
b)Assegnataunaqualunquefiguraconvessa(concontornorettificabile)esisteunafiguraconvessa
aventelostessoperimetroeareamaggiore(oeguale)chesiasimmetricarispettoadunopportuno
asse.
E’allorapossibiledareunadimostrazionedellaproprietàisoperimetricadelcerchiodimostrandoche
tra tutte le curve di data lunghezza aventi gli estremi su una retta la semicirconferenza racchiude
l’areamassima.
ConsideriamoinfattiunacurvaAPB,didatalunghezzap,conisuoiestremisuunarettar.Fissatoad
arbitriounpuntoPsudiessa,tenendofissalalunghezzadeisegmentiAPePBetuttalazonadipiano
racchiusafraognunodiessielacurva,spostiamorigidamenteP,ediconseguenzaipuntiAeBsur
finoachel’angoloAPBsiaretto.DiciamoA’,P’,B’leposizionifinalideitrepuntiA,P,B.Allorala
regione compresa tra la curva A’P’B’ e r ha area maggiore della regione compresa tra APB e r, in
quantol’unicavariazioneinterminidiareal’hasubitailtriangolo,che,inquantorettangolo,haarea
maggiore dell’iniziale triangolo APB (vedi Problema 7), mentre le regioni comprese tra la curva di
partenzaeiduesegmentiAPePBsonostatisoltantoruotatietrascinatisur;inoltre,pertalemotivo,
lalunghezzadellacurvaA’P’B’èessapurerimastainvariata,egualeap.Neseguechelacurvadi
lunghezzapchehaisuoiestremisureracchiudelamassimaareadevegoderedellaproprietàche
da ogni suo punto il segmento AB deve essere visto sotto un angolo di 90R . Tale curva è la
semicirconferenza.
Nelprecedentediscorsosiipotizzal’esistenzadiunacurvacheracchiudal’areamassima.Apiùriprese
IlmatematicotedescoDirichlettentòdiconvincereSteinerchelesuedimostrazioni,comequelledi
Zenodoro,eranoincompletepertalemotivo.Allafine,nel1842Steinerscriveva:“Eladimostrazione
siottienefacilmentesesiassumecheesistaunafiguramassima”.
Weierstrass, nelle lezioni a Berlino degli anni ’70 diede la prima dimostrazione completa del
problema,basatasulcalcolodellevariazioni.Solonel1909ConstantinCharatheodory(1873-1950)in
unlavoroconE.Study,diedeformarigorosaalladimostrazionediSteiner,senzafarusodelcalcolo
dellevariazioni.
Bibliografia
Heath,Thomas,AHistoryofGreekMathematics,Doverpublications,1921-1981
Kline,Morris,Storiadelpensieromatematico,Vol.IeII,Einaudi,1996
Virgilio,PublioMarone,Eneide,LibroI,343-368
SonoinoltreconsultabilisuInternetdiversiinterventialriguardo,tracuisisegnalano:
GianPaoloLeonardi,IlmisteroisoperimetricodiZenodoro;
Lasferaelesuperficiminime.Capireilmondoattraversounabolla.