Misurare

Prof. M. C. Capizzo
MODULO 1
Conoscere e misurare le
grandezze
Cos’è la Fisica?
Indagine sulla natura con gli strumenti matematici
MECCANICA
TERMODINAMICA
ELETTROMAGNETISMO
movimento dei
corpi
fenomeni termici
fenomeni elettrici e magnetici
……
Cosa sono le Grandezze Fisiche?
Caratteristiche del fenomeno in esame che si
possono misurare oggettivamente.
Misurare significa confrontare la grandezza
con un’altra di riferimento detta Unità di
Misura
Unità di Misura
Ad ogni grandezza è associata una specifica
unità di misura. Per esempio, una superficie
si misura in metri quadri (m2), un volume si
misura in metri cubi (m3) oppure in litri (l),
una lunghezza in metri (m).
Spesso è utile utilizzare i multipli o i
sottomultipli di tali unità di misura, espressi
come potenze del 10.
Multipli e sottomultipli
PREFISSO VALORE
SIMBOLO
PREFISSO VALORE
SIMBOLO
DECA
10
da
DECI
10-1
d
ETTO
102
h
CENTI
10-2
c
KILO
103
k
MILLI
10-3
m
MEGA
106
M
MICRO
10-6

GIGA
109
G
NANO
10-9
n
TERA
1012
T
PICO
10-12
p
PETA
1015
P
FEMTO
10-15
f
Equivalenze unidimensionali
Le equivalenze tra unità omogenee unidimensionali si
effettuano moltiplicando (se si passa a unità più piccola) o
dividendo (se si passa a unità più grande) la misura tante
volte per 10 quanti sono i “posti” tra le due unità,
considerando la tabella precedente.
Esempio:
32Gb a quanti Mb corrispondono?
32Gb = 32 x 1000Mb = 32000Mb
Perché 1Gb = 1000Mb (infatti tra M e G ci sono 3 posti).
Equivalenze bidimensionali
Le equivalenze tra unità omogenee bidimensionali si
effettuano moltiplicando (se si passa a unità più piccola) o
dividendo (se si passa a unità più grande) la misura tante
volte per 102 (100) quanti sono i “posti” tra le due unità,
considerando la tabella precedente.
Esempio:
125 m2 a quanti cm2 corrispondono?
125 m2 = 125 x 102 x 102 cm2 = 1250000 cm2
Perché 1 m2 = 10000 cm2 (infatti tra m e cm ci sono 2 posti).
Equivalenze tridimensionali
Le equivalenze tra unità omogenee tridimensionali si
effettuano moltiplicando (se si passa a unità più piccola) o
dividendo (se si passa a unità più grande) la misura tante
volte per 103 (1000) quanti sono i “posti” tra le due unità,
considerando la tabella precedente.
Esempio:
5400 dm3 a quanti m3 corrispondono?
5400 dm3 = 5400 x 10-3 m3 = 5.4 m3
Perché 1 dm3 = 10-3 m3 (infatti tra dm e m c’è un solo posto).
Volumi espressi in litri
Spesso risulta utile esprimere i volumi in multipli o
sottomultipli del litro, piuttosto che in multipli o
sottomultipli del metro cubo. Si pensi, ad esempio,
ai volumi di cilindrata dei motori, espressi in litri.
L’equivalenza di base è la seguente:
1 litro = 1 dm3
Quindi
1 m3 = 103 dm3 = 103 litri = 1000 litri
Problemi con le misure
• Misure diverse della stessa grandezza devono
essere compatibili e convertibili
• Ognuno, in ogni parte del mondo, deve poter usare
il più possibile le stesse unità di misura
• Problema di gestione di dati provenienti da
misurazioni effettuate con unità diverse e poco
convertibili
• Necessità di un unico sistema di unità di misure
Sistema Internazionale (SI)
Grandezza
fondamentale
Lunghezza
Unità di misura
Simbolo
metro
m
Massa
chilogrammo
kg
Tempo
secondo
s
Corrente elettrica
Ampere
A
Temperatura
grado Kelvin
K
Intensità luminosa
candela
cd
Quantità di sostanza mole
mol
Il Metro
Scelto come unità di misura alla fine del 1700,
definito come la quarantamilionesima parte del
meridiano terrestre. Il campione del metro è stato
costruito tracciando due incisioni su una barra di
platino e iridio, conservata al Museo dei Pesi e
delle Misure di Sévres (Parigi). Dal 1983 il metro
è stato ridefinito come la distanza percorsa dalla
luce nel vuoto in 1/299792458-esimo di secondo
circa, quasi un trecentomilionesimo di secondo.
Il Kilogrammo
Si chiama kilogrammo la massa di un cilindro
costituito da una lega di platino e iridio che
misura 39 mm in altezza e 39 mm in
diametro. Anch’esso, come nel caso del
metro, si trova al Museo dei Pesi e delle
Misure di Sévres, a Parigi. Esiste la copia n°
62 del kilogrammo campione anche in
Italia, presso l’Istituto di Metrologia
“Gustavo Colonnetti”, a Torino.
Il Secondo
Il secondo è una frazione del giorno solare
medio. In particolare esso è l’86400-esima
parte del giorno solare medio.
Data la variabilità del giorno solare medio,
oggi il campione di tempo corrisponde al
tempo di 9192631770 oscillazioni delle
onde emesse dal Cesio 133 in una
particolare transizione atomica.
Il grado Kelvin
E’ la centesima parte della “distanza termica”
tra il punto triplo dell’acqua distillata
(ghiaccio fondente) e il punto di ebollizione
della stessa. Esso possiede la stessa
ampiezza del grado Celsius (o centigrado).
La scala Kelvin presenta lo zero assoluto,
temperatura minima limite e non
raggiungibile in natura.
L’Ampere
L’Ampere è l’intensità di corrente elettrica
che circola in un conduttore quando, per
una sezione di esso, passa la carica di 1
Coulomb ogni secondo.
La Mole
La mole viene definita come la quantità di
sostanza di un sistema che contiene un
numero di entità elementari (atomi,
molecole, ioni, radicali, elettroni, fotoni,
ecc…) pari al numero di atomi presenti in
12 grammi di carbonio-12. Tale numero è
noto come Numero di Avogadro, ed è pari a
6.022×1022.
La Candela
Una candela è pari all’intensità luminosa, in
una data direzione, di una sorgente
emettente una radiazione monocromatica di
frequenza pari a 540×1012 hertz (Hz) e di
intensità radiante in quella direzione di
1/683-esimo di watt per steradiante.
Grandezze Fondamentali e
derivate
Le sette grandezze appartenenti al SI si
chiamano Grandezze Fondamentali. Da esse
è possibile ricavare nuove grandezze, dette
grandezze derivate, attraverso le classiche
quattro operazioni matematiche, ma solo
sotto opportune condizioni.
Operazioni tra grandezze
• Due o più grandezze, sia fondamentali che
derivate, si possono sommare e/o sottrarre
solo se sono omogenee, ossia uguali in tutto
e per tutto (lo stesso vale per gli operatori di
confronto >, <, =, ecc…).
• Due o più grandezze, sia fondamentali che
derivate, si possono moltiplicare e/o
dividere anche se non sono omogenee.
Esempi di operazioni
•
•
•
•
•
•
5 m + 27 m = 32 m
10 s – 5 m non ha senso!
42 m ÷ 13 s = 3.23 m/s
12 m/s ÷ 6 s = 2 m/s2
15 m/s2 + 45 m/s non ha senso!
0.5 m × 0.2 m = 0.1 m2
Alcune grandezze derivate
•
•
•
•
•
•
•
Velocità (m/s)
Accelerazione (m/s2)
Densità (kg/m3)
Forza (N = kg×m/s2) N sta per Newton
Energia (J = N×m) J sta per Joule
Potenza (W = J/s) W sta per Watt
Carica elettrica (C = A×s) C sta per Coulomb
Notazione scientifica
Nella notazione scientifica si indica il risultato di una misura tramite le
potenze di 10
Il numero viene scritto mettendo la virgola dopo la prima cifra diversa
da zero e moltiplicandolo per una opportuna potenza di 10, positiva
o negativa
x  a  10 b
a  numero reale 1  a  10
b  numero intero positivo o negativo
Esempi:
456,7 kg
4,567∙102 kg
0,00345 kg
3,45∙10-3 kg
Ordine di grandezza
• Si definisce ordine di grandezza di un numero la potenza di
10 che meglio lo approssima
• Per determinare l’ordine di grandezza di un numero x si
procede nel modo seguente:
– si scrive il numero in notazione scientifica, nella forma
x=a10b
– se |a | < 5, l’ordine di grandezza del numero x è 10b
– se |a | ≥ 5, l’ordine di grandezza del numero x è 10b +1
Esempi:
– massa della Terra = 5,981024kg → o.d.g. = 1025kg
– massa del protone = 1,6710-27kg → o.d.g. = 10-27kg
Cifre significative
Le cifre significative di una misura sono le cifre certe e la prima cifra
incerta.
Esempio: risultati di misure forniti con diversi numeri di cifre
significative:
1 cifra significativa:
5 m ; 0,006 km
Gli zeri che precedono la prima cifra non nulla non sono cifre
significative!
2 cifre significative:
3,0 m ;
0,40 m
Gli zeri che seguono l’ultima cifra non nulla sono cifre
significative! Nel secondo caso lo zero prima della virgola non è
una cifra significativa, mentre il secondo zero è una cifra
significativa
Cifre significative in somme e differenze
70,6
m+
24,02
m+
122,157
m=
77,03 m
146,177
m
77,0
146,18
m
6,43 m =
Risultati corretti
m
Il risultato di una addizione (o di una sottrazione) va espresso con un
numero di cifre dopo la virgola pari a quelle dell’addendo con meno
cifre dopo la virgola
Gli arrotondamenti vanno fatti per difetto se la cifra che segue l’ultima cifra
significativa è <5, per eccesso se tale cifra è >5. Se la cifra dopo l’ultima cifra
significativa è un 5, e non è seguita da altre cifre, l’arrotondamento va fatto
per difetto; se invece essa è seguita da altre cifre, si arrotonda per eccesso
Cifre significative in prodotti e rapporti
Esempio: misura delle dimensioni di un rettangolo con un metro
Accuratezza della
misura: ±0,1cm
b = 6,4 cm
a = 11,6 cm
 I valori misurati a e b hanno rispettivamente 3 e 2 cifre significative
 Calcoliamo l’area A = a b = 74,24 cm2
 Il risultato corretto è A=74 cm2 (2 cifre significative, come b)
Il risultato di un prodotto va espresso con un numero di cifre
significative pari a quello del fattore che ha meno cifre significative
Strumenti di misura
Gli strumenti di misura sono oggetti che ci
permettono, più o meno facilmente, di
confrontare la misura di una certa grandezza con
l’unità di misura di riferimento. Essi devono
avere tre caratteristiche fondamentali:
1. Portata
2. Sensibilità
3. Prontezza
La Portata
La portata di uno strumento di misura indica
la misura massima che lo strumento è in
grado di effettuare. Per esempio, una
bilancia dalla portata di 5 kg non è in grado
di misurare la massa di un essere umano
adulto, evidentemente maggiore di 5 kg.
La Sensibilità
La sensibilità di uno strumento di misura
indica la più piccola variazione della
grandezza che lo strumento riesce a rivelare.
Per esempio, una bilancia la cui sensibilità è
di 0.1 kg non è adatta a misurazioni di
precisione, per esempio di piccolissime
quantità di metalli preziosi.
La Prontezza
La prontezza di uno strumento di misura
indica il tempo impiegato dallo strumento a
rivelare la misurazione. Strumenti come
cronometri ad altissima precisione hanno
bisogno ovviamente di una prontezza molto
elevata. La prontezza non è importante
quando si eseguono misurazioni grossolane
con margini di errore elevati.
Altre proprietà degli strumenti di
misura
Strumenti analogici
Strumenti digitali
Sono quelli in cui la
misura rivelata la si legge
attraverso una apposita
scala graduata (es. il metro
del falegname oppure gli
strumenti ad ago come gli
amperometri analogici).
Sono quelli in cui la misura
rivelata la si legge sotto
forma di cifre (es. strumenti
con schermi a cristalli
liquidi, ecc…). La parola
“digitale” deriva dall’inglese
“digit”, che significa “cifra”.
Alcuni strumenti analogici
Metro a nastro
Orologio a lancette
Voltmetro ad ago
Alcuni strumenti digitali
Metro a ultrasuono
Orologio al quarzo
Voltmetro elettronico
Misure dirette e indirette
Misure dirette
Sono quelle misure che
vengono
rivelate
direttamente da uno
strumento di misura.
Sono misure dirette
quelle di lunghezze,
tempi, masse, ecc…
Misure indirette
Sono quelle misure che
risultano dopo opportuni
calcoli matematici. Sono
misure indirette quelle di
superfici, di volumi, di
accelerazioni, ecc…
Misure dirette e indirette
Per scrivere il risultato di una misura, per esempio una lunghezza, si usa la
seguente notazione:
A = (12,7 ± 0,1 ) cm
Associare un errore alla grandezza, in questo caso pari a 0,1 cm, significa
determinare un intervallo di valori all’interno del quale la misura è certamente
compresa. Nell’esempio A ha sicuramente un valore compreso tra 12,6 cm e 12,8
cm.
UNA SINGOLA MISURA: incertezza
dello strumento o SENSIBILITA’
DIRETTA
SERIE DI MISURE: si calcola la
semidispersione
MISURA
INDIRETTA
Regole di propagazione degli errori
Serie di misure
Talvolta può essere necessario eseguire più volte la misura di una stessa
grandezza.
Nel caso di misure ripetute della stessa grandezza, il risultato della misura è
dato dal valore medio dei dati raccolti,
x1  x2  ..  xN
xm 
N
Mentre l’errore assoluto da associare è detto semidispersione dei dati e si
calcola come:
Ea 
x max  x min
2
dove xmax e xmin sono rispettivamente il valore più grande e quello più piccolo
misurati.
Errori nelle misure
Gli errori che si commettono quando si eseguono delle misure si
possono classificare in DUE categorie:
SISTEMATICI
Si ripetono sempre allo stesso
modo: influenzano la misura
sempre per eccesso o per difetto
ERRORI
CASUALI
Sono quelli che capitano per caso:
influenzano la misura sia per
eccesso sia per difetto
Valutare la qualità di una misurazione
L’errore che si associa ad una misura ci fornisce l’incertezza con
cui è nota la grandezza: si tratta di un errore assoluto
Per fornire informazioni sulla precisione di una misurazione
effettuata si utilizza l’errore relativo o l’errore percentuale.
ERRORI
ASSOLUTO
SINGOLA MISURA: sensibilità dello
strumento;
SERIE DI MISURE: semidispersione
RELATIVO
EA
MG
PERCENTUALE
dove EA è l’errore assoluto e
MG è la misura della grandezza
Errore relativo moltiplicato per 100
Errori nelle misure indirette
Quando la grandezza C non può essere misurata direttamente ma
viene calcolata tramite operazioni matematiche, l’errore da
associare segue le seguenti regole:
SOMMA: A + B
E C = EA + E B
DIFFERENZA: A - B
GRANDEZZA
C
PRODOTTO: A ∙ B
e C = eA + eB
QUOZIENTE: A / B
EC = ec ∙ C