oscillatore armonico (

Capitolo 1
Oscillatore Armonico
In questo capitolo verrà studiato il problema descritto dal seguente Hamiltoniano:
H=
1
p2
+ mω 2 x2
2m 2
(1.1)
corrispondente, classicamente, ad un oscillatore armonico di massa m e frequenza propria ω.
La tecnica operatoriale che verrà introdotta per diagonalizzare H costituisce la base per la comprensione
di qualunque teoria di campo1 . In effetti, vedremo più avanti che la possibilità di utilizzare la tecnica dei
modi normali, consente di discutere problemi complicati a molti corpi riducendoli a problemi armonici, ovvero
trasformando l’Hamiltoniana in quella di un insieme di oscillatori. Un esempio di tale metodo sarà fornito
alla fine del capitolo. Per completezza, in appendice è riportata la soluzione dello stesso problema affrontato
risolvendo l’equazione di Sturm-Liouville corrispondente, insieme ad alcune proprietà dei polinomi di Hermite
che costituiscono la base per ottenere questa soluzione.
1.1
Operatori di creazione e distruzione
Il modo più elegante ed efficiente di affrontare il problema descritto dall’Hamiltoniano (1.1) è di natura puramente
algebrica. Esso consiste nell’introdurre alcuni operatori ausiliari, ottenuti come combinazioni lineari di posizione
e impulso, tramite i quali l’Hamiltoniano assume una forma particolarmente semplice. Studiando le proprietà
spettrali di tali operatori, si riuscirà a diagonalizzare H.
Definiamo, dunque, l’operatore di distruzione2
√
√
(
)
mω
1
1
x
p
x+i
p≡ √
+i
a :=
2h̄
2mωh̄
p0
2 x0
(1.2)
e il suo hermitiano coniugato, detto operatore di creazione
√
√
(
)
mω
1
1
x
p
†
a =
x−i
p≡ √
−i
.
2h̄
2mωh̄
p0
2 x0
(1.3)
Nei membri più a destra di queste due definizioni abbiamo introdotto due quantità con le dimensioni di posizione
e impulso, rispettivamente, date da
√
√
h̄
h̄
,
p0 =
≡ h̄mω.
x0 =
mω
x0
[
]
Usando la relazione di commutazione canonica x, p = ih̄, si ricava immediatamente che a e a† soddisfano
l’algebra
[
]
a, a† = 1
(1.4)
1 Un’applicazione
2 Il
immediata sarà esposta nel prossimo capitolo, studiando la quantizzazione del campo elettromagnetico.
significato di tale nome sarà chiarito più avanti.
1
1. Oscillatore Armonico
2
Inoltre, invertendo le definizioni di a, a† , si ottengono
)
x0 (
x = √ a + a† ,
2
)
ip0 ( †
p= √ a −a ,
2
(1.5)
(1.6)
che consentono di esprimere l’Hamiltoniano come:
H=
h̄ω †
1
(a a + a a† ) ≡ h̄ω(a† a + ) .
2
2
(1.7)
L’operatore n = a† a è detto operatore numero, in quanto, come si vedrà più avanti, esso conta il numero di
eccitazioni presenti nello stato dell’oscillatore. È evidente che gli autostati dell’operatore numero costituiscono
anche autostati dell’energia; pertanto, nella prossima sezione ricaviamo le proprietà spettrali di n.
1.1.1
Autoket dell’operatore numero
Cerchiamo tutti gli autovalori y e tutti gli stati (normalizzati!) |y⟩, per i quali
a† a |y⟩ = y |y⟩ .
Cominceremo mostrando che i valori ammessi per y sono tutti e solo i numeri naturali (il che giustifica il fatto
che a† a sia un contatore). La dimostrazione, che è costituita da quattro passaggi, sarà costruttiva in quanto
permetterà di ottenere anche l’espressione degli autostati.
1 -•- y deve essere un numero reale positivo, y ∈ R+
I possibili valori di y sono reali in quanto n = a† a è hermitiano. Essi devono anche necessariamente essere
dei numeri positivi, infatti:
2
y = ⟨y| a† a |y⟩ = a |y⟩ ≥ 0 .
2 -•- a† ed a, applicati ad un autoket, ne producono un altro con autovalore aumentato o diminuito
di 1.
Usando la (1.4), si ricavano:
a† a a = a(a† a − 1)
a† aa† = a† (a† a + 1)
che possiamo usare per dimostrare che se |y⟩ è autoket di n, allora anche a |y⟩ e a† |y⟩ lo sono. Infatti
(a† a) a |y⟩ = a(a† a − 1) |y⟩ = (y − 1) a |y⟩
(a† a) a† |y⟩ = a(a† a + 1) |y⟩ = (y + 1) a |y⟩
Pertanto, a |y⟩ (a† |y⟩) è autoket di n = a† a con autovalore y − 1 (y + 1), a meno che non si abbia a |y⟩ = 0
(a† |y⟩ = 0).
3 -•- normalizzazione degli autostati
Gli stati ottenuti nel passo precedente non sono normalizzati; essi vanno divisi per la loro norma:
1
a |y⟩
∥a |y⟩ ∥
1
a† |y⟩
|y + 1⟩ = †
∥a |y⟩ ∥
|y − 1⟩ =
con
con
√
√
⟨y| a† a |y⟩ = y ,
√
√
∥a† |y⟩ ∥ = ⟨y| aa† |y⟩ = y + 1 .
∥a |y⟩ ∥ =
1. Oscillatore Armonico
3
4 -•- gli autovalori devono essere numeri naturali, y ∈ N.
Supponiamo per assurdo che sia an |y⟩ ̸= 0 ∀n. Ma an |y⟩ è autoket di a† a con autovalore y − n e si
è già dimostrato che tale autovalore deve essere positivo. È chiaro che questo diventa impossibile per n
abbastanza grande. Pertanto, per ogni stato |y⟩ deve esistere un intero ny per cui
any |y⟩ ̸= 0
any +1 |y⟩ = 0 .
ma
Vale, allora:
0 = ∥any +1 |y⟩ ∥ = ∥a any |y⟩ ∥ =
√
√
⟨y| (a† )ny a† a any |y⟩ = y − ny ∥any |y⟩ ∥ ,
ovvero,
y ≡ ny .
Ciò mostra che gli autovalori di a† a sono solo interi positivi.
Ricapitolando
gli autostati (normalizzati) di n = a† a possono essere etichettati con un indice n ∈ N, che corrisponde all’autovalore:
a† a |n⟩ = n |n⟩ .
Tali stati hanno le proprietà
an+1 |n⟩ = 0
√
a |n⟩ = n |n − 1⟩
√
a† |n⟩ = n + 1 |n + 1⟩
In particolare, per n = 0, si ha
a |0⟩ = 0 ,
relazione che costituisce la definizione dello stato con n = 0. Esso è detto stato di vuoto.
Esso è lo stato fondamentale del sistema. Infatti, si era scritto H = h̄ω(n + 21 ), e pertanto gli stati {|n⟩} sono
autoket di H con autovaloreEn = h̄ω(n + 21 ). Poiché deve essere n ≥ 0, è evidente che lo stato con n = 0 è quello
con l’energia più bassa di tutti.
Tutti i successivi autoket possono allora ottenersi come
(a† )n
|n⟩ = √
|0⟩ .
n!
(1.8)
Questa relazione è all’origine del nome operatore di creazione dato ad a† : come si vede, l’azione di a† fa aumentare
di uno il numero di eccitazioni presenti nello stato (analogamente, l’operatore di distruzione fa decrescere il numero
di eccitazioni presenti).
1.2
Rappresentazione degli operatori a e a† e dell’Hamiltoniano
Gli operatori a† e a sono detti creatore e distruttore in quanto, rispettivamente, creano o distruggono un’eccitazione
dell’oscillatore armonico, facendo passare al livello superiore o inferiore.
{ }
I loro elementi di matrice (nella base degli autostati dell’operatore numero, |n⟩
) risultano:
√
⟨m| a |n⟩ = n + 1 δm,n+1 ,
†
pertanto:
a† =
∞
∑
√
n + 1 |n + 1⟩ ⟨n| ,
a=
n=0
∞
∑
√
n=0
n∈N
√
⟨m| a |n⟩ = nδm,n−1 ;
n |n − 1⟩ ⟨n| ≡
∞
∑
√
n |n − 1⟩ ⟨n| .
n=1
Ovviamente, mettendo insieme queste due ultime relazioni, si ottiene, per l’operatore numero, una rappresentazione diagonale:
∑
n |n⟩ ⟨n| ,
n ≡ a† a =
n
e, quindi, per l’Hamiltoniano
(
)
∞
∞
∑
∑
1
H≡
En |n⟩ ⟨n| =
h̄ω n +
|n⟩ ⟨n| .
2
n=0
n=0
(1.9)
1. Oscillatore Armonico
1.3
4
Funzioni d’onda e polinomi di Hermite
Finora, gli autoket dell’operatore numero sono stati scritti in forma puramente astratta. Possiamo facilmente
ottenere le corrispondenti funzioni d’onda, che non sono altro che la rappresentazione di tali ket nella base degli
autostati dell’operatore posizione: φn (x) = ⟨x| n⟩.
funzione d’onda dello stato di vuoto
Poiché tutti gli {|n⟩} si ottengono tramite l’applicazione ripetuta di a† allo stato di vuoto, il nostro punto di
partenza sarà la funzione d’onda φ0 (x).
Per ottenere φ0 , partiamo dalla definizione di stato di vuoto:
a |0⟩ = 0
⇒
⟨x| a |0⟩ = 0.
Ma, per definizione,
1 (x
p)
a= √
+i
.
p0
2 x0
Rappresentando gli operatori x e p nella base degli autoket di x,
⟨x| x |φ⟩ = xφ(x),
⟨x| p |φ⟩ = −ih̄
∂
φ(x),
∂x
si ottiene l’equazione differenziale
x
h̄ ∂
φ0 (x) +
φ0 (x) = 0.
x0
p0 ∂x
Poiché x0 p0 = h̄, si ricava, immediatamente
(
) 12
x2
}.
(1.10)
2x20
∫
Il prefattore costante è scelto in modo da avere uno stato normalizzato: dx φ20 = 1.
Dunque, la funzione d’onda dello stato fondamentale è una gaussiana con media nulla e deviazione standard3
x0
pari a √
.
2
∂
x
φ0 (x) + 2 φ0 (x) = 0,
∂x
x0
⇒
φ0 (x) =
1
√
x0 π
exp{−
funzione d’onda per gli stati eccitati
Per ottenere φn (x) = ⟨x| n⟩, usiamo la relazione
(a† )n
|n⟩ = √
|0⟩
n!
⇒
(a† )n
φn (x) = ⟨x| √
|0⟩ .
n!
Si noti che questa relazione conduce automaticamente alla giusta normalizzazione per le funzioni d’onda. Esplicitamente:
(x
∂ )
+ x0
φ0 (x),
φ1 (x) =
x0
∂x
..
.
∂ )n
1 (x
+ x0
φn (x) = √
φ0 (x).
∂x
n! x0
2
x
Poiché φ0 è una gaussiana, il fattore exp{− 2x
2 } è presente in tutte le funzioni d’onda successive. In particolare,
0
φn consta di questo fattore gaussiano moltiplicato per un polinomio di grado n che, a parte la costante di
normalizzazione, è il polinomio di Hermite di ordine n (vedi appendice per i dettagli).
3 Si
mostra facilmente che la deviazione standard dell’impulso è data da δp =
indeterminazione minima: δx δp =
h̄
.
2
p0
√
.
2
Pertanto, lo stato φ0 è uno stato ad
Appendici
1A
rappresentazione della posizione
Vogliamo scrivere l’equazione di Schrödinger nella rappresentazione della posizione. Definiamo pertanto
⟨x|n⟩ =: φn (x) t. c.
⟨x| H|n⟩ = En φn (x)
(1.11)
L’equazione di Schrödinger per il ket |n⟩, proiettata sugli autostati della posizione, si scrive, dunque:
(
)
1
1
⟨x|p2 |n⟩ +
mω 2 x2 − En φn (x) = 0 .
2m
2
Per ottenere l’equazione d’onda per la funzione φn (x) = ⟨x|n⟩, occorre valutare ⟨x|p2 |n⟩. Si trova
⟨x|p2 |n⟩ = −h̄2
d2
φn (x).
dx2
dimostrazione
√
Usiamo ⟨x|p⟩ = eixp/h̄ / 2πh̄ per scrivere:
∫
⟨x|p2 |n⟩
∂2
=
∂
=
∫
dp ⟨x|p2 |p⟩ ⟨p|n⟩ =
=
( ix )2
h̄
−h̄2
∫
xp
xp
ei h̄
dp p2 √
⟨p|n⟩ =
2πh̄
ei h̄
∂2
dp √
⟨p|n⟩ = −h̄2 2
∂x
2πh̄
∫
dp ⟨x|p⟩⟨p|n⟩ =
d2
φn (x)
dx2
Pertanto, l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo risulta
(
)
d2
2m
mω 2 2
φn + 2 En −
x
φn = 0
dx2
2
h̄
(1.12)
Per evitare di appesantire l’algebra, conviene passare ad una forma adimensionale. Siano
√
h̄
,
x0 :=
mω
x
d
1 d
ξ :=
⇒
=
,
x0
dx
x0 dξ
h̄ω
En =:
αn .
2
Allora:
d2
φn + (αn − ξ 2 )φn = 0 .
dξ 2
(1.13)
5
1. Oscillatore Armonico
1B
6
Soluzione dell’equazione di Schrödinger
Prima di cercare la soluzione dell’equazione (1.13), analizziamone il comportamento asintotico (ξ → ∞). Si
ha
2
ξ 2 /2
d2ξ φn − ξ 2 φn ≃ 0
⇒
φn (ξ) ≈ Ae−ξ /2 + Be
| {z }
divergente
Ansatz
Proviamo una soluzione del tipo
φn (ξ) = N Hn (ξ)e−ξ
2
/2
,
2
dove ci aspettiamo che esistano due soluzioni per Hn , l’una dominata asintoticamente dall’esponenziale eξ e
l’altra polinomiale, in modo da ritrovare i due possibili comportamenti asintotici.
Allora:
(
)
ξ2
dHn
d ξ φn = N
− ξHn e− 2
dξ
↓
( 2
)
2
dHn
d Hn
2
−ξ
d2ξ φn = N
−
2ξ
+
(ξ
−
1)H
n e 2
2
dξ
dξ
Dunque, nella (1.13)
d2ξ Hn − 2ξdξ Hn + (αn − 1)Hn = 0
(1.14)
Nota
Il fattore e−
1B.1
ξ2
2
ha eliminato il termine non lineare ∝ ξ 2 φn , ma ne ha prodotto un altro ∝ ξdξ Hn .
Sviluppo in serie degli Hn
Cerchiamo una soluzione del tipo
Hn =
da cui
Hn′
=
∑
k=0
kck ξ
k−1
,
Hn′′
=
∞
∑
ck ξ k
k=0
∑
k=0
k(k − 1)ck ξ k−2 =
∑
k=0 (k
+ 2)(k + 1)ck+2 ξ k .
Inserendo nella (1.14):
(k + 2)(k + 1)ck+2 − 2kck + (αn − 1)ck = 0
ovvero
ck+2 =
−αn + 1 + 2k
ck
(k + 2)(k + 1)
(1.15)
Note
i) Si hanno due soluzioni indipendenti (l’eq. era di secondo ordine), l’una pari e l’altra dispari.
ii) La (1.15) è del tutto equivalente alla (1.13) ! In particolare, essa contiene anche la soluzione che
asintoticamente si comporta ∼ e
Infatti, per grandi k,
ck+2 ≃
Hn ≃ c0
∑
k
2
ck
k
ξ2
2
.
⇒
ck ≃
⇓
1
ξk
(k/2)!
=
c0
c0
(k/2)!
∑ 1
k
k!
ξ 2k = eξ
2
Per impedire la presenza della funzione divergente, occorre che la successione dei ck si interrompa ad un certo
kmax = n (cn ̸= 0, cn+2 = 0). Ciò implica αn = 2n + 1 ∈ N, ovvero
1. Oscillatore Armonico
7
1
En = h̄ω(n + )
2
1B.2
(1.16)
Funzioni d’onda
n=0 (α0 = 1, E0 = h̄ω/2)
c0 ̸= 0
→
ξ2
2
H0 = c0
→
φ0 (ξ) = c0 e−
H1 = c1 ξ
→
φ1 (ξ) = c1 ξe−
n=1 (α1 = 3, E1 = 3h̄ω/2)
c1 ̸= 0
→
ξ2
2
n=2 (α2 = 5, E2 = 5h̄ω/2)
c0 ̸= 0,
c2 = −2c0
→
H2 = c0 (1 − 2ξ 2 )
→
φ2 (ξ) = c0 (1 − 2ξ 2 ) e−
ξ2
2
...
c0 e c1 vanno scelti in modo da normalizzare le ψ.
In generale:
φn (ξ) = Nn Hn (ξ) e−
ξ2
2
con
Nn =
( ) 14
1
1
√
,
π
2n n!
dove i coefficienti iniziali dei polinomi di Hermite sono scelti secondo la convenzione usuale (vedi più giù).
Tornando alle variabili originarie, si ha
(
) 21
( )
2
− x2
1
1
x
√
√
φn (x) =
Hn
e 2x0
(1.17)
x0
x0 π
2n n!
1B.3
Polinomi di Hermite
H0 = 1
H1 = 2ξ
H2 = 4ξ 2 − 2
H3 = 8ξ 3 − 12ξ
H4 = 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12
...
Note
i) Hn ha grado n;
ii) H2n (H2n+1 ) è pari (dispari);
iii) Il coefficiente di ξ n in Hn (ξ) è convenzionalmente 2n .
In generale, i polinomi di Hermite sono definiti tramite la relazione
dn −x2
e
dxn
da cui si vede immediatamente che
Hn (x) := (−1)n ex
2
(1.18)
Hn (−x) = (−1)n Hn (x)
cosicché gli Hn sono alternativamente pari e dispari.
Nella sezione seguente, si mostrerà nuovamente, ma stavolta utilizzando solo la definizione dell’eq. (1.18), che i
polinomi di Hermite moltiplicati per la gaussiana e−
ξ2
2
sono effettivamente soluzione dell’equazione di Schrödinger.
1. Oscillatore Armonico
1B.4
8
Proprietà degli Hn
proprietà 1
Riscrivendo la definizione come
e−x Hn (x) =
2
e derivando, si ottiene
ovvero
(
Hn+1 (x) =
(
−
d
dx
)n
e−x
2
) ( d )n+1
2
2
d ( −x2
e
Hn (x) = −
e−x ≡ e−x Hn+1 (x)
−
dx
dx
)
d
+ 2x Hn (x)
−
dx
(1.19)
Dato H0 (x) = 1, questa relazione consente di costruire tutti gli Hn .
proprietà 2
Ancora dalla definizione:
)
2
2
2
d (
dn+1
dn
Hn (x)e−x
= (−1)n n+a e−x = (−1)n n (−2x) e−x =
dx
dx
dx
[
]
n
2
d
dn−1 −x2
n
−x
= (−1) −2x n e
− 2n n−1 e
=
dx
dx
= −2xHn (x) e−x + 2nHn−1 (x) e−x
2
ovvero
2
d
Hn (x) − 2xHn (x) = −2xHn (x) + 2nHn−1 (x)
dx
⇓
d
Hn (x) = 2nHn−1 (x)
dx
(1.20)
proprietà 3
Mettendo insieme le (1.20) e (1.19), rispettivamente, si ha
(
)
d
d
d
Hn+1 = 2(n + 1)Hn →
−
+ 2x Hn = 2(n + 1)Hn
dx
dx
dx
ovvero
(
)
d2
d
−
2x
+
2n
Hn = 0
dx2
dx
(1.21)
che non è altro che la (1.14) per αn = 2n + 1.
proprietà 4
Ancora, dalle (1.19) e (1.20),
Hn+1 (x) = −
d
Hn (x) + 2xHn (x) = −2nHn−1 + 2xHn
dx
⇓
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x)
(1.22)
proprietà 5
Vale
dimostrazione
∞
∑
2
Hn (x) n
z = e2xz−z
n!
n=0
(1.23)
1. Oscillatore Armonico
∞
∑
Hn (x)
n=0
n!
zn
=
9
2
ex
∞
∑
(−1)n
n=0
=
=
x2
e
exp
e2xz−z
2
n!
{
zn
d
−z
dx
(
}
d
dx
)n
−x2
e
2
2
e−x = ex
∞
(
∑
1
n=0
x2
=e
e
−(x−z)2
=
n!
−z
d
dx
)n
2
e−x =