rot - Gloria FACCANONI

Metodo degli elementi finiti per
l’approssimazione numerica del problema
delle correnti parassite
Gloria Faccanoni
matr. 561907
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.1/24
Panoramica
•
Correnti parassite
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.2/24
Panoramica
•
Correnti parassite
•
Formulazione variazionale in H
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.2/24
Panoramica
•
Correnti parassite
•
Formulazione variazionale in H
•
Potenziale magnetico scalare
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.2/24
Panoramica
•
Correnti parassite
•
Formulazione variazionale in H
•
Potenziale magnetico scalare
•
Elementi finiti
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.2/24
Panoramica
•
Correnti parassite
•
Formulazione variazionale in H
•
Potenziale magnetico scalare
•
Elementi finiti
•
Iterazione per sottodomini
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.2/24
Panoramica
•
Correnti parassite
•
Formulazione variazionale in H
•
Potenziale magnetico scalare
•
Elementi finiti
•
Iterazione per sottodomini
•
Implementazione e prove numeriche
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.2/24
Correnti parassite
Equazioni di Maxwell in regime armonico
(
rot E = −iωµH
rot H = iωεE + σE + Je
Trascurando le correnti di spostamento
si ottiene il modello per le correnti parassite:
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.3/24
Correnti parassite
Equazioni di Maxwell in regime armonico
(
rot E = −iωµH
rot H = iωεE + σE + Je
Trascurando le correnti di spostamento
si ottiene il modello per le correnti parassite:
(
rot E = −iωµH
rot H = σE + Je
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.3/24
Dominio
•
Ω ⊂ R3 dominio computazionale
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.4/24
Dominio
•
Ω ⊂ R3 dominio computazionale
•
ΩC ⊂ Ω conduttore
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.4/24
Dominio
•
Ω ⊂ R3 dominio computazionale
•
ΩC ⊂ Ω conduttore
•
ΩI := Ω \ ΩC isolante perfetto
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.4/24
Dominio
•
Ω ⊂ R3 dominio computazionale
•
ΩC ⊂ Ω conduttore
•
ΩI := Ω \ ΩC isolante perfetto
•
Γ := ∂ΩI ∩ ∂ΩC interfaccia ⇒
(
∂ΩC = Γ
∂ΩI = ∂Ω ∪ Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.4/24
Ipotesi
•
µ(x) e σ(x) sono matrici reali 3 × 3
simmetriche con coefficienti in L∞ (Ω)
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.5/24
Ipotesi
•
µ(x) e σ(x) sono matrici reali 3 × 3
simmetriche con coefficienti in L∞ (Ω)
•
µ(x) uniformemente definita positiva in Ω
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.5/24
Ipotesi
•
µ(x) e σ(x) sono matrici reali 3 × 3
simmetriche con coefficienti in L∞ (Ω)
•
µ(x) uniformemente definita positiva in Ω
•
σ(x)
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.5/24
Ipotesi
•
µ(x) e σ(x) sono matrici reali 3 × 3
simmetriche con coefficienti in L∞ (Ω)
•
µ(x) uniformemente definita positiva in Ω
•
σ(x)
• uniformemente definita positiva in ΩC
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.5/24
Ipotesi
•
µ(x) e σ(x) sono matrici reali 3 × 3
simmetriche con coefficienti in L∞ (Ω)
•
µ(x) uniformemente definita positiva in Ω
•
σ(x)
• uniformemente definita positiva in ΩC
• 0 in ΩI
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.5/24
Ipotesi
•
µ(x) e σ(x) sono matrici reali 3 × 3
simmetriche con coefficienti in L∞ (Ω)
•
µ(x) uniformemente definita positiva in Ω
•
σ(x)
• uniformemente definita positiva in ΩC
• 0 in ΩI
•
H×n=0
su ∂Ω
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.5/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
= σE + Je in Ω
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
= σE + Je in Ω
[Poiché σ|ΩI = 0]
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
= σE + Je in Ω
rot HI
= Je,I in ΩI
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
= σE + Je in Ω
rot HI
= Je,I in ΩI
[Pertanto il dato Je,I deve soddisfare]
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
= σE + Je in Ω
rot HI
= Je,I in ΩI
=0
in ΩI
· nI , 1 >Γj = 0 ∀j = 1, . . . , pΓ − 1
div Je,I
< Je,I
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
rot HI
= σE + Je
= Je,I in ΩI
=0
in ΩI
· nI , 1 >Γj = 0 ∀j = 1, . . . , pΓ − 1
div Je,I
< Je,I
[Poiché H × n = 0 su ∂Ω il dato Je deve
soddisfare inoltre]
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Vincoli per l’esistenza
rot H
rot HI
= σE + Je
= Je,I in ΩI
=0
in ΩI
< Je,I · nI , 1 >Γj = 0 ∀j = 1, . . . , pΓ − 1
Je,I · n = 0
su ∂Ω
div Je,I
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.6/24
Formulazione variazionale in H
rot E
= − iωµH
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
rot E
= − iωµH
[Moltiplicando per una funzione test
v ∈ V ⊂ H0 (rot; Ω) ed integrando su tutto il
dominio Ω...]
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
= − iωµH
Z
Z
iωµH · v + rot E · v = 0
rot E
Ω
Ω
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
= − iωµH
Z
Z
iωµH · v + rot E · v = 0
rot E
Ω
Ω
[Utilizzando la formula di Green...]
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
= − iωµH
Z
Z
iωµH · v + rot E · v = 0
rot E
Ω
Z
Ω
Ω
iωµH · v +
Z
E · rot v = 0
Ω
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
= − iωµH
Z
Z
iωµH · v + rot E · v = 0
rot E
Ω
Z
Ω
[Se
Ω
iωµH · v +
Z
E · rot v = 0
Ω
V := {v ∈ H0 (rot; Ω) | rot vI = 0 in ΩI } ]
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
= − iωµH
Z
Z
iωµH · v + rot E · v = 0
rot E
Ω
Z
Ω
iωµH · v +
Ω
Z
Ω
iωµH · v +
Z
E · rot v = 0
Ω
Z
EC · rot vC = 0
ΩC
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
= − iωµH
Z
Z
iωµH · v + rot E · v = 0
rot E
Ω
Z
Ω
iωµH · v +
Ω
Z
Ω
iωµH · v +
Z
E · rot v = 0
Ω
Z
EC · rot vC = 0
ΩC
−1
rot H = σE + Je ⇒ EC = σ (rot HC − Je,C )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Formulazione variazionale in H
Z
iωµH · v +
Ω
Z
σ −1 rot HC · rot vC =
ΩC
Z
=
σ −1 Je,C · rot vC
ΩC
dove
H ∈ V Je,I := {v ∈ H0 (rot; Ω) | rot vI = Je,I in ΩI }
v ∈ V = {v ∈ H0 (rot; Ω) | rot vI = 0 in ΩI }
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.7/24
Esistenza ed unicità
He ∈ H0 (rot; Ω) tale che
(
rot He,I = Je,I
He,I × n = 0
in ΩI
su ∂ΩI \ Γ
Indichiamo con Z := H − He , allora Z ∈ V ed il
problema diviene...
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.8/24
Esistenza ed unicità
Cercare
Z ∈ V tale che ∀ v ∈ V
A(Z, v) = L(v)
dove
Z
Z
σ −1 rot wC · rot vC + iω µw · v
ΩC
Ω
Z
σ −1 Je,C · rot vC
L(v) := −A(He , v) +
A(w, v) :=
ΩC
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.8/24
Potenziale magnetico scalare
ΩI è semplicemente connesso
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.9/24
Potenziale magnetico scalare
ΩI è semplicemente connesso
v ∈ V = {v ∈ H0 (rot; Ω) | rot vI = 0 in ΩI }
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.9/24
Potenziale magnetico scalare
ΩI è semplicemente connesso
v ∈ V = {v ∈ H0 (rot; Ω) | rot vI = 0 in ΩI }
v|ΩI = ∇ψI ∈ H(rot; ΩI )
1
(ΩI ) (infatti vI × n = 0 su ∂Ω
dove ψI ∈ H0,∂Ω
permette di scegliere ψI = 0 su ∂Ω)
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.9/24
Potenziale magnetico scalare
ΩI è semplicemente connesso
v ∈ V = {v ∈ H0 (rot; Ω) | rot vI = 0 in ΩI }
v|ΩI = ∇ψI ∈ H(rot; ΩI )
1
(ΩI ) (infatti vI × n = 0 su ∂Ω
dove ψI ∈ H0,∂Ω
permette di scegliere ψI = 0 su ∂Ω)
Introduciamo allora lo spazio
1
W := {(vC , ϕI ) ∈ H(rot; ΩC ) × H0,∂Ω
(ΩI ) |
vC × nC + ∇ϕI × nI = 0 su Γ}
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.9/24
Formulazione bidominio
Cercare
Z
(ZC , ψI ) ∈ W tale che ∀ (vC , ϕI ) ∈ W
[iωµC ZC · vC + σ −1 rot ZC · rot vC ]+
ΩZ
C
+
[iωµI ∇ψI · ∇ϕI ] = F (vC , ϕI )
ΩI
dove
Z
F (vC , ϕI ) := −
[iωµI He,I · ∇ϕI ] +
ΩI
Z
−1
+
σ (Je,C − rot He,C ) · rot vC − iωµC He,C · vC
ΩC
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.10/24
Approssimazione di Galerkin
1
W := {(vC , ϕI ) ∈ H(rot; ΩC ) × H0,∂Ω
(ΩI ) |
vC × nC + ∇ϕI × nI = 0 su Γ}
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.11/24
Approssimazione di Galerkin
1
W := {(vC , ϕI ) ∈ H(rot; ΩC ) × H0,∂Ω
(ΩI ) |
vC × nC + ∇ϕI × nI = 0 su Γ}
EF lineari Nédélec
EF lineari Lagrange
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.11/24
EF di Lagrange
•
0
1
H0,∂Ω(ΩI )
VI,h := ψh ∈ C (ΩI ) | ψh|K ∈ Q1 ∀ K ∈ Th
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.12/24
EF di Lagrange
1
H0,∂Ω(ΩI )
0
•
VI,h := ψh ∈ C (ΩI ) | ψh|K ∈ Q1 ∀ K ∈ Th
•
DOF
ψh (aj ) (aj vertici di Th )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.12/24
1
H0,∂Ω(ΩI )
EF di Lagrange
0
•
VI,h := ψh ∈ C (ΩI ) | ψh|K ∈ Q1 ∀ K ∈ Th
•
DOF
•
base
ψh (aj ) (aj vertici di Th )
ϕi,h (aj ) = δij
∀i, j = 0 . . . nh,L
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.12/24
EF di Nédélec
•
H(rot, ΩC )
NC,h := {vh ∈ H(rot; ΩC ) | vh|K ∈
Q0,1,1 × Q1,0,1 × Q1,1,0 ∀ K ∈ Th }
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.13/24
EF di Nédélec
•
•
H(rot, ΩC )
NC,h := {vh ∈ H(rot; ΩC ) | vh|K ∈
Q0,1,1 × Q1,0,1 × Q1,1,0 ∀ K ∈ Th }
Z
DOF
mi (vh ) :=
vh · tds
ei
(ei spigoli di Th )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.13/24
EF di Nédélec
•
•
H(rot, ΩC )
NC,h := {vh ∈ H(rot; ΩC ) | vh|K ∈
Q0,1,1 × Q1,0,1 × Q1,1,0 ∀ K ∈ Th }
Z
DOF
mi (vh ) :=
vh · tds
ei
(ei spigoli di Th )
•
base
mj (wi,h ) =
Z
wi,h · tds = δij
ej
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.13/24
Approssimazione di Galerkin
1
W := {(vC , ϕI ) ∈ H(rot; ΩC ) × H0,∂Ω
(ΩI ) |
vC × nC + ∇ϕI × nI = 0 su Γ}
Wh := {(vC,h , ϕI,h ) ∈ NC,h × VI,h |
vC,h × nC + ∇ϕI,h × nI = 0 su Γ}
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.14/24
Approssimazione di Galerkin
1
W := {(vC , ϕI ) ∈ H(rot; ΩC ) × H0,∂Ω
(ΩI ) |
vC × nC + ∇ϕI × nI = 0 su Γ}
Wh := {(vC,h , ϕI,h ) ∈ NC,h × VI,h |
vC,h × nC + ∇ϕI,h × nI = 0 su Γ}
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.14/24
Formulazione forte
1. rot(σ −1 rot HC ) + iωµC HC = rot(σ −1 Je,C )
2. div(µI ∇ψI ) = − div(µI He,I )
3. ψI = 0
in ΩC
in ΩI
su ∂ΩI \ Γ
4. HC × nC = −∇ψI × nI − He,I × nI su Γ
5. µI ∇ψI · nI = −µC HC · nC − µI He,I · nI su Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.15/24
Formulazione forte
1. rot(σ −1 rot HC ) + iωµC HC = rot(σ −1 Je,C )
2. div(µI ∇ψI ) = − div(µI He,I )
3. ψI = 0
in ΩC
in ΩI
su ∂ΩI \ Γ
4. HC × nC = −∇ψI × nI − He,I × nI su Γ
5. µI ∇ψI · nI = −µC HC · nC − µI He,I · nI su Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.15/24
Formulazione forte
1. rot(σ −1 rot HC ) + iωµC HC = rot(σ −1 Je,C )
2. div(µI ∇ψI ) = − div(µI He,I )
3. ψI = 0
in ΩC
in ΩI
su ∂ΩI \ Γ
4. HC × nC = −∇ψI × nI − He,I × nI su Γ
5. µI ∇ψI · nI = −µC HC · nC − µI He,I · nI su Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.15/24
Formulazione forte
1. rot(σ −1 rot HC ) + iωµC HC = rot(σ −1 Je,C )
2. div(µI ∇ψI ) = − div(µI He,I )
3. ψI = 0
in ΩC
in ΩI
su ∂ΩI \ Γ
4. HC × nC = −∇ψI × nI − He,I × nI su Γ
5. µI ∇ψI · nI = −µC HC · nC − µI He,I · nI su Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.15/24
Procedura Dirichlet-Neumann
Dato λ0h ∈ NΓ,h (spazio discreto della traccia di
NC,h su Γ),
per ogni k ≥ 0 calcolare HkC,h ∈ NC,h tale che per
0
:= NC,h ∩ H0 (rot; ΩC )
ogni vC,h ∈ NC,h
Z
−1
k
k


σ rot HC,h · rot vC,h + iωµC HC,h · vC,h =


 ΩZ
C
−1
Je,C · rot vC,h
=
σ



ΩC

 k
HC,h × nC = −λkh − He,I,h × nI
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.16/24
Procedura Dirichlet-Neumann
k
quindi calcolare ψI,h
∈ VI,h tale che per ogni
0
1
ϕI,h ∈ VI,h
:= VI,h ∩ H0,∂Ω
(ΩI )
Z
k
µI ∇ψI,h
· ∇ϕI,h =
ΩI Z
Z
µI He,I,h · ∇ϕI,h − µC HkC,h · nC ϕI,h
=−
ΩI
Γ
e aggiornare il dato
k
k
λk+1
=
(1
−
ϑ)λ
+
ϑ
(∇ψ
I,h × nI )
h
h
su Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.16/24
Dominio Computazionale
1
z
•
Ω = (0, 1) × (0, 2) × (0, 1)
•
ΩC = (0, 1) × (0, yΓ ) × (0, 1)
•
ΩI = (0, 1) × (yΓ , 2) × (0, 1)
•
Γ = {(x, yΓ , z) | x, z ∈ (0, 1) }
•
HC × nC = 0 su ∂ΩC ∩ ∂Ω
0
x
1
1
y
2
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.17/24
Convergenza
Errore all’iterazione k-esima:
ΞkC = HC − HkC
ξIk = ψI − ψIk

k
k
−1

rot
Ξ
)
+
iωµ
Ξ
rot
(σ
C C = 0 in ΩC

C
ΞkC × nC = 0
su ∂ΩC

 Ξk × n = −χk
su Γ
C
C
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.18/24
Convergenza

k

∇ξ
−
div
(µ
I

I) = 0
µI ∇ξIk · nI = −µC ΞkC · nC

 ξk = 0
I
in ΩI
su Γ
su ∂ΩI \ Γ
χk+1 = (1 − ϑ)χk + ϑ(∇ξIk × nI )
su Γ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.18/24
Risultati numerici
•
indipendenza da h
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.19/24
Risultati numerici
•
indipendenza da h
•
determinazione del parametro di
rilassamento ϑ ottimale
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.19/24
Risultati numerici
•
indipendenza da h
•
determinazione del parametro di
rilassamento ϑ ottimale
•
robustezza rispetto a yΓ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.19/24
Risultati numerici
•
indipendenza da h
•
determinazione del parametro di
rilassamento ϑ ottimale
•
robustezza rispetto a yΓ
•
robustezza rispetto ai parametri ω, σ, µ
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.19/24
Indipendenza da h, λ : Γ −→ R
Errore con yΓ=1/2
5
10
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
0
10
Errore
3
−5
10
−10
10
−15
10
0
1
10
10
Numero di iterazioni
Errore
:= ||ΞkC ||2H(rot;ΩC ) + ||∇ξIk ||2L2 (ΩI )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.20/24
Indipendenza da h, λ : Γ −→ R
Errore con yΓ=1
5
10
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
0
10
Errore
3
−5
10
−10
10
−15
10
0
1
10
10
Numero di iterazioni
Errore
:= ||ΞkC ||2H(rot;ΩC ) + ||∇ξIk ||2L2 (ΩI )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.20/24
Indipendenza da h, λ : Γ −→ R
Errore con yΓ=3/2
5
10
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
0
10
Errore
3
−5
10
−10
10
−15
10
0
1
10
10
Numero di iterazioni
Errore
:= ||ΞkC ||2H(rot;ΩC ) + ||∇ξIk ||2L2 (ΩI )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.20/24
Indipendenza da h, λ : Γ −→ C
Errore con yΓ=1/2
5
10
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
0
10
Errore
3
−5
10
−10
10
−15
10
0
1
10
10
Numero di iterazioni
Errore
:= ||ΞkC ||2H(rot;ΩC ) + ||∇ξIk ||2L2 (ΩI )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.21/24
Indipendenza da h, λ : Γ −→ C
Errore con yΓ=1
5
10
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
0
10
Errore
3
−5
10
−10
10
−15
10
0
1
10
10
Numero di iterazioni
Errore
:= ||ΞkC ||2H(rot;ΩC ) + ||∇ξIk ||2L2 (ΩI )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.21/24
Indipendenza da h, λ : Γ −→ C
Errore con yΓ=3/2
5
10
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
0
10
Errore
3
−5
10
−10
10
−15
10
0
1
10
10
Numero di iterazioni
Errore
:= ||ΞkC ||2H(rot;ΩC ) + ||∇ξIk ||2L2 (ΩI )
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.21/24
ϑ ottimale
λ : Γ −→ R
3
yΓ = 1
Numero di iterazioni
25
20
15
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
h=1/18
10
5
0.5
1
Parametro di rilassamento ϑ
1.5
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.22/24
ϑ ottimale
λ : Γ −→ R
yΓ = 1/2
Numero di iterazioni
20
18
16
14
yΓ = 3/2
25
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
h=1/18
Numero di iterazioni
22
3
12
20
15
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
h=1/18
10
10
8
0.5
1
Parametro di rilassamento ϑ
1.5
5
0.5
1
Parametro di rilassamento ϑ
1.5
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.22/24
ϑ ottimale
λ : Γ −→ C
3
yΓ = 1
22
Numero di iterazioni
20
18
16
14
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
h=1/18
12
10
8
0.5
1
Parametro di rilassamento ϑ
1.5
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.22/24
ϑ ottimale
λ : Γ −→ C
yΓ = 1/2
Numero di iterazioni
20
18
16
14
yΓ = 3/2
25
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
h=1/18
Numero di iterazioni
22
3
12
20
15
h=1/4
h=1/6
h=1/8
h=1/10
h=1/12
h=1/14
h=1/16
h=1/18
10
10
8
0.5
1
Parametro di rilassamento ϑ
1.5
5
0.5
1
Parametro di rilassamento ϑ
1.5
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.22/24
Robustezza rispetto a k := ωσµ,
λ : Γ −→ R
H
H
H
h
3
k
H
H
1/6
1/8
1/10
1/12
1/14
1/16
1/18
10−1 1 10 102
HH
11
12
14
14
15
15
14
8
9
9
8
8
8
8
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
3
4
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.23/24
Robustezza rispetto a k := ωσµ,
λ : Γ −→ R
H
H
H
h
3
k
H
H
1/6
1/8
1/10
1/12
1/14
1/16
1/18
10−1 1 10 102
HH
11
12
13
14
14
14
14
8
8
8
8
8
8
8
5
5
5
5
5
5
5
4
3
3
3
3
3
3
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.23/24
Robustezza rispetto a k := ωσµ,
λ : Γ −→ R
H
H
H
h
3
k
H
H
1/6
1/8
1/10
1/12
1/14
1/16
1/18
10−1 1 10 102
HH
11
12
14
15
15
15
14
8
8
9
9
8
8
8
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.23/24
Robustezza rispetto a k := ωσµ,
λ : Γ −→ C
H
H
H
h
3
k
H
H
1/6
1/8
1/10
1/12
1/14
1/16
1/18
10−1 1 10 102
HH
11
12
13
14
14
14
14
8
8
9
8
8
8
8
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
3
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.24/24
Robustezza rispetto a k := ωσµ,
λ : Γ −→ C
H
H
H
h
3
k
H
H
1/6
1/8
1/10
1/12
1/14
1/16
1/18
10−1 1 10 102
HH
11
12
13
14
14
14
14
8
8
8
8
8
8
8
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
3
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.24/24
Robustezza rispetto a k := ωσµ,
λ : Γ −→ C
H
H
H
h
3
k
H
H
1/6
1/8
1/10
1/12
1/14
1/16
1/18
10−1 1 10 102
HH
11
12
13
14
15
14
15
8
8
9
9
8
8
8
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
3
Metodo degli elementi finiti per l’approssimazione numerica del problema delle correnti parassite – p.24/24