Il Termostato da forno - NonSoloFisica.altervista.org
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Il termometro da forno Alessandro Veca IIIH 2015-16 Un termometro da forno è costituito da una lamina bimetallica Fe-Cu avvolta a spirale. Al suo estremo libero, perpendicolarmente alla lamina, è applicato un indice, lungo 4,7 cm, come mostra il disegno. L’indice, che si può spostare lungo un quadrante fisso su cui è disegnata una scala circolare che fornisce il valore della temperatura, percorre un arco di 5,5 cm. A forno spento, alla temperatura di 23°C, le due lamine hanno uguale lunghezza di 23,0 cm. La temperatura massima raggiunta dal forno è 250°C. La spirale è avvolta in senso orario e si vuole che l’indice ruoti in senso orario al crescere della temperatura. Qual è la differenza di allungamento massimo dei due metalli? Occorre porre all’esterno della spirale il ferro o il rame? Di quanti gradi ruoterà al massimo l’indice? DATI L indice=4,7 cm ∆l scala graduata= 5,5 cm Ti= 23°C Tf= 250°C lFe=lCu= 23,0 cm RICHIESTE ∆(∆l)=? Quale tra ferro e rame va posto all’esterno? ° rotazione indice =? SVOLGIMENTO Osserviamo innanzitutto che, per rispondere alla prima richiesta, è necessario conoscere alcuni dati impliciti, ovvero il coefficiente di dilatazione lineare (in quanto le due lamine di ferro e rame sono così sottili da poter essere schematizzate in due linee, quindi monodimensionali) dei due materiali. λFe = 12 ∗ 10 λCu = 17 ∗ 10 Adesso ci è possibile calcolare quanto le due lamine si dilatano al variare della temperatura ∆T mediante la formula: ∆l = li ∗ λ ∗ ∆T ∆T= Tf-Ti= (250-23)°C=227°C ∆lFe = lFe ∗ λ ∗ ∆T = 23,0cm ∗ 12 ∗ 10 = 0,062 = 6,2 ∗ 10 ∗ 227° ∆lCu = lCu ∗ λ ∗ ∆T = 23,0cm ∗ 17 ∗ 10 = 0,088 = 8,8 ∗ 10 ∗ 227° La differenza di allungamento tra le due lamine sarà uguale a: ∆all = ∆lCu − ∆lFe = "0,088 − 0,062# 2,6 ∗ 10 = 0,026 = Per rispondere alla seconda domanda ci è opportuno schematizzare la forma delle lamine in quella di due circonferenze concentriche, come in figura. Osserviamo che, prendendo in considerazione i due archi evidenziati in rosso e verde, rappresentanti la dilatazione subita dalle due lamine, entrambi, affinchè l’indice si mantenga perpendicolare alle lamine, devono essere della stessa ampiezza in gradi. Ma allora, essendo vero quanto detto, giacchè l’arco più esterno apparterrà ad una circonferenza di raggio maggiore a quella interna, allora anche l’arco della circonferenza esterna sarà di lunghezza maggiore di quello della circonferenza interna, in formule: $% > $'; )% = * ∗ $%; )' = * ∗ $' => )% > )' Se l’arco esterno è maggiore in lunghezza di quello interno, allora deve essersi la lamina esterna si è dilatata di più di quella interna, e questo è vero se il rame (Cu), che si è allungato maggiormente per via del suo coefficiente di dilatazione lineare λ maggiore , è posto all’esterno. La risposta alla domanda 3 si ottiene attraverso alcuni calcoli prettamente geometrici: il nostro obbiettivo è calcolare il diametro della circonferenza immaginaria su cui l’indice ruota al variare della temperatura. Per ottenerlo dobbiamo calcolare innanzitutto il raggio, dato dalla somma della lunghezza dell’indice 4,7 cm, più il segmento “x”, come mostrato in figura. Sfruttando la similitudine presente tra raggi di circonferenze concentriche (in rosso) e archi di uguale ampiezza (in verde), otteniamo la formula: +: 0,088 = "+ + 4,7#: 5,5 In cui il primo ed il terzo termine rappresentano le misure dei raggi, mentre secondo e quarto sono le misure degli archi delle due circonferenze; a sx vi sono le misure relative alla circonferenza interna, a dx quelle della circonferenza esterna. Dalla formula otteniamo x=0,076 Sommando il segmento “x” alla misura dell’indice otteniamo dunque il valore del raggio che cercavamo: + + 0'12' % = "0,076 + 4,7# = 4,776 Ottenuto il raggio, ricaviamo la misura della circonferenza mediante la formula = 2$3 = 2 ∗ 4,776 ∗ 3,14 = 30 Una volta nota la misura dell’arco esterno (5,5 cm) e della circonferenza (30 cm), mediante la seguente proporzione possiamo ottenere la massima ampiezza in gradi dell’angolo formato dall’indice rispetto alla sua posizione iniziale. 5,5: 30 = 4: 360 Da cui ricaviamo α=67°C, dove “α” è l’ampiezza in gradi cercata. Abbiamo così terminato la risoluzione del problema. Alessandro Veca IIIH 2015-16 Liceo Scientifico Statale G. Galilei, Palermo