Logica deduttiva classica I, l`enunciato e le inferenze

ANDREA GILARDONI
LOGICA DEDUTTIVA CLASSICA I
Riteniamo di conoscere scientificamente qualcosa in senso proprio, e non
accidentalmente alla maniera sofistica, quando riteniamo di conoscere la
ragione per la quale la cosa è, che essa è la ragione di quella cosa, e che ciò
non può essere altrimenti. [...]
Se allora conoscere scientificamente è quello che abbiamo stabilito, è anche
necessario che la conoscenza scientifica ottenuta per dimostrazione proceda da
premesse vere, prime, immediate, più note, anteriori e tali che siano ragioni
della conclusione.
(Aristotele, Analitici secondi, 2, 71b)
Il sillogismo è un discorso in cui, poste talune cose, qualcosa di diverso risulta
necessariamente, per il fatto stesso che queste cose sono poste.
(Aristotele, Analitici primi, A, 1)
Quando tre termini stanno tra di essi in rapporti tali, che il minore sia contenuto
nella totalità del medio, ed il medio sia contenuto, o non sia contenuto, nella
totalità del maggiore, è necessario che tra gli estremi sussista un sillogismo
perfetto.
(Aristotele, Analitici primi, 25b)
I. L’ENUNCIATO
1. Il termine
Una frase è composta di parole, che con un linguaggio tecnico chiameremo
termini. Cosa sono i termini? Per esempio, “tavolo”, “rosso”, “cammina”:
nomi, verbi, avverbi, aggettivi. E gli articoli? E le preposizioni, le negazioni, le
congiunzioni? Anch’essi. Ma “da”, “un”, “o” sono termini che
convenzionalmente hanno un significato solo nel contesto di una frase
(“Angelina Jolie indossa un abito rosso”), non, invece, se presi isolatamente.
Quando si dice che i termini sono “dotati di senso” a cosa si fa riferimento?
Al fatto che essi indicano un oggetto, una persona, un’azione: “si riferiscono a”,
sono dei segni che stanno per qualcosa d’altro, in modo adeguato o
inadeguato. Abbiamo dunque due tipi (classi) di termini.
CLASSI DI TERMINI
SINCATEGOREMATICI
CATEGOREMATICI
termini che non sono dotati di senso
autonomo e hanno bisogno di essere
collegati con termini che lo sono
termini dotati di senso anche presi
isolatamente.
2. L’enunciato
Non basta dire “penna”, perché ciò che diciamo sia vero o falso. Occorre
aggiungere qualcosa. Solo l’enunciato “La penna è bianca” sarà vero o falso.
Con enunciato si intende una connessione di un soggetto e un predicato,
attraverso la quale il soggetto è incluso nel o escluso dal predicato, in modo
totale o parziale. Rispetto alle funzioni del linguaggio, gli enunciati presi in
considerazione nella logica deduttiva saranno tutti assertivi.
La struttura dell’enunciato è: “S è P”. L’enunciato “Questo tavolo è
marrone”, è composto di un soggetto (S, cioè il tavolo), di una copula (è) e di
un predicato (P, cioè gli oggetti marroni). Soggetto e predicato si dicono
termini. L’enunciato è dunque composto di termini. Il soggetto (“questo
tavolo”) è ciò di cui si predica il predicato (ciò a cui il predicato si riferisce),
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ovvero l’insieme che è incluso nel o escluso dall’insieme “predicato”
(parzialmente o totalmente). Il predicato (“le cose marroni”) è ciò che si
predica del soggetto, ovvero l’insieme che include o esclude (parzialmente o
totalmente) l’insieme “soggetto”. Per esempio: “marrone” è il predicato di
questo tavolo. La copula (lat. “unione”) è ciò che unisce (o separa) soggetto e
predicato.
3. Qualità e quantità negli enunciati
Occorre ora un’ulteriore precisazione. Se prendiamo in considerazione gli
enunciati seguenti: a) “Tutti i gatti sono vertebrati”; b) “Tutti i vertebrati sono
animali”; c) “Tutti i gatti sono animali” ci accorgiamo che ogni enunciato è
formato non da tre, bensì da quattro elementi. L’enunciato a), per esempio, è
composto da “tutti”, “gatti”, “sono”, “vertebrati”.
La forma canonica degli enunciati è la seguente: devono iniziare con un
quantificatore o indicatore di quantità (per es. “tutti” “ogni”, “nessuno”,
“qualche” o “alcuni”); contenere un termine-soggetto (“gatti”); contenere un
termine-predicato (“vertebrati”); contenere una copula o indicatore di qualità
affermativa o negativa (“è”, “non è”, “sono”, “non sono”), la quale ha la
funzione di collegare o separare il soggetto e il predicato.
I quantificatori “tutti” e “alcuni” sono indicatori di quantità positiva, il primo
universale, il secondo particolare; “nulla” o “nessuno” indicano la quantità
negativa (assenza di oggetti nella classe di riferimento…).
Ogni enunciato (che nel sillogismo può svolgere il ruolo di premessa o
conclusione) si riferisce a categorie o classi, per esempio: la classe che
comprende tutti gli esseri animali; quella di tutti i mortali; quella di tutti gli
uomini. Come già sappiamo, una classe è l’insieme di tutti gli oggetti che hanno
in comune una determinata caratteristica (animali, mortali, uomini). La copula
e i quantificatori ci permettono di definire le classi di appartenenza o non
appartenenza.
Grazie alla copula, un enunciato può essere affermativo o negativo: A) Tutti i
professori sono bravi; E) Nessun professore è bravo; I) Alcuni professori sono
bravi; O) Alcuni professori non sono bravi. Quando definiamo un enunciato
affermativo o negativo parliamo della sua qualità: sono affermativi gli enunciati
in cui il predicato afferma qualcosa del soggetto; negativi quelli in cui il
predicato nega qualcosa del soggetto.
Invece, la quantità (universale e particolare) si indica attraverso i
quantificatori (“tutti”, “alcuni”). L’enunciato A) afferma che tutti i professori
sono inclusi nella classe “bravi”: è una proposizione universale affermativa;
l’enunciato E) lo nega (nega che la classe dei “professori” sia contenuta in
quella dei “bravi”: la prima classe è interamente esclusa dalla seconda; nessun
elemento è in comune): è dunque un enunciato universale negativo.
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Tutti i professori sono bravi (A)
Nessun professore è bravo (E)
BRAVI
BRAVI
PROFESSORI
PROFESSORI
Consideriamo gli altri due enunciati: i) “Alcuni professori sono bravi” e o)
“Alcuni professori non sono bravi”. L’enunciato i) è affermativo ma,
affermando che alcuni elementi della classe “professori” sono inclusi nella
classe “bravi” è particolare affermativo. L’enunciato o) è negativo, ma, in
quanto dice che alcuni elementi della classe P non sono inclusi nella classe
“bravi”, è particolare negativo.
Alcuni professori sono bravi (I)
BRAVI
Alcuni professori non sono bravi (E)
PROFESSORI
BRAVI
PROFESSO
RI
Ritorniamo su tre degli enunciati appena visti: a) Tutti i professori sono
bravi; e) Nessun professore è bravo; i) Alcuni professori sono bravi.
Come sappiamo, i primi due enunciati sono universali (il termine-soggetto di
entrambi si riferisce a tutti i professori, non importa se per affermare o negare la
qualità di bravo), il terzo, invece, si riferisce solo ad alcuni professori (non a
tutti e non a nessuno): è particolare, ma se consideriamo l’enunciato “Einstein è
un grande fisico” le cose si complicano. Ci troviamo di fronte, come abbiamo
già accennato, a un enunciato singolare. Per convenzione, in logica deduttiva,
un enunciato singolare è trattato alla stregua di uno universale.
Inoltre, quando nell’enunciato il termine-soggetto non è preceduto dal
quantificatore esso si interpreta come universale: “I leoni sono feroci” si rende
perciò con “Tutti i leoni sono feroci”.
Possiamo distinguere ora diversi tipi di enunciato:
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TIPI DI ENUNCIATO
AFFERMATIVI
se affermano qualcosa: “Piove”
NEGATIVI
se negano una certa situazione: “Non piove”;
UNIVERSALI
se si riferiscono a tutti gli elementi di un insieme
contraddistinti attraverso una certa caratteristica:
“Nessun bambino è un angelo”; “Tutti gli impiegati
di questo ufficio sono neoassunti”.
PARTICOLARI
(ESISTENZIALI)
se si riferiscono a una parte degli elementi di un
insieme contraddistinti attraverso una certa
caratteristica: “Alcune mamme sono apprensive”;
“Alcuni docenti arrivano in ritardo”
SINGOLARI
se si riferiscono a un soggetto ben preciso: “Il
tavolo è tarlato”; “Pierino è una peste”. Vanno
considerati universali.
Poiché gli enunciati singolari verranno considerati universali, nel campo della
logica deduttiva avremo quattro tipi di enunciato (e solo quattro), che nello
schema seguente vengono indicati secondo la consuetudine dei logici
medioevali.
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LA PALESTRA DELLA MENTE – QUALITÀ E QUANTITÀ
Nelle proposizioni seguenti manca il quantificatore: aggiungilo tu.
1*……………………le stelle brillano di luce propria.
2…………………i cani abbaiano.
3…………………..gli americani amano il baseball.
4*……………………….uomo è immortale.
5*………………………….uomini sono bianchi.
6………………………….pianeta brilla di luce propria.
7*……………………..passeggeri dell’autobus sono maleducati.
8…………………libri sono interessanti.
9……………………….sedia è nella stanza.
10*…………………….è indispensabile.
Stabilisci la quantità e la qualità delle seguenti proposizioni, classificandole con le
lettere convenzionali indicate: A, E, I, O.
11*. Tutti i professori sono preparati.
12*. Nessun irlandese è un esploratore.
13*. Galileo fu un grande scienziato e filosofo.
14*. Tutti i giocatori di pallone sono esclusi dalla classe dei giocatori di tennis.
15*. Alcuni italiani sono bravi atleti.
16. Alcuni giornalisti non sono obiettivi.
17. Giorgio non è un grande scrittore.
18. Tutti i leoni sono feroci.
19. Alcuni artigiani sono bravi.
20. Alcuni artigiani non sono bravi.
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4. Il problema dei quantificatori nel linguaggio quotidiano
È il caso di riflettere sull’uso di quelle vitali particelle del linguaggio che
sono dette “quantificatori”, cioè termini come “tutti”, “alcuni”, “nessuno”,
“ogni”, “quasi tutti”, ma anche gli articoli determinativi (il, i, lo ecc.), gli
indeterminativi (un, uno ecc.) e la loro possibile assenza. Queste particelle
hanno la funzione di “quantificare” qualcosa nella frase.
Proviamo a prendere in considerazione un enunciato del tipo: «Gli italiani
prediligono gli spaghetti». Dobbiamo proprio intenderlo come se fosse: “Tutti
gli italiani prediligono gli spaghetti”? Non è da intendersi piuttosto “alcuni”?
Allo stesso modo, se prendiamo in considerazione un’affermazione come:
“Gli italiani sono mafiosi” o “Gli italiani sono razzisti”, possiamo parlare di
tutti? Non abbiamo piuttosto a che fare con un pregiudizio?
Se affermiamo: “Sono cani che mordono” il nostro enunciato significa che i
cani di cui si parla mordono, ma che al mondo ci sono altri cani che mordono,
che non sono qui e non vengono indicati, e altri cani ancora che non mordono.
Se dicessimo, invece, “Sono i cani che mordono”, intenderemmo che quelli di
cui si parla sono tutti i cani che mordono, e che non ce ne sono altri. Un
enunciato come “I cani mordono” (come il precedente “I leoni sono feroci”),
d’altro lato, può, a seconda del contesto sottinteso, significare che tutti i cani in
questione mordono (in una certa città), ma anche che tutti i cani esistenti,
esistiti, che mai esisteranno, nessuno escluso, mordono: ecco perché l’articolo e
la sua assenza vengono considerati dei quantificatori.
L’uso di queste particelle può essere decisivo. Se io dico “Distinte signore
sono state viste derubare delle persone anziane” lascio intendere che non tutte le
distinte signore lo fanno (solo alcuni elementi di una determinata categoria, non
meglio identificati ma rappresentativi), e che non lo fanno solo loro, ma posso
anche sottintendere che persino loro lo fanno, figuriamoci le signore che
distinte non sono. Se dicessi “Alcuni distinti signori sono stati visti derubare
delle persone anziane” lascio intendere che non sono molti, e nemmeno
rappresentativi. Proviamo a modificare ancora l’enunciato: “I più distinti signori
sono stati visti derubare delle persone anziane”. In questo caso intendo che
molti, forse addirittura tutti lo fanno.
Si tratta di un sottile gioco tra la generalità e la specificità dettato spesso dalla
presenza o assenza degli articoli determinativi o indeterminativi, se prendiamo
infatti l’enunciato “La parabola è una curva quadratica” possiamo constatare
che rende la stessa idea di “Una parabola è una curva quadratica”, mentre
invece “Il dinosauro scomparve a causa di una glaciazione” non può
corrispondere a “Un dinosauro scomparve a causa di una glaciazione”. È
evidente che in questo caso siamo di fronte a un contrasto tra il generico e lo
specifico che non avevamo nel primo caso.
Questo contrasto ha conseguenze determinanti in riferimento alle espressioni
ipotetiche (se...allora...), infatti: “Non accetto una scusa tardiva” significa che,
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se la scusa non fosse stata tardiva, l’avrei (forse) accettata, mentre invece “Non
accetto la tua scusa tardiva” non implica nulla, se non quello che viene
esplicitamente detto.
Diverso sarebbe però stato “Non accetto (le) scuse tardive”, che sarebbe
piuttosto simile al primo caso. I quantificatori, se utilizzati opportunamente,
lasciano aperto il campo dell’argomentazione, che può sfruttare le piccole
sfumature di significato e i sottointesi. (Per approfondire la questione dei
quantificatori e i problemi legati al loro uso si vedano anche le fallacie di
composizione e di divisione).
5. I diagrammi di Eulero
Per evitare i problemi derivanti dall’ambiguità degli enunciati e dei
quantificatori (cui abbiamo accennato) sono possibili due diverse strade:
1) quella intrapresa dalla logica contemporanea, che consiste in una
formalizzazione degli enunciati e dei quantificatori (e che affronteremo in
seguito);
2) quella proposta da Eulero, che rappresenta il rapporto tra soggetto e
predicato di un enunciato rappresentandolo come rapporto tra insiemi. È il
metodo da noi utilizzato per indicare i quattro diversi tipi di enunciato.
Le regole della rappresentazione sono semplici:
PRIMA REGOLA – GLI INSIEMI SI RAPPRESENTANO CON DEI CERCHI. SE DUE INSIEMI NON
HANNO UN ELEMENTO IN COMUNE, SI DISEGNANO CON DUE CERCHI SEPARATI.
SECONDA REGOLA - SE DUE INSIEMI HANNO QUALCHE ELEMENTO IN COMUNE, SI
DISEGNANO DUE CERCHI CHE SI INTERSECANO.
TERZA REGOLA – SE UN INSIEME È INCLUSO IN UN ALTRO, SI DISEGNA UN CERCHIO
GRANDE CON DENTRO UN CERCHIO PICCOLO.
Così, quando diciamo che tutti gli A sono B, in genere un enunciato
universale affermativo non è convertibile (non si può invertire il soggetto con il
predicato, come nel primo schema, che rappresenta l’inclusione), ma in effetti,
se abbiamo a che fare con una definizione (che conosciamo anche come
condizione necessaria e sufficiente) allora soggetto e predicato sono identici,
quindi l’inversione sarebbe possibile.
Per quanto riguarda gli enunciati universali negativi le cose non cambiano,
mentre per quelli particolari affermativi è possibile una identità parziale,
un’inclusione del predicato nel soggetto, una identità totale e un’inclusione del
soggetto nel predicato. Ciò significa che bisogna capire quale sia il rapporto tra
soggetto e predicato, e che l’enunciato “Qualche A è B” è vero in ogni caso.
Mentre “Qualche A non è B” è vera sia se vi è un’inclusione/esclusione
parziale, sia se il predicato è incluso nel soggetto, sia se predicato e soggetto
sono disgiunti.
14
Tutti gli A sono B
A=B
B
A
A incluso in B
A identico a B
Nessun A è B
A
B
A disgiunto da B
Qualche A è B
A
B
A
Parzialmente
coincidente
B
A=B
B
A
A include B
A identico a B A incluso in B
Qualche A non è B
B
A
Parzialmente
coincidente
A
A
B
A include B
A disgiunto da B
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B
LA PALESTRA DELLA MENTE – I DIAGRAMMI DI EULERO/VENN
Prendi in considerazione gli enunciati seguenti e indica quel è la rappresentazione
corretta secondo il metodo dei diagrammi di Eulero/Venn
1) Tutti gli abitanti di Belluno sono italiani.
2) Qualche piatto è salato.
3) Alcune guerre sono giuste.
4) Alcuni anziani sono incapienti.
Ora fai lo stesso con gli insiemi seguenti.
5)* Mastini, cani, mammiferi.
A
B
C
D
C
D
5)* Apicoltori, mastini, macchine agricole
A
B
7)* Mietitrebbia, macchine agricole, apicoltori
A
B
C
D
C
D
8) Chitarre, musicisti, strumenti musicali
A
B
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6. La distribuzione dei termini negli enunciati
Occorre a questo punto introdurre la fondamentale nozione di distribuzione,
che si riferisce ai termini (soggetto e predicato) di un giudizio.
Un termine è distribuito quando si riferisce a tutti i membri di una classe
che esso denota; quando invece si riferisce solo a una parte dei membri della
classe da esso denotata si dice non distribuito.
Di seguito rappresentiamo graficamente (evidenziando in grigio le classi
prese nella loro totalità) la distribuzione dei termini.
NEGLI ENUNCIATI DI TIPO A, UNIVERSALI AFFERMATIVI, IL TERMINE
SOGGETTO È DISTRIBUITO, IL TERMINE PREDICATO NON È DISTRIBUITO.
Nell’enunciato “Tutti gli uomini sono mortali”, il termine soggetto è
distribuito, perché si riferisce a “tutti” gli uomini, ma il termine predicato non lo
è, perché non ci si riferisce a tutti i mortali, quando si dice: “Tutti gli uomini
sono mortali”. Proviamo, per controprova, a invertire soggetto e predicato:
l’enunciato non è più vero. Non possiamo dire: “Tutti i mortali sono uomini”,
infatti anche i cani, i gatti, le pecore ecc. sono mortali, e non sono uomini.
MORTALI
UOMINI
NEGLI ENUNCIATI DI TIPO E, UNIVERSALI NEGATIVI, SONO DISTRIBUITI
SIA IL SOGGETTO CHE IL PREDICATO.
In “Nessun professore è pazzo”, la classe di tutti i professori e quella di tutti i
pazzi sono disgiunte completamente (l’enunciato nega ogni relazione tra le due
classi). Le due classi sono prese interamente, dunque il termine soggetto e il
termine predicato sono entrambi distribuiti.
PAZZI
PROFESSORI
NEGLI ENUNCIATI DI TIPO I, PARTICOLARI AFFERMATIVI, NÉ IL TERMINE
SOGGETTO NÉ IL TERMINE PREDICATO SONO DISTRIBUITI.
Nell’enunciato “Alcuni medici sono obiettori” si asserisce semplicemente che
le due classi hanno almeno un membro in comune.
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MEDICI
OBIETTORI
NEGLI ENUNCIATI DI TIPO O, PARTICOLARI NEGATIVI, IL TERMINE
SOGGETTO NON È DISTRIBUITO, MENTRE IL TERMINE PREDICATO LO È.
Nell’enunciato: “Alcuni infermieri non sono bravi” il soggetto è
evidentemente considerato solo in parte (c’è infatti un quantificatore di
particolarità). E il predicato? Noi intendiamo che alcuni membri della classe
infermieri sono esclusi dall’intera classe dei bravi…
INFERMIERI
BRAVI
TAVOLA DELLA DISTRIBUZIONE DEI TERMINI
ENUNCIATO
CATEGORICO
TERMINE
SOGGETTO
TERMINE
PREDICATO
A
Distribuito
Non distribuito
E
Distribuito
Distribuito
I
Non distribuito
Non distribuito
O
Non distribuito
Distribuito
REGOLA DELLA DISTRIBUZIONE DEI TERMINI
UN TERMINE È DISTRIBUITO SE È SOGGETTO DI UN ENUNCIATO
UNIVERSALE O PREDICATO DI UN ENUNCIATO NEGATIVO.
18
LA PALESTRA DELLA MENTE – DISTRIBUZIONE DEI TERMINI
Indica quali termini sono distribuiti e quali non lo sono.
21. Ogni lasciata è persa.
22.* Alcuni libri di questo scaffale non parlano di filosofia.
23. Alcuni libri di logica sono incomprensibili.
24.* Alcune maestre tentano di rovinare i bambini strappando i loro disegni.
25. Alcune case sono troppo fredde perché ci si possa abitare.
26. Tutti i miei amici sono inconsapevoli dell’importanza del voto.
27. Alcune persone pensano solo al sesso, al cibo e alla televisione.
28. *Alcune persone non amano la musica.
29. Nessun paese è in grado di sopportare una tale recessione.
30. L’Argentina ha una crescita economica dell’8% all’anno da quando non rispetta
più i dogmi liberisti del fondo monetario internazionale.
31.* Tutti i paesi che rispettano il dogma liberista del fondo monetario internazionale
prima o poi entrano in crisi.
32.* Nessuna democrazia sopravvive senza un equilibrio dei poteri e senza le
garanzie costituzionali.
Rifletti sul fatto che non si possono capovolgere le proposizioni che iniziano con
“tutti”, come le seguenti. Prova poi a costruire altre proposizioni simili, che cioè
abbiano senso e non possano essere capovolte.
33. “Tutti i gatti sono animali” non si può capovolgere in “Tutti gli animali sono
gatti”.
34. “Tutti gli ingegneri sono bravi in matematica” non si può capovolgere in “Tutti
coloro che sono bravi in matematica sono ingegneri”.
35. “Tutti gli abitanti di Milano sono italiani” non si può capovolgere in: “Tutti gli
italiani sono abitanti di Milano”.
Cerca di spiegare il motivo per cui alcune proposizioni, se capovolte, conservano lo
stesso valore:
36. Nessun cane è gatto; nessun gatto è cane.
37. Nessun leone è uomo; nessun uomo è leone.
38. Nessun assassino è felice; nessuna persona felice è un assassino.
19
II. INFERENZE IMMEDIATE PER OPPOSIZIONE
In questo capitolo ci occuperemo delle regole che ci permettono di inferire un
enunciato da un altro in modo immediato, ovvero senza la mediazione di altri
enunciati.
1. Le regole degli enunciati contraddittori
GLI ENUNCIATI CONTRADDITTORI DIFFERISCONO PER QUANTITÀ E QUALITÀ.
ESSI NON POSSONO ESSERE “CONTEMPORANEAMENTE E SECONDO LO STESSO
RISPETTO” ENTRAMBI VERI O ENTRAMBI FALSI.
Ragionando sul quadrato delle opposizioni è possibile verificare che:
•
•
da un enunciato vero A si può inferire un enunciato falso O: Se è vero che
“Tutti i gatti sono grigi” sarà falso che “Alcuni gatti non sono grigi”;
da un enunciato vero I si inferisce un enunciato falso E: Se è vero che
”Qualche gatto è grigio”, non sarà vero che “Nessun gatto è grigio”.
V⇒ F
F⇒V
2. Le regole degli enunciati subalterni
Gli enunciati subalterni differiscono per la quantità. Il rapporto tra enunciati
subalterni è espresso da un principio generale, detto principio di inclusione:
CIÒ CHE È AFFERMATO DEL TUTTO È AFFERMATO ANCHE DELLA PARTE (dictum de
omni, dictum de parte), ovvero: se tutti gli uomini sono mortali, allora lo sarà
anche il singolo uomo.
Il rapporto è descrivibile attraverso 4 regole.
1.
2.
3.
4.
Se l’enunciato universale è vero l’enunciato particolare corrispondente è vero.
Se l’enunciato universale è falso non è possibile concludere quanto alla falsità o
verità dell’enunciato particolare corrispondente.
Se l’enunciato particolare è vero non è possibile concludere alla verità o falsità
dell’enunciato universale corrispondente.
Se l’enunciato particolare è falso, l’enunciato universale corrispondente è falso.
20
1.
A
I
2.
3.
4.
A rossa → I rossa;
E rossa → O rossa
A ¬rossa → I?;
E ¬rossa → O?
I rossa → A?;
O rossa → E ?
I ¬rossa → A ¬rossa;
O ¬rossa → E ¬rossa
E
O
3. Le regole degli enunciati contrari
Gli enunciati contrari sono rappresentati dalle proposizioni universali A ed
E, che differiscono per la qualità. Si tratta di una relazione di incompatibilità,
ovvero tale che esse NON POSSONO ESSERE ENTRAMBE VERE MA POSSONO ESSERE
ENTRAMBE FALSE.
La regola generale può essere scomposta in quattro regole di dettaglio:
1. Se A è vera, allora E è falsa (infatti: se A è vera O è falsa, in quanto è la sua
contraddittoria, ma se O è falsa, allora E è falsa, per relazione di subalternità, quindi
se A è vera, allora E è falsa).
2. Se E è vera allora A è falsa (se E è vera allora O è vera, ma se O è vera, allora, per
contrarietà, A è falsa).
3. Se A è falsa non c’è conclusione possibile: E può essere o vera o falsa (infatti: se A
è falsa I può essere vera o falsa, quindi non possiamo determinare la sua
contraddittoria E; parimenti, se A è falsa O è vera, ma dalla verità di una particolare
non si può ricavare la verità di una universale, quindi E resta indeterminata).
4. Se E è falsa, A può essere sia vera che falsa (infatti se E è falsa O può essere sia
vera che falsa, e così anche A, che è la contraddittoria).
4. Le regole degli enunciati subcontrari
Si dicono subcontrari gli enunciati particolari I e O, che differiscono solo
per la qualità. Si tratta di una relazione di disgiunzione, cioè tale che essi NON
POSSONO ESSERE ENTRAMBI FALSI MA POSSONO ESSERE ENTRAMBI VERI.
Anche questa regola può essere scomposta in quattro ulteriori regole:
1.
2.
3.
4.
Se l’enunciato I è vero, allora O è indeterminato (infatti, se I è vero, allora E è
falso, in quanto contraddittorio, ma allora non c’è conclusione per l’enunciato
subalterno O).
Se I è falso allora O è vero (infatti se I è falso, il suo enunciato contraddittorio
E sarà vero, e, poiché dictum de omni dictum de parte, allora O sarà vero).
Se O è vero non c’è conclusione per I (vedi regola 1)
Se O è falso, allora I è vero (vedi regola 2).
21
22
LE REGOLE PER LE INFERENZE IMMEDIATE
– SINOSSI –
ENUNCIATO
ENUNCIATO DERIVATO
PRIMITIVO
A
E
I
O
A vero
-
falso
vero
falso
E vero
falso
-
falso
vero
I vero
indeterminato
falso
-
indeterminato
O vero
falso
indeterminato indeterminato -
A falso
-
indeterminato indeterminato vero
E falso
indeterminato
-
vero
indeterminato
I falso
falso
vero
-
vero
O falso
vero
falso
vero
-
23
LA PALESTRA DELLA MENTE – INFERENZE IMMEDIATE PER OPPOSIZIONE
39. Che cosa possiamo inferire circa la verità o falsità degli enunciati 2, 3 e 4 se
assumiamo che l’enunciato 1 è vero?
1. *Tutti i professori che hanno successo sono persone intelligenti
2. *Nessun professore che ha successo è una persona intelligente.
3. *Alcuni professori che hanno successo sono persone intelligenti
4. *Alcuni professori che hanno successo non sono persone intelligenti.
40. Che cosa possiamo inferire circa la verità o falsità degli enunciati 2, 3 e 4 se
assumiamo che l’enunciato 1 è falso?
1. Alcuni isotopi di uranio sono sostanze altamente instabili.
2. Alcuni isotopi di uranio non sono sostanze altamenti instabili.
3. Tutti gli isotopi di uranio sono sostanze altamente instabili.
4. Nessun isotopo di uranio è una sostanza altamente instabile.
41. Considera gli enunciati seguenti e formula i corrispondenti enunciati contrari o
subcontrari e stabilisci i rispettivi valori di verità: 1. se il primo è vero; 2. se il primo è
falso.
1. Tutti gli uomini sono uguali.
2. Nessuna donna è un uomo.
3. Nessun ombrello è verde.
4. Alcuni uomini sono autisti.
42. Individua gli enunciati contraddittori corrispondenti degli enunciati seguenti e
indica se sono veri o falsi in relazione al valore di verità indicato:
1. Nessun libro è marrone (V).
2. *Alcuni professori sono carini (V).
3. *Alcune colleghe sono gentili (F).
4. Alcuni ospiti non parlano italiano (V).
5. Alcune obiezioni non sono fondate (F).
6. Tutti gli ospiti sono dei logici (F).
42 bis Indica se gli enunciati derivati da quelli dati sono veri, falsi o indeterminati.
1. Se un enunciato di tipo A è vero, cosa ne deriva per l’enunciato contraddittorio?
E per il superalterno del contraddittorio di A? E per il subalterno di A?
2. Se E è falso, cosa ne deriva per il subalterno? E per il contraddittorio del
subcontrario del subalterno di E?
24
25
III. INFERENZE IMMEDIATE PER TRASFORMAZIONE
In breve
Oltre alle inferenze immediate esaminate in base al quadrato delle
opposizioni è possibile individuare altre inferenze immediatamente derivabili
per via di conversione, obversione e contrapposizione. È così possibile passare
immediatamente da un tipo di enunciato categorico A, E, I, O a un altro, “anche
se di forma grammaticale e forza retorica diversa” (Boniolo & Vidali 2002: 21).
L’enunciato che si otterrà sarà converso, obverso o contrapposto. Si tratta di
un argomento complesso, che per una prima introduzione alla logica può essere
trascurato. Una sua trattazione viene comunque presentata nei paragrafi
seguenti: è da considerarsi un approfondimento.
La conversione (o antistrofe o reciprocazione) consiste nell’invertire i
termini di una proposizione mantenendo la qualità e la verità della
proposizione. Perciò “Certi pittori sono musicisti” si converte in “Certi
musicisti sono pittori” (conversio simplex). Ma tale operazione è possibile solo
se i due termini (soggetto e predicato) hanno la medesima estensione (e questo
vale per E e I). Per quanto concerne A la conversione è possibile solo se
l’enunciato converso diviene I (conversio per accidens). La proposizione O non
può essere convertita (Thiry 1998:96), infatti se “Certi logici non sono giuristi”
non è detto che “Certi giuristi non siano logici”.
L’obversione di una proposizione consiste in una sua diversa formulazione
mantenendo lo stesso senso, cambiando la sua qualità per negare il suo
predicato: Se “Tutti gli uomini sono mortali”, allora “Nessun uomo è nonmortale”. L’obversa di un’universale affermativa sarà una negativa universale e
viceversa. L’obversa di una affermativa particolare sarà una negativa particolare
e viceversa.
Si contrappone una proposizione permutando il suo soggetto e il suo
predicato (conversione) e negando i due termini: “Tutti i lavoratori sono
comunisti” diventa “Nessuna comunista è non-lavoratore”. La contrapposta di
una proposizione è una proposizione della stessa quantità, della stessa qualità e
dello stesso valore di verità. Ma le contrapposte sono di difficile formulazione
ed è possibile che solo una proposizione di tipo A possa essere davvero
contrapposta.
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1. Conversione
La conversione procede semplicemente cambiando il termine soggetto con il
termine predicato della proposizione (Boniolo & Vidali 22; Copi-Cohen 252
seg): Una proposizione categorica in forma normale viene detta la conversa
(simplex) di un’altra quando è formata semplicemente scambiando il termine
soggetto e il termine predicato dell’altra proposizione (detta convertenda).
Usiamo il termine convertenda per indicare la premessa di un’inferenza
immediata. La conclusione di tale inferenza è detta conversa.
La conversione è perfettamente valida nel caso delle proposizioni I ed E,
infatti “Nessun uomo è un angelo” rappresenta un’asserzione equivalente a
“Nessun angelo è un uomo”, e ciascuna delle due può essere validamente
inferita dall’altra. Lo stesso vale per I: “Alcuni giudici sono donne” equivale a
”Alcune donne sono giudici”, per conversione ciascuna delle due proposizioni
può essere validamente inferita dall’altra. La proposizione “Nessun realista è un
poeta” è la convertenda della proposizione “Nessun poeta è un realista”
(conversa).
I problemi per la conversio simplex si pongono nel momento in cui si
prendono in considerazione proposizioni con termini soggetto e predicato con
diversa distribuzione. La conversa simplex di una proposizione A in generale
non segue validamente da quella proposizione. Se “Tutti i gatti sono animali” la
conversa “Tutti gli animali sono gatti” non segue dalla proposizione originaria
(la convertenda è vera, mentre la conversa è falsa).
D’altro lato, però, qualcosa di simile alla conversione è valido anche per le
proposizioni di tipo A. Infatti, come abbiamo visto, tra A (Tutti gli S sono P) e I
(Alcuni s sono P), c’è un rapporto di subalternazione (vedi quadrato delle
opposizioni) e, siccome A dice qualcosa riguardo a tutti gli elementi di S,
mentre I fa un’affermazione più limitata, che riguarda solo alcuni elementi di S,
ma la conversa simplex di I è valida (l’abbiamo appena detto), allora data A
(Tutti gli S sono P), la sua subalterna può essere inferita immediatamente per
subalternazione (Alcuni S sono P) e da quella subalterna, per conversione, si
può inferire Alcuni P sono S. Per esempio. Se da “Tutti gatti sono animali” si
inferisce che “Alcuni gatti sono animali”, allora è possibile convertire
quest’ultima in “Alcuni animali sono gatti”.
Il che significa che da “Tutti gli S sono P” si può validamente inferire
“Alcuni P sono S”. Questo modello di inferenza, chiamato conversione per
accidens (per limitazione) procede interscambiando il termine soggetto e il
termine predicato e cambiando la quantità della proposizione da universale a
particolare.
La conversa (per limitazione) di A non è dunque A ma I, che non può avere
lo stesso significato della sua convertenda, e quindi non è logicamente
equivalente ad essa.
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La conversa di E è una proposizione E, e la conversa di I è una proposizione
I. In questi due casi convertenda e conversa hanno la stessa quantità e sono
quindi logicamente equivalenti.
Infine: la conversione di O non è mai valida. Se “Alcuni animali non sono
gatti“ è chiaramente vera, la sua conversa “Alcuni gatti non sono animali” è
evidentemente falsa.
In conclusione: la conversa di una proposizione contiene sempre esattamente
gli stessi termini della proposizione data (ma l’ordine è invertito) e ha sempre
la stessa qualità. Non sempre, però, la stessa quantità (in tal caso è conversa
per accidens).
TAVOLA DELLE CONVERSIONI
Convertenda
Conversa
A: Tutti gli S sono P
E: Nessun S è un P
I: alcuni S sono P
O: Alcuni S non sono P
I: Alcuni P sono S (per accidens)
E: Nessun P è un S
I: Alcuni P sono S
(Conversione non valida)
2. Obversione.
Che cos’è una classe? Come abbiamo visto, una classe è l’insieme di tutti gli
oggetti che hanno un certo attributo comune (tale attributo è la caratteristica che
definisce la classe), che può anche essere complesso, per es.: “Studentessa,
mancina, con i capelli rossi, che indossa una gonna”.
Che cos’è una classe complementare o classe complemento? L’insieme di
tutte le cose che non appartengono alla classe originale: la classe complemento
di tutte le persone è la classe di tutte le cose che non sono persone. Si tratta di
un attributo negativo, ma il contenuto può essere positivo e virtualmente
infinito: navi, scarpe, quaderni, penne, ma nessun insegnante. Se facciamo
riferimento alla classe complemento della classe di tutte le persone possiamo
chiamarla “La classe di tutte le non-persone”. Il complemento della classe S è la
classe ¬S. Il termine “votante” ha come complemento “non-votante”.
Ma occorre fare attenzione: in primo luogo il complemento di “non-votante”
è “votante” (cioè non-non-votante, ma la doppia negazione può essere tolta); in
secondo luogo, il termine contrario non corrisponde al termine complemento.
Se eroe e codardo sono contrari (nessuno può essere un eroe e un codardo allo
stesso tempo e secondo lo stesso rispetto), non è detto che ogni persona (e
soprattutto ogni cosa) sia o un eroe o un codardo (ci può essere una via di
mezzo, e quindi non-codardo non è necessariamente solo un eroe), né che ogni
non-vincitore sia un vinto (si può non essere vinti e non aver vinto, per esempio
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perché lo scontro si è concluso con un pareggio, o perché non si è affatto
giocato, allora non si è vinti, ma si è non-vincitori).
Che cos’è, allora, l’obversione? Un’inferenza immediata nella quale il
termine soggetto resta immutato e immutata resta anche la quantità della
proposizione che viene obvertita, ma la sua qualità (affermativa/negativa)
cambia e si rimpiazza il termine predicato con il suo complemento.
La proposizione A “Tutti i lavoratori sono comunisti” ha come sua obversa la
proposizione E “Nessun lavoratore è un non-comunista”. Le due proposizioni
sono logicamente equivalenti, perciò ognuna delle due può essere validamente
inferita dall’altra. L’obversione è immediatamente valida quando viene
applicata a qualunque proposizione categorica in forma normale. L’obvertenda
E “Nessun politico è sincero” ha come obversa la proposizione A “Tutti i
politici sono non-sinceri”. L’obvertenda I “Alcuni metalli sono conduttori” è
una proposizione O “Alcuni metalli non sono non-conduttori”. L’obvertenda O
“Alcune nazioni non sono belligeranti” si obverte in I “Alcune nazioni sono
non-belligeranti”
In conclusione: l’obversa di una proposizione si ottiene lasciando immutati
la quantità e il termine soggetto e cambiando la qualità della proposizione
tramite la sostituzione del termine predicato con il suo termine complemento.
TAVOLA DELLE OBVERSIONI
Obvertenda
Obversa
A: Tutti gli S sono P
E: Nessun S è un P
I: Alcuni S sono P
O: Alcuni S non sono P
E: Nessun S è non-P
A: Tutti gli S sono non-P
O: Alcuni S non sono non-P
O: Alcuni S sono non-P
3. Contrapposizione.
Il terzo tipo di inferenza immediata può essere ricondotto ai primi due. Per
formare la contrapposta di una data proposizione occorre rimpiazzare il suo
termine soggetto con il complemento del suo termine predicato e il suo termine
predicato con il complemento del suo termine soggetto. La contrapposta di A
“Tutti i membri del PCI sono votanti” è la proposizione A “Tutti i non-votanti
sono non-membri del PCI”. Queste due proposizioni sono logicamente
equivalenti. Per questo la contrapposizione è una forma valida di inferenza
immediata.
Se diciamo che A “Tutti gli S sono P” (Tutti i membri del PCI sono votanti),
da questa possiamo ottenere per obversione E: “Nessun S è non-P” (Nessun
membro del PCI è non votante) e quindi, per conversione Nessun non-P è S
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(Nessun non-votante è membro del PCI), la cui obversa è “Tutti i non-P sono
non-S”. Come scrivono Copi & Cohen (237): la contrapposta di qualunque
proposizione A è l’obversa della conversa dell’obversa di quella proposizione.
In altri termini: la regola della contrapposizione è: 1. obvertere l’enunciato
primitivo; convertirlo; obverterlo di nuovo; oppure: 2. mutare il soggetto con il
predicato negato e il predicato con il soggetto negato, ad eccezione dei casi in
cui l’enunciato di partenza sia di tipo E o di tipo I: nel primo caso bisogna
cambiare anche la quantità, nel secondo non c’è contrapposta.
La contrapposizione può essere utile quando si lavora con le proposizioni A,
ma è una forma valida di inferenza immediata anche quando viene applicata alle
proposizioni O.
La contrapposta della proposizione O “Alcuni studenti non sono
maggiorenni” è la proposizione O “Alcuni non-maggiorenni non sono nonstudenti” (le due sono equivalenti, infatti se applichiamo l’obversione a Alcuni
S non sono P otteniamo Alcuni S sono non-P, che si converte in Alcuni non-P
sono S, la quale si obverte in Alcuni non-P non sono non-S, che è la
contrapposta).
Per le proposizioni di tipo I non c’è contrapposta, infatti un proposizione di
tipo I (vera): “Alcuni cittadini sono non-sindaci”, ha come sua contrapposta
“Alcuni sindaci sono non-cittadini” (che è falsa). Perché? Riportiamo la
spiegazione di Copi & Cohen (1999: 237): se tentiamo di derivare la
contrapposta di una proposizione I per successive obversione, conversione e
obversione, l’obversa di I “Alcuni S sono P” è la proposizione O “Alcuni S non
sono non-P”, la cui conversa in generale non segue validamente da essa.
La contrapposta della proposizione E “Nessun S è P” è “Nessun non-P è nonS”, che in generale non segue validamente dall’originale, se infatti E “Nessun
lottatore è gracile” è vera, la sua contrapposta “Nessun non-gracile” è un nonlottatore è falsa. Perché? Se tentiamo di derivare la contrapposta di E per
successiva obversione, conversione e obversione, troviamo la ragione di questa
invalidità. L’obversa della proposizione E “Nessun S è P” è infatti la
proposizione A “Tutti gli S sono non-P”, che, in generale, non può essere
validamente convertita se non per limitazione (per accidens). Se la convertiamo
per limitazione otteniamo O “Alcuni non-P sono S”, e se obvertiamo
quest’ultima otteniamo O “alcuni non-P non sono non-S”, che è contrapposta
per limitazione.
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TAVOLA DELLE CONTRAPPOSIZIONI
Contrapponenda
A: Tutti gli S sono P
E: Nessun S è un P
I: Alcuni S sono P
O: Alcuni S non sono P
Contrapposta
A: Tutti i non-P sono non-S
(conversio simplex)
O: Alcuni non-P non sono non-S
(conversio per accidens)
(Contrapposizione non valida)
O: Alcuni non-P non sono non-S
(conversio simplex)
TAVOLA SINOTTICA DELLE INFERENZE
IMMEDIATE PER TRASFORMAZIONE
LA PALESTRA DELLA MENTE – INFERENZE IMMEDIATE PER TRASFORMAZIONE
Determina le converse degli enunciati seguenti:
43. Nessun guidatore ubriaco è una persona imprudente.
44. Alcuni professionisti sono evasori totali.
Determina le obverse degli enunciati seguenti:
45. Alcuni atleti sono alti.
46. Tutti i libri della biblioteca di casa mia sono catalogati.
Determina le contrapposte degli enunciati seguenti:
47. Tutti i profeti sono apocalittici
Alcuni non-cittadini non sono non-residenti
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