Semplici simmetrie - francescopoli.net

Le equazioni di alcune sempli ci simmetrie
r
P
1. Definizioni
1°) Duep unti P e P’ si dicono simmetrici rispetto a d una retta rs e
la retta r è l’ass e del s eg mento PP’.
2°) Un luogo geometrico di punti (una retta, una pa rabo la, una curva eccetera) s i
ic
d e s immetrico risp etto ad una retta r se, comunque s i s celga un punto P
appa rtenente a ta le luogo, a nch e il punto P’, s immetrico di P risp etto ad r, vi
appa rtiene.
3°) Da to un luogo geometrico di punti, s i dice luogo geometrico ad esso s immetrico
ir sp etto ad una retta r l’ins ieme di tutti i punti s immetrici a i punti di pa rtenza .
4°) Unpunto P che coincide co n il s uo simmetrico P’ si dicepunto unito.
2. Simmetria rispetto ad una retta orizzontale y = y
0
Come si vede dalla figura, doven do la retta
yP
P
y = y0
H
y = y 0 essere l’asse del
segmento PP’, il punto H è il punto medio di PP’ pertanto sussistono le
seguenti proprietà che permettono di trovare l’equazione della simmetria
cercata:

 xP = xP '


 yP + yP '

= y0

2

P'
yP '
P'
x P = xP '
⇒
x ' = x


y ' = 2y 0 − y

2
Esempio: Data la parabola di equazione y = x + x + 1 troviamo la
parabola ad essa simmetrica rispetto alla retta y = 2 .
Scriviamo l’equazione della simmetria rispetto alla retta data ed
invertiamola:
x ' = x

y ' = 2y 0 − y = 4 − y

⇒
x = x '




y = 4 −y '


y =2
Inseriamo ora il risultato all’interno dell’equazione originaria; abbiamo
xV =−
2
4 − y ′ = (x ′ ) + x ′ + 1
1
2
e cioè, togliendo gli apici dalle variabili, che ora non occorrono più:
y = −x 2 − x + 3 .
x = x0
Si notino in figura i due punti uniti, intersezione delle due parabole.
3. Simmetria rispetto ad una retta verticale x = x
0
y P = yP '
P'
P
H
Come si vede dalla figura, dovendo la retta x = x 0 essere l’asse del
segmento PP’, il punto H è il punto medio di PP’ pertanto sussistono le
seguenti proprietà che permettono di trovare l’equazione della
simmetria cercata:
xP
xP '
x + xP '
= x0
 P
2


yP ′ = yP

⇒
x ′ = 2x 0 − x



y ' = y


2
Esempio: Data la parabola di equazione y = x + x + 1 troviamo la
parabola ad essa simmetrica rispetto alla retta x =
1
.
4
Scriviamo l’equazione della simmetria rispetto alla retta data ed
invertiamola:

1
x ' = 2x 0 − x = − x
2


y ' = y

⇒

1


x = −x '

2




y =y'




xV =−
1
2
2
1
2
Inseriamo ora il risultato all’interno dell’equazione originaria; abbiamo y ′ =  − x ′ +


2
cioè, togliendo gli apici dalle variabili, che ora non occorrono più: y = x − 2x +
4. Simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante
x=
1
4
1
−x′ +1 e
2
7
.
4
y =x
Al solito il punto H è il punto medio di PP’, ed inoltre si dovrà avere x H = yH dato che esso appartiene alla
bisettrice:
x
 P

 yP


+ xP '
= xH
2
+ yP '
= yH
2
y=x
⇒
xP + xP '
y + yP '
= P
2
2
P
H
P'
Una seconda condizione ci viene fornita dall’altra proprietà dell’asse, la
perpendicolarità della retta per PP’ alla bisettrice:
mPP ′ = −
y − yP
1
= −1 = P ′
m
xP ′ − x P
⇒
y′ − y = x − x′
mettendo a sistema:

x − x ′ = y ′ − y


x + x ′ = y ′ + y


⇒
x ′ = y

y ′ = x

⇒
x = y ′

y = x ′

Applicando una tale simmetria, come si vede, si invertono i ruoli dell’asse delle ascisse e delle ordinate.
2
Pertanto la generica parabola con asse parallelo a quello delle ordinate y = ax + bx + c , ha per
simmetrica, rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, la generica parabola con asse parallelo a quello delle
2
ascisse: x = ay + by + c .