esercizi statistica

IMPRESA
ADDETTI
1
4
Media
24,33
IMPRESA
ADDETTI
Media
24,33
3
8
totale
292
1
28
Media
24,33
IMPRESA
ADDETTI
2
7
2
18
4
8
5
11
6
15
7
22
varianza
374,9
3
23
totale
292
4
22
5
19
8
30
9
31
10
40
Dev. St.
19,36
6
20
7
24
varianza
21,89
8
22
9
25
11
44
12
72
Coeff vari
0,796
10
26
Dev. St.
4,679
11
35
12
30
Coeff vari
0,192
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
292
totale
292
varianza
6513
Dev. St.
80,7
Coeff vari
3,317
ESERCIZIO_12
Si riporta di seguito la distribuzione di 200 aziende secondo il numero di
addetti:
Numero di addetti
ni
0 ┤10
10 ┤20
20 ┤50
50 ┤100
100 ┤150
Tot
50
60
45
30
15
200
E’ disponibile il numero totale di addetti delle 200 aziende, pari a 7.000.
a) Calcolare la dimensione media per azienda (numero di addetti).
b) Individuare la dimensione massima del 50% delle aziende con
dimensione più piccola.
c) Qual è la classe di dimensione più frequente? Commentare il risultato.
d) Qual è il numero totale di addetti per le aziende con al più 20 addetti?
e) Supponendo che nelle stesse aziende si abbia un fatturato medio pari
a 500 mila euro e uno scarto quadratico medio (del fatturato) pari a 750
mila euro, confrontare la variabilità del fatturato con quella del numero
di addetti.
SOLUZIONE_12
a)
Numero di
addetti
0 ┤10
10 ┤20
20 ┤50
50 ┤100
100 ┤150
Tot
ni
50
60
45
30
15
200
xi
5
15
35
75
125
xini
250
900
1575
2250
1875
6850
ampiezza
classe
10
10
30
50
50
fi
0,250
0,300
0,225
0,150
0,075
1
Fi
0,250
0,550
0,775
0,925
1,
hi
5,0
6,0
1,5
0,6
0,3
2
xi ni
1250
13500
55125
168750
234375
473000
In questo caso si dispone della distribuzione degli addetti in classi, quindi
risulta possibile calcolare la media aritmetica in modo approssimato
(attraverso il valore centrale della classe):
x=
6850
= 34 ,25
200
Essendo però noto il numero esatto di addetti totale per le 200 aziende,
è possibile calcolare la media aritmetica esatta:
x =
7000
= 35
200
b) Ricordiamo che la mediana è la modalità del carattere che divide in
due parti di numerosità uguale il collettivo, tale che il 50% dei casi
assume una modalità del carattere inferiore o al più uguale a quello
mediano:
 0 ,5 − 0 ,25 
x me = 10 + 
 * 10 = 18,3
0
,
30


quindi nel 50% dei casi ciascuna impresa ha al massimo 18 addetti.
c) Questa è una distribuzione in classi di diversa ampiezza, quindi la
moda (la modalità più frequente) viene valutata sulla base della densità
di frequenza hi, ottenuta come rapporto tra la frequenza della classe e
l’ampiezza della classe medesima.
Tenendo conto di ciò la classe modale è quella 10 ┤20, corrispondente alla
densità di frequenza più elevata. In questo caso è anche la classe con
frequenza assoluta più elevata.
d) Si noti che l’estremo superiore della seconda classe è pari a 20. Il
numero totale di addetti delle aziende che hanno al più (massimo) 20
addetti può essere calcolato approssimativamente tramite il valore
centrale xi delle prime due classi:
5*50+15*60=1150
e) Il confronto della variabilità di diversi caratteri riferiti allo stesso
collettivo deve essere effettuato attraverso un opportuno indice di
variabilità che non risenta del livello medio del carattere, il coefficiente di
variazione. Per il fatturato:
CV =
per il numero di addetti
σ
= 750 / 500 = 1,5
x
m
∑ xi ni
σ 2 = i =1
CV =
2
n
− x 2 = 2365− ( 34,25 )2 = 1191,94
σ
= 34,52 / 34,25 = 1,008
x
da cui possiamo dire che c’è più variabilità tra le aziende per quanto
riguarda il fatturato piuttosto che per il numero di addetti.
ESERCIZIO_17
Nell’archivio di una grande azienda sono raccolte informazioni relative
alla retribuzione mensile ed al titolo di studio di ognuno dei dipendenti,
riassunte nella seguente tabella:
Retribuzione €
0 ┤ 1000
1000 ┤1500
1500 ┤2000
2000 ┤2800
Tot
Istr.Elementare
52
22
20
11
105
Istr.Media
25
57
33
15
130
Diploma
21
47
60
28
156
Laurea
10
14
35
49
108
Tot
108
140
148
103
499
a) Tra i diplomati, qual è la percentuale di dipendenti la cui retribuzione
è inferiore o uguale a 1500 €?
b) Tra i dipendenti che hanno una retribuzione superiore a 1500 €, qual
è la percentuale di laureati?
c) Quanti laureati ci sono per ogni diplomato?
d) In quale gruppo secondo il titolo di studio esiste maggiore variabilità
delle retribuzioni?
e) Con riferimento a coloro che hanno un titolo di studio inferiore al
diploma: Qual è la retribuzione media? Calcolare una misura relativa di
variabilità della retribuzione e commentare. Individuare il valore della
retribuzione rispetto al quale il 50% dei dipendenti presenta retribuzioni
inferiori.
a) Al fine di calcolare la percentuale di dipendenti la cui retribuzione è
inferiore o uguale a 1500 € tra i diplomati è necessario, innanzitutto,
selezionare la distribuzione dei diplomati:
Retribuzione €
0 ┤ 1000
1000 ┤1500
1500 ┤2000
2000 ┤2800
Tot
Diploma
21
47
60
28
156
da cui si deduce che il numero di unità con retribuzione inferiore a 1500
€ è pari a 21+47=68. La percentuale cercata sarà quindi pari a
(68/156)*100=43,6%.
b) Per ottenere la distribuzione dei dipendenti che hanno una
retribuzione superiore a 1500 € si sommano le due distribuzioni per titolo
di studio condizionate ad una retribuzione pari a 1500┤2000 e
2000┤2800:
Retribuzione € Istr.Elementare
1500 ┤2000
20
2000 ┤2800
11
Tot (1500 ┤2800)
31
Istr.Media
33
15
48
Diploma
60
28
88
Laurea
35
49
84
Tot
148
103
251
Facendo riferimento, quindi, all’ultima riga della tabella precedente la
percentuale di laureati tra i dipendenti che hanno una retribuzione
superiore a 1500 € è pari a (84/251)*100=33,5%.
c) Il risultato di un rapporto tra una quantità A (numeratore) ed una
quantità B (denominatore) ci dice quante unità del numeratore vi sono
per una unità del denominatore. Quindi, sulla base del rapporto
108/156=0,69, possiamo dire che vi sono 73 laureati ogni 100 diplomati.
d) Occorre calcolare delle misure di variabilità per ogni distribuzione
condizionata (gruppo secondo il titolo di studio).
Calcoliamo le medie per gruppo e quella totale
Retribuzione €
500
1250
1750
2400
Istr.Elementare Istr.Media
26000
12500
27500
71250
35000
57750
26400
36000
Diploma
10500
58750
105000
67200
Laurea
5000
17500
61250
117600
Tot
54000
175000
259000
247200
Tot
114900
177500
241450
201350
735200
media
1094,29
1365,38
1547,76
1864,35
1473,35
Costruiamo le frequenze relative per ogni distribuzione condizionata
Retribuzione €
0 ┤ 1000
1000 ┤1500
1500 ┤2000
2000 ┤2800
Elementare
52
22
20
11
Media
25
57
33
15
Diploma
21
47
60
28
Laurea
10
14
35
49
Tot
108
140
148
103
Tot
105
130
156
108
499
E calcoliamo le medie dei quadrati dei valori centrali delle classi
Retrib.€
500
1250
1750
2400
Tot
Retr quadr
250000
1562500
3062500
5760000
Eleme
123809,52
327380,95
583333,33
603428,57
Media
48076,92
685096,15
777403,85
664615,38
Diploma
Laurea
Tot
33653,85
23148,15
54108,22
470753,21 202546,30 438376,75
1177884,62 992476,85 908316,63
1033846,15 2613333,33 1188937,88
1637952,38
2175192
2716137,821 3831504,63 2589739,5
Sottraiamo da tale valore il quadrato della media aritmetica (per ciascun
gruppo) e otteniamo la varianza. Tuttavia, dato che i diversi gruppi
hanno un livello medio delle retribuzioni differente, per il confronto è
necessario calcolare il coefficiente di variazione.
Varianza
dev. Stand.
Coeff. Variaz.
440491,16
663,70
0,61
310917,16
557,60
0,41
320587,92
566,20
0,37
355696,80
596,40
0,32
418989,00
647,29
0,44
Vediamo che coloro che hanno una istruzione elementare sono quelli che
presentano una maggiore variabilità delle retribuzioni mentre è il gruppo
dei laureati che ha retribuzioni più omogenee.
e) Il calcolo della media aritmetica, nel caso di una distribuzione in
classi, può avvenire in modo approssimato, in quanto non si conoscono
esattamente i valori osservati ma solo l’appartenenza alla classe. Nella
seguente tabella sono riportate le informazioni necessarie per il calcolo
della media aritmetica e anche quelle utili per il calcolo della varianza
della Retribuzione.
Valore centrale
500
1250
1750
2400
Tot
ni
77
79
53
26
235
xini
38500
98750
92750
62400
292400
xi2ni
19250000
123437500
162312500
149760000
454760000
Retribuzione media = 1244,25 €
E’ possibile calcolare il Coefficiente di Variazione, che è un indice relativo
di variabilità. Dai valori ottenuti nella tabella precedente, calcoliamo lo
scarto quadratico medio:
454760000− 235* (1244,3)2
σ=
= 622
235
quindi:
CV =
σ
x
100 =
622
= 49 ,99 %
1244 ,3
che indica la percentuale di variabilità rispetto alla media, quindi nel caso
in esame la variabilità della retribuzione è pari al 50% del valor medio.
Il valore della retribuzione rispetto al quale il 50% dei dipendenti
presenta retribuzioni inferiori è la mediana; considerando che siamo in
presenza di una distribuzione
Retribuzione €
0 ┤ 1000
1000 ┤1500
1500 ┤2000
2000 ┤2800
Tot
~
x = 1000 +
(0,5 − 0,33 )
( 0,66 − 0,33 )
ni
77
79
53
26
235
* 500 = 1257 ,6
fi
0,33
0,34
0,23
0,11
1,00
Fi
0,33
0,66
0,89
1,00