VIII. LE DERIVATE 1. Velocità istantanea. Se il ponte di Namche

VIII. LE DERIVATE
1. Velocità istantanea.
Se il ponte di Namche Bazar è alto 18 metri sul fiume Dudh Koshi, in un sistema di
riferimento con origine sulla superficie dell’acqua e direzione verso l'alto, la quota di un
oggetto lasciato cadere liberamente dalla sommità del ponte, dopo t secondi sarà:
s(t) = 18 - 5t2.
Fig. 1.8.- Caduta di un
grave nel vuoto.
Lo spazio che il grave deve
ancora percorrere al tempo t
sarà dunque: s(t) = 18 - 5t2
e al tempo t+1 sarà:
s(t+1) = 18 - 5(t + 1) 2.
In un secondo perciò la
distanza percorsa sarà:
s(t+1) - s(t) = -5(2t + 1).
Più
in
generale
se
consideriamo due istanti t1 e t2:
Def. 1.1. Lo spostamento
subito da un corpo in caduta
libera nel periodo tra gli istanti
t1 e t2 (t1 < t2) sarà:
st2 − st1 = −5 ⋅ ( t 22 − t12 )
Cerchiamo ora di definire la
velocità
istantanea
dell'oggetto, cioè la velocità posseduta dall'oggetto in un certo istante, e incominciamo
dal concetto di velocità media:
Def. 1.2. Diremo velocità media di un corpo in caduta libera nell'intervallo (t1, t2) la
quantità:
st2 − st1
vm =
t 2 − t1
Nel caso visto in precedenza si ottiene: -5(t1 + t2).
Per definire la velocità istantanea, ad esempio all'istante t = 2 esaminiamo che cosa
succede quando t si scosta molto poco da t1:
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