Un`applicazione del gruppo fondamentale

Un’applicazione del gruppo fondamentale
Vogliamo qui presentare un’interessante (almeno a nostro parere) applicazione del gruppo fondamentale, risolvendo un problema che è risultato
inattaccabile senza l’utilizzo della topologia algebrica.
Consideriamo n chiodi piantati in un muro (possiamo supporli tutti l’uno
a fianco all’altro, in orizzontale, ma non è significativo) e un quadro, di quelli
che si appendono con uno spago, come in figura (lo so, le figure non sono
proprio bellissime...):
Come si vede in questo caso si ha n = 3, e il quadro, se lo spago è messo
cosı̀, rimane appeso. Si vede facilmente che, se si toglie uno qualsiasi dei
chiodi, il quadro resta ancora appeso (in realtà anche se se ne tolgono due
qualsiasi). Il problema di cui vogliamo parlare chiede questo: dati n chiodi
trovare un modo di avvolgere attorno a loro lo spago in modo che il quadro
sia effettivamente appeso, ma tale che togliendo un chiodo qualsiasi il quadro
cada.
Per semplicità partiamo dal caso n = 2. Consideriamo ovviamente lo
spago ideale, quindi scorre senza attrito ed è privo di spessore, inoltre ovviamente il filo sarà avvolto in modo da ripassare più volte sopra lo stesso
punto (altrimenti il problema non è risolubile). Nel caso n = 2 il problema
non è particolarmente difficile, anche se bisogna pensarci un po’, comunque
si arriva alla seguente soluzione (se avete voglia cercatela da soli, è divertente!), ovviamente ne esistono altre, ma questa (o sue ovvie varianti) è la più
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semplice, come sarà evidente più avanti, e quella a cui di solito si arriva per
prima:
Quindi almeno nel caso più semplice il problema è risolto. Se ora poniamo n = 3 e proviamo come prima, cioè senza particolari strumenti, il
problema diventa (almeno per noi) inattacabile. Come possiamo fare? Innanzi tutto per semplicità facciamo collassare a un punto solo i due punti
in cui lo spago si attacca al quadro (per la stabilità del quadro questo ovviamente non fa nessuna differenza) e chiamiamo P questo punto. Lo spago
dovrà fare un certo numero di giri intorno al primo chiodo, poi un po’ intorno ad un altro chiodo eccetera... se lo spago fa un giro intorno al chiodo
1, possiamo dire che questo è un laccio con punto base P ? In effetti nell’immagine mentale che probabilmente vi state facendo, lo spago, dopo aver
girato attorno al primo chiodo, non torna in P , ma se immaginiamo che
in P lo spago possa scorrere liberamente ecco che non fa alcuna differenza
se esso ci ritorna dopo ogni giro o se ci torna solo alla fine (cioè il quadro
cade in un caso se e solo se cade nell’altro caso). Per esempio nella seconda
figura, partiamo dall’estremo attaccato al quadro a sinistra (immaginiamo
che alla fine lo spago torni li invece che nell’altro punto, a destra); lo spago
fa un giro intorno al chiodo di destra e poi intorno a quello di sinistra, senza
ripassare per il punto iniziale. Se invece dopo il giro intorno al chiodo di
destra fosse tornato al punto iniziale e poi fosse partito per il giro intorno
al chiodo di sinistra sarebbe cambiato qualcosa? Ovviamente no, purché
nel punto iniziale lo spago sia completamente libero di scorrere, e quindi
togliendo il chiodo di destra il primo giro fatto sparisce del tutto.
Quindi in definitiva quello che dobbiamo trovare non è altro che un laccio
(che sarà composizione di lacci successivi) tale che il quadro non cada, ma
togliendo un chiodo qualsiasi il quadro cada. Cosa vuol dire che il quadro
non cade? Semplicemente che il laccio in questione non è equivalente al
laccio banale... e a questo punto il problema geometrico è praticamente
risolto! Infatti i lacci possono andare dove vogliono nel piano, tranne che
in n chiodi... quindi il loro insieme non è altro che il gruppo fondamentale
del piano meno n punti, che sappiamo essere Fn , il gruppo libero su n
2
generatori. Quali sono questi generatori? Ovviamente sono i lacci che non
fanno altro che un giro intorno a un certo chiodo (in un certo verso fissato).
Cosa significa allora togliere un chiodo? Semplicemente porre un generatore
uguale all’identità! Quindi trovare la soluzione del problema equivale a
trovare una parola P in Fn diversa da 1 ma tale che se si pone in P un
qualsiasi generatore uguale all’unità essa pure diventa l’unità.
Per esempio, se n = 2, detti a e b i generatori di F2 , la parola:
ba−1 b−1 a
soddisfa le nostre richieste. Notate che se nella seconda figura chiamate
a il laccio che gira, in senso antiorario, intorno al chiodo di sinistra e b
quello che gira, sempre in senso antiorario, attorno al chiodo di destra,
trovate esattamente la parola di cui sopra. È ovvio allora che se n = 2 la
soluzione più semplice è costituita da almeno 4 giri. In generale il problema
è lievente più difficile, infatti se n = 3 non si riesce a trovare ”a occhio” una
parola che funzioni, tuttavia pensandoci un po’ noi siamo giunti a questa
formula, ricorsiva: se P funziona per n chiodi, detti ai i generatori, si ha
−1 funziona, infatti se si cancella un generatore fra i primi
che an+1 Pa−1
n+1 P
−1
n, P e P spariscono (perché funzionavano per n chiodi) e an+1 si cancella
−1 che si cancellano
con a−1
n+1 ; se invece si cancella an+1 rimangono P e P
a vicenda (ovviamente cancellando an+1 si deve cancellare anche a−1
n+1 ). Si
noti che già con n = 3 la parola diventa piuttosto lunga, e quindi molto
difficile da indovinare a tentativi. Forse esistono soluzioni più semplici, non
ci siamo soffermati molto su questo aspetto. Se lo trovate interessante potete
verificare che ciò qua detto funziona usando spago e chiodi, noi l’abbiamo
fatto, con n = 3 ed effettivamente abbiamo ottenuto quello che volevamo.
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