V. Barboni, M. Rosati: La geometria delle bolle di sapone

Una molecola di un liquido attira le molecole che la circondano e
a sua volta è attratta da esse. Per le molecole che si trovano
all'interno del liquido, la risultante di queste forze è nulla.
Quando invece queste molecole si trovano sulla superficie,
vengono attratte dalle molecole sottostanti e da quelle laterali, ma
non verso l'esterno. La risultante delle forze che agiscono sulle
molecole di superficie è quindi una forza diretta verso l'interno
del liquido. A sua volta, la forza di coesione fra le molecole
fornisce una forza tangenziale alla superficie.
La superficie di un liquido si comporta dunque come una
membrana elastica che avvolge e comprime il liquido sottostante.
dE=F dl=σ dS
dS=AB dl ⇒ F dl = σ AB dl,
si deduce quindi che:
F

AB
con σ tensione superficiale che dipende dalla
temperatura e dalla composizione del liquido.
Le molecole tensioattive possiedono una testa idrofila e una
coda idrofoba. In acqua tendono a raccogliersi in superficie
con le code rivolte verso l’esterno e al suo interno in forma di
micelle e membrane, collegate tramite le code idrofobe.
Poiché la coesione di queste molecole è inferiore a quella delle
molecole d’acqua, la tensione superficiale viene indebolita.
I tensioattivi abbassano la tensione superficiale di un
liquido: la tensione superficiale dell'acqua saponata è circa
un terzo di quella dell’acqua pura, quindi le molecole sono
meno sollecitate e le bolle possono durare più a lungo.
Se non ci fossero i tensioattivi le forze che si esercitano tra
le molecole sarebbero così intense da non permettere la
formazione della lamina di liquido.
Una bolla, o una lamina di sapone, è formata da una
sottile pellicola di acqua saponata intrappolata tra due
strati di detergente.
Gli strati di molecole tensioattive sono molto elastici e
sopportano elevate deformazioni senza rompersi,
prolungando così la vita delle lamine e delle bolle.
dE=F dl=σ dS
dS=AB dl ⇒ F dl = σ AB dl,
si deduce quindi che:
F

AB
con σ tensione superficiale che dipende dalla
temperatura e dalla composizione del liquido.
L’energia totale di un liquido in equilibrio, in cui si può
trascurare l’effetto della gravità, è data da:
S
U   dS  S
0
Possiamo dedurre che la configurazione di equilibrio,
che corrisponde alla minima energia, è quella che
minimizza l’area della superficie.
La tendenza dei liquidi a contrarre la loro
superficie è una manifestazione della
tendenza di ogni sistema a portarsi nello
stato di minima energia.
Qual è la figura geometrica del piano che,
a parità di perimetro, ha area maggiore?
“Didone, esule da Tiro, peregrinò con il suo seguito di sudditi, fino a che non
approdò sulle coste libiche...la bella regina senza trono doveva quindi trovare un
modo per stanziarsi in quelle terre, e fu così che si rivolse a Iarba, re del luogo.
Quest’ ultimo le promise tanta terra quanta ne potesse contenere una pelle di bue.
Didone non si lasciò sfuggire l’occasione, tagliò la pelle in striscie sottili, le
annodò fra di loro ottenendone un lungo filo che dispose in modo tale da
recintare la massima estensione di terra, la quale comprendesse anche la costa ...
Fu così che delimitò quello che sarebbe poi diventato il territorio di Cartagine.”
o Il poligono deve essere convesso
o Il poligono deve essere equilatero
o Il poligono deve essere equiangolo
Possiamo concludere che tra tutti i poligoni
di n lati aventi lo stesso perimetro,quello di
area massima é l'n-gono regolare
Se il poligono è concavo, possiamo trasformarlo in uno
convesso con area maggiore
LEMMA
Tra tutti i triangoli con base e perimetro fissati,
quello di area massima è il triangolo isoscele.
TEOREMA
Fra tutti i poligoni, con perimetro fissato, quello di area
massima ha tutti i lati congruenti.
DIM.
Supponiamo per assurdo che esista un
poligono di area massima che non
abbia tutti i lati congruenti.
Consideriamo i lati DC e CB di diversa
lunghezza. Possiamo immaginare che
il vertice C si muova su di una ellisse
avente i fuochi nei punti B e D.
In questo modo, sfruttando il lemma
precedente, si ottiene un poligono di
area maggiore.
Si giunge così un assurdo.
LEMMA
Tra tutti i quadrilateri ABCD aventi AB = a e BC = CD =
DA = b (con a < 3b), quello di area massima e il
trapezio isoscele.
TEOREMA
Fra tutti i poligoni equilateri, con perimetro fissato,
quello di area massima ha tutti gli angoli congruenti
DIM.
Supponiamo per assurdo che esista un poligono
equilatero di area massima, che non abbia tutti
gli angoli congruenti.
Consideriamo il quadrilatero ABDC con
angoli differenti e tracciamo le circonferenze
centrate nei vertici A e D con raggio pari
al lato del poligono.
Possiamo immaginare che i vertice C e B si
muovano su queste circonferenze fino a che il
lato CB formi con i lati obliqui due angoli
congruenti.
In questo modo, si ottiene un trapezio isoscele
che, per il lemma precedente, ha area maggiore del
quadrilatero ABCD.
Abbiamo quindi costruito un poligono di area
maggiore giungendo così ad un assurdo.
y decresce per n≥3
lim
y(n)
=
π
n->∞
m > n => A(Pn)>A(Pm)
lim
A(P
)
=
π
n
n->∞
2
r =Ac
Con le lamine saponate si ottiene una
bellissima verifca sperimentale della
proprietà isoperimetrica del cerchio
La tensione superficiale tende il filo in
modo tale che la lamina saponata occupi la
minor superficie possibile.
“…se immergiamo un telaio metallico in
acqua saponata, estraendolo vengono a
crearsi, come d’incanto, le superfici
migliori possibili per il principio di
minima energia che la natura sceglie
sempre1.”
1M.Emmer,
Bolle di sapone. Tra arte e matematica, Bollati
Boringhieri, 2009, Torimo
Determinare il percorso avente lunghezza totale
minima fra quelli che congiungono un certo
numero di punti assegnati sul piano
Banalmente la soluzione è data
dal segmento che li congiunge.
Lunghezza = 3 x 1 = 3 cm
Lunghezza = 1+(√3/2) ≃ 1,87 cm
Lunghezza = (1/√3) x 3 ≃ 1,73 cm
Percorso di lunghezza minima
Sperimentalmente si ottiene il percorso di
lunghezza minima.
Gli angoli formati dalle lamine sono congruenti
e misurano 120°
Si può dimostrare che il cammino di
minima lunghezza che congiunge
tre punti nel piano è formato da tre
segmenti che si intersecano a 120°
in un punto interno al triangolo,
chiamato punto di Steiner.
Se il triangolo ha un angolo
interno ≥ 120°, la soluzione del
problema di Steiner è data dai
due lati adiacenti a quest’angolo
Una proprietà generale delle soluzioni del
problema di Steiner, per n punti nel piano, è
che esse consistono di segmenti che formano
un numero di intersezioni ≤ n-2. Tali
intersezioni sono dette punti di Steiner.
In tali punti si incontrano tre segmenti, salvo
nei casi degeneri, che formano angoli di 120°.
Lunghezza: 2,73 cm
n-2 = 4-2 = 2
punti di Steiner
n-2=5-2=3
punti di Steiner
n-2=6-2=4
punti di Steiner
Lunghezza = 5,292 cm
Configurazioni di
minimo relativo
Lunghezza = 5,196 cm
Lunghezza = 5 cm
Poiché gli angoli interni dell’esagono
regolare misurano 120°, i punti di Steiner
coincidono con i vertici stessi.
Se consideriamo gli n punti posti nei vertici
di un poligono regolare, le configurazioni di
lunghezza minima sono date dai lati del
poligono meno uno. Questo accade perché
gli angoli interni di un poligono di n lati,
con n>6, sono maggiori di 120°.
Intorno alla metà del XIX secolo il fisico belga Joseph Plateau
(1801 - 1883) inizia a studiare le lamine saponate per risolvere
il problema variazionale che porta oggi il suo nome:
Trovare la superficie (o il sistema di superfici) di area minima
delimitata nello spazio da un contorno chiuso assegnato.
L'intersezione fra le lamine di sapone avviene secondo
precise regole geometriche.
Prima legge di Plateau
Le lamine si incontrano a gruppi di tre lungo una curva
formando a due a due angoli di 120°. La curve di
intersezione delle lamine sono dette spigoli liquidi.
Seconda legge di Plateau
Gli spigoli liquidi si incontrano a gruppi di quattro
formando a due a due un angolo di 109°28’16’’.
Sei lamine congruenti, a forma
di triangolo isoscele, che si
incontrano in un vertice
centrale. Lungo ogni spigolo
liquido si incontrano 3 lamine
saponate. Gli spigoli liquidi
sono 4 e si incontrano nel
punto centrale.
Tredici lamine (8 trapezoidali,
una quadrata e 4 triangolari) si
incontrano a gruppi di 3 lungo
12 spigoli liquidi.
La lamina quadrata centrale è
sempre disposta
parallelamente a due facce
opposte del telaio.
Telaio: due circonferenze di raggio r0.
Si immergono i due dischi parallelamente in
acqua saponata ad una distanza d:
• se d < 1,056 r0 si formano due lamine che si
uniscono al centro con un disco parallelo alle
due circonferenze. Bucando il disco centrale si
produce una superficie di area minima che
corrisponde ad un minimo assoluto
dell'energia: la catenoide.
• Se d > 1,325 r0 si formano due lamine piane
staccate, limitate dagli anelli del contorno.
Anche in questo caso il sistema di superfici
laminari è un minimo assoluto.
• Se 1,056 r0 <d < 1,325 r0 la catenoide è un
minimo locale e può essere soffiata nei due
dischi.
Telaio: si torce una circonferenza di 180° e
poi si ripiega. Immergendo il telaio in acqua
saponata si forma un sistema di tre lamine di
cui quella centrale è un disco. Bucando
quest'ultima lamina si ottiene una superficie
minima ad una sola faccia: il nastro di
Moebius
A partire dal nastro di Moebius allarghiamo
il telaio allontanando le due circonferenze
parallele. In questo modo la lamina salta in
una nuova configurazione topologicamente
diversa dal nastro di Moebius: essa risolve il
problema di Plateau con il medesimo
contorno ma per superfici a due facce.
Se consideriamo un telaio a forma di tetraedro
regolare privo di due spigoli non consecutivi,
la superficie laminare che ne risulta è una
sella tetraedrica.
Il problema di Plateau per questo contorno è
stato studiato nel 1865 dal matematico
tedesco Karl Schwarz (1843 - 1921). Per questo
motivo la sella è detta superficie di Schwarz.
A partire da un telaio a forma di cubo ed
eliminando dalle basi due coppie di lati
opposti, si ottiene una sella cubica. Essa è
l'elemento base di una superficie periodica
detta prima superficie di Scherk dal nome del
matematico tedesco H.F.Scherk (1798 - 1885)
che l'ha studiata nel 1834.
La curvatura ci dà informazioni su quanto
sia “incurvata” una curva o una superficie
attorno ad un punto
La curvatura di una retta è zero
La curvatura di una circonferenza è data dall'inverso del suo
raggio 1/r ed è quindi uguale in tutti i punti.
Una generica curva piana può essere più incurvata in alcuni
punti e meno in altri. Quindi, a differenza della circonferenza,
la curvatura è diversa in ogni punto.
Consideriamo un punto P su di una curva piana C.
Se r è il raggio della circonferenza che
approssima meglio la curva nel punto P,
allora denfiamo la curvatura Kp come
Kp = 1/r. Al valore così definito si associa
un segno positivo o negativo a seconda
della concavità della curva.
Sia P un punto di una superficie S e n il versore perpendicolare al
piano tangente ad S in P. Consideriamo i piani passanti per P e
che contengono il versore n. L'intersezione di uno di questi con la
superficie è una curva piana, detta sezione normale, di cui
sappiamo calcolare la curvatura nel punto P.
Al variare dei piani si ottengono
sezioni normali differenti,
ciascuna con una propria
curvatura nel punto P.
Le curvature maggiore e minore
si chiamano curvature principali
e si indicano rispettivamente
con K1 e K2. Utilizzando questi due valori estremali
possiamo associare ad ogni punto P di S la curvatura
media H denfita come:
L'equazione di Laplace-Young lega la differenza di
pressione P, presente sulla superficie di separazione di
due fluidi, alla forma della superficie:
 K1  K 2 
P    H   

 2 
Con γ la tensione superficiale della lamina saponata.
I diversi sistemi di lamine, ottenuti dai contorni
metallici, costituiscono delle superfici liquide su cui
l'aria circostante esercita una pressione.
La pressione esercitata dall’aria ai due lati di una
lamina è la stessa, quindi ΔP=0 da cui segue che H=0.
Possiamo concludere che le superfici che soddisfano il
problema di Plateau hanno curvatura media nulla in
ogni punto.
In matematica le superfici con H=0 sono dette
minime. Notiamo che non tutte le superfici minime
soddisfano il problema di Plateau per un dato
contorno, ma tutte le superfici che si ottengono come
soluzione del problema di Plateau sono minime.
[1] M.Cazzanelli, K.Soraruf, I.Tamanini, Matematica e bolle di sapone, un viaggio
alla scoperta di strutture geometriche e principi variazionali. Fascicolo del
Laboratorio di Ricerca sui Materiali e i Metodi per la Didattica e la Divulgazione
della Matematica, Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Trento,
2001.
[2] Katuscia Soraruf, Tesi di laurea in matematica: Bolle di sapone: esperimenti
e considerazioni. Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Trento,
anno accademico 1997-1998.
[3] Flavia Dirupo, Tesi di laurea in matematica: Matematica trasparente… come
bolle di sapone: un percorso didattico-sperimentale per le scuole secondarie di
primo grado. Dipartimento di Matematica, Università degli studi di Trento, anno
accademico 2004-2005.
[4] Sisto Baldo, Superfici minime e lamine di sapone. Università degli studi di
Verona, anno accademico 2012/2013.
http://profs.sci.univr.it/~baldo/PLS/Superfici_minime/Superfici_minime_2013.p
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