Esercitazioni statistiche - Alla directory superiore

Esercitazioni statistiche
Questa esperienza è divisa in due parti:


simulazione di un pallinometro
misure con un contatore Geiger
Il Pallinometro
“Pallinometro” è il nomignolo dato dagli studenti al quinconce di Galton (da Francis Galton (1822-1911),
scienziato britannico), un semplice strumento che evidenzia un comportamento casuale. Esso è costituito
da una tavola verticale su cui sono disposti dei chiodini “a quinconce” (vedi figura), su N file orizzontali. Se
si lasciano cadere dall’alto delle palline di diametro inferiore alla distanza tra i chiodini e superiore alla sua
metà (o poco meno), queste cadranno incontrando i chiodi e, quindi, a seconda di come avviene l’urto,
andranno a destra o a sinistra.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sotto sono disposti dei “bidoncini” (“bin”) che raccolgono le palline. Dopo averne lanciate un certo numero,
si “forma” nei bidoncini un “istogramma”.
Analizziamo il dispositivo. Ad ogni fila di chiodi che incontra la pallina, avviene una scelta tra il deviare a
destra (D) e a sinistra (S). Possiamo quindi descrivere il percorso della pallina come una successione del tipo
SSDSDDDSSDS… di N successivi valori. Il bidoncino dove cade la pallina non dipende dalla successione degli
S e D, ma solo dal numero totale degli s o dei D e dal numero N delle file di chiodi.
È chiara l’analogia con le prove alla Bernoulli. Se per esempio chiamiamo “successo” la scelta D, i bidoncini
possono essere numerati da sinistra a destra con i numeri da 0 a N e la pallina cade nel bidoncino k se sono
k le volte che ha “scelto” di andare a destra.
k quindi è una variabile casuale discreta con distribuzione
N 1
P(k ; N )  pk    N
k  2
(1.1)
che è la binomiale con p  q 
1
.
2
Se lanciamo M palline, il numero aspettato di palline in ciascun bin è dato da
(1.2)
N 1
tk  M  P(k ; N )  M    N
k  2
I tk sono i valori “teorici” o “aspettati” del numero di palline nei bin; non sono, se non in casi molto rari,
interi (per esempio se M  2N ).
Scegliendo N (il numero delle file di chiodi) almeno pari a 20, eseguire alcune serie di “lanci” con M = 30,
100, 300, 1000, 3000, 10000, riportando sul quaderno i risultati “sperimentali” s k e gli istogrammi, divisi in
due figure, una con M = 30, 100, 300 e una con M = 1000, 3000, 10000. Per almeno una serie, riportare
sulla figura dell’istogramma anche i valori aspettati tk . Graficare tutti gli istogrammi in una sola figura su un
foglio di carta semilog, insieme anche all’andamento teorico (in un foglio semilog l’andamento teorico ha
sempre la stessa forma, a parte uno scorrimento in alto o in basso). Calcolare la media di k.
Perché 30, 100, 300, 1000, 3000 e 10000 ? Vedi in Appendice “La scala logaritmica”.
Ulteriori riflessioni
Ripetiamo L volte un numero M di lanci. Consideriamo il bin k, caratterizzato da un valore aspettato tk ; per
ognuna delle L serie, segniamo il valore sperimentale s k : come sono distribuiti gli s k ? È facile rendersi
conto che si tratta di una distribuzione binomiale in cui M sono le prove ripetute e p  pk  tk / M ; gli s k
potranno prendere i valori m con 0  m  M , ciascuno con probabilità
M 
Prob(m; pk , M )    pkm (1  pk ) M m
m 
(1.3)
Poiché tk è in genere piccolo e M grande, spesso si approssima questa alla distribuzione di Poisson
Prob(m;t k ) 
(1.4)
e  tk tkm
m!
Ricordiamo ora che la distribuzione di Poisson ha una deviazione standard    , quindi la dispersione
relativa è
1

1
1
e, se sk è abbastanza grande, la dispersione relativa è circa
. Infatti



sk

tk
vediamo che, tanto più grande è il numero di palline che vanno in un bin, tanto più piccolo è l’errore
percentuale tra sk e tk .
Ulteriori analisi
o
2
Eseguire il test del  per almeno una serie tra s k e tk (prendere il livello di fiducia pari a 0.95).
o
Supponendo che non sia p 
sperimentali di una serie.
1
la probabilità per la pallina di andare a destra, stimarla dai valori
2
Misure col contatore
Lo strumento a disposizione è un contatore Geiger-Muller Ludlum
Modello 26. Le caratteristiche principali sono le seguenti:
RADIATION
DETECTOR: pancake
RANGE: 1 cpm to 99.9 kcpm
GM
(Geiger-Mueller)
detector
WINDOW AREA: Active: 2.3 in² (15 cm²); Open: 1.9 in² (12.2 cm²)
EFFICIENCY (4π) (surface plane): Alpha: 11% - 239Pu; Beta: 18% 99
Tc; 25% - 32P; Gamma: 3300 cpm/mR/hr (137Cs)
RESOLVING TIME: approximately 100 microsec as defined by IEC 6325
Il contatore ha due pulsanti, On/Ack e Mode:
 On/Ack gestisce l’accensione e lo spegnimento (se è spento, lo si
accende con una pressione di un secondo, se è acceso lo si spegne
con una pressione di 5 secondi) e varie particolarità a seconda del
modo operativo.
 Mode serve per scegliere tra i 3 modi operativi:
o Normal che indica il numero di conteggi al minuto o al
secondo (“rate”).
o Max che dà un allarme quando si supera un certo valore
del rate
o Scaler (usato in genere per bassi valori di radioattività),
che indica il numero di conteggi in un dato periodo di tempo. In questo modo con una
breve pressione sul primo pulsante si resetta il display e con una successiva si fa partire
un nuovo periodo.
Per entrare nel modo di setup occorre che, appena acceso lo strumento, dopo che appare 0.0 cps
o cpm sul display, si prema tre volte il pulsante mode (entro 4 secondi). A questo punto si possono
modificare i vari parametri di setup, spingendo On/Ack, nel seguente ordine:





unità del rate di conteggio (cpm o cps) [default: cpm]
tempo di risposta
[default: 0]
rate di auto-risposta
[default: F]
punto di allarme per il rate
[default: 0]
punto di allarme scaler
[default: 0]

tempo dello scaler (0 conteggio continuo)

modi operazionali
[default: 0]
Per la nostra esperienza useremo il modo Scaler e ci interessa solo il “settaggio” del tempo dello
scaler, ma è bene che gli altri settaggi siano sul default. Per modificare il tempo, usare i due
pulsanti, On/Ack per scegliere quale cifra e Mode per sceglierne il valore.
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I conteggi del contatore sono dovuti a



raggi cosmici (per lo più provenienti dall’alto)
decadimenti radioattivi (in vicinanza di materiali radioattivi, anche gassosi)
rumore elettronico (cioè non vere particelle “contate”, ma fluttuazioni delle correnti degli
amplificatori e disturbi esterni)
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Questa esperienza è divisa in due parti:
1. valutazione del λ (il rate, ovvero il numero di conteggi medi al secondo) per misure
a) a contatto col tufo
b) con uno schermo in metallo
c) lontano dal tufo con il rivelatore orizzontale
d) lontano dal tufo con il rivelatore verticale
Per queste misure si pone il tempo dello scaler a 5 minuti e lo strumento nel modo Scaler e
quindi si fanno le 4 misure. I λ cercati sono dati dai conteggi ottenuti diviso 300 s. Dai valori di
queste misure possiamo anche valutare quale è la percentuale di raggi cosmici e di rumore
elettronico.
2. verifica della distribuzione di Poisson.
Per queste misure poniamo il tempo dello scaler a 5 secondi. Quindi, posto il contatore a
contatto col tufo, facciamo (circa) 100 misure. Facciamo quindi l’istogramma delle misure e
calcoliamo l’istogramma teorico (calcolando il μ dalla media delle misure fatte e/o dalla misura
precedente su 5 minuti).
Discutere i risultati.