parte matematica della tesina di Angela Orsini

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parte matematica della tesina di Angela Orsini
BOMBE
quando la matematica diventa un'arma
“non sappiamo ancora a cosa serve ma scalda moltissimo:
lo usiamo per asciugare i nostri bikini”
Diana Hutschinson, Operatrice di computer a Bletchley Park nel 1944
Nel 1940 il matematico Alan Turing raggiungeva il centro crittografico di Bletchley Park,per
contribuire alla decrittazione del codice codificato dalla macchina tedesca Enigma.
I Tedeschi erano certi che il codice di Enigma era inviolabile e solo un folle avrebbe potuto negarlo.
(
26⋅26⋅26⋅
)
5!
⋅12⋅11⋅...⋅2
(5−3) ! 2!
erano le possibili configurazioni iniziali per la macchina Enigma.
Alan Mathison Turing era un matematico che si era interessato ai numeri reali
“computabili”,sequenze infinite di cifre che erano generate meccanicamente da una “macchina
universale”. Anche se la sua ricerca era finita senza lieto fine-aveva trovato dei numeri reali non
computabili- Turing aveva definito una “macchina universale per i numeri computabili” . Non era
altro che un oggetto matematico, un linguaggio di programmazione , diremmo oggi. Turing si
chiese se potesse essere applicata nella battaglia dell'Atlantico, dove i cacciatorpediniere britannici
combattevano contro i sommergibili tedeschi per salvare l'Inghilterra dal blocco navale.
come esiste una macchina in grado di generare qualsiasi numero reale computabile, cosi' deve
esistere una macchina capace di simulare qualsiasi macchina Enigma.
Oggi qualsiasi ragazzo sa che questa affermazione è vera. Per giocare sulla propria Playstation al
gioco dell'amico, bisogna prendere il CD del gioco e metterlo nella propria PS. Turing pensò
esattamente a questo e fu un mondo nuovo che cominciava con la sconfitta in guerra della
Germania.
Turing si mise alla costruzione della macchina per decodificare. A sua disposizione, aveva una
copia di Enigma che i servizi Francesi avevano fatto arrivare da Varsavia La sua idea era
semplicissima ma diabolicamente geniale e ,come abbiamo visto,basata sul “gioco delle
imitazioni”:
.
1)
per ogni messaggio codificato intercettato dai radiotelegrafisti, -che corrispondeva al gioco
delle nostre Playstation – si cercava la configurazione iniziale della macchina Enigma che
l'aveva trasmesso. -che corrispondeva al CD del gioco2) si inseriva la configurazione trovata nella copia di Enigma -in questo modo la copia di
Enigma di Turing “imitava” la macchina Enigma del sommergibilista che aveva codificato il
messaggio, cosi' come il CD del gioco inserito nel drive consente alla nostra PS di imitare
la Playstation del nostro amico3) si digitava sulla tastiera il messaggio codificato
4) si trascriveva il messaggio decodificato e lo si comunicava alla sala operativa
dell'Ammiragliato
l'idea del matematico britannico sfruttava una caratteristica di Enigma che Tedeschi ritenevano
conveniente: il codice codificato con Enigma, con la stessa configurazione iniziale della macchina
che lo aveva scritto, produceva testo in chiaro.
Turing aveva ridotto il problema della decrittazione di Enigma a quello della ricerca della
configurazione usata dai Tedeschi per inizializzare la macchina. Senza esitare, Turing pensò a un
metodo meccanico ispirato dal matematico tedesco D. Hilbert.
Agli inizi del '900, in pieno caos per la scoperta delle geometrie noneuclidee, D. Hilbert aveva
cercato di dare un fondamento alla Geometria e per farlo aveva generalizzato il metodo deduttivo di
Euclide. Nel 1930, il matematico francese J. Herbrand aveva trovato una variante dei metodi di
Hilbert,basata sul seguente teorema, che generalizza la dimostrazione “per assurdo” che tutti
conosciamo.
Teorema . Sia T un insieme di assiomi e A una proposizione. Se da T e A si ricava una
contraddizione, allora ¬ A è deducibile da T
Con questo teorema, e con l'aiuto degli operatori radio e della marina da guerra britannica, Turing
fu in grado di costruire la sua macchina per decodificare Enigma.
Era possibile ottenere un frammento di codice decodificato, chiamato crib. Se T era un crib e A era
una configurazione iniziale della macchina Enigma, si mandava in esecuzione la macchina Enigma
con la configurazione iniziale A fino a quando non si raggiungeva una contraddizione tra il testo
codificato in T e il corrispondente testo in chiaro. Si cambiava configurazione e si eseguiva lo
stesso processo, per tutte le configurazioni della macchina Enigma.
Alla fine di questo procedimento,erano deducibili dal crib T tutte le configurazioni della macchina
che non erano contraddittorie con T.
Turing mise insieme una macchina costituita da una batteria di simulazioni elettromeccaniche di
Enigma - cilindri ruotanti che nel 1944 furono sostituiti da tubi termoionici- che a partire da un crib
T , in pochi secondi testavano decine di configurazioni iniziali e alla fine restituivano un esiguo
numero di configurazioni deducibili da T, che un'ulteriore simulazione di Enigma verificava per
trovare -necessariamente- il messaggio decodificato.
La macchina si chiamò BOMBE.
BAMBURISMUS
Nel 1941 la marina da guerra germanica, in seguito ai successi della Royal Navy conseguiti nella
Battaglia dell'Atlantico grazie alle invenzioni di Turing, aggiunsero due rotori alla macchina
Enigma, e chiamarono “Shark” la nuova rete di comunicazioni. Con cinque rotori era molto più
difficile decrittare i codici con la macchina BOMBE. Ma Turing ebbe un'altra idea geniale: da un
lato aggiunse un metodo statistico per determinare i rotori di Enigma, dall'altro propose alla Royal
Navy di catturare naviglio nemico per sequestrare i cifrari di reti ausiliarie a quelle di Shark .
In questa impresa, venne aiutato dall' errore tedesco di duplicare i messaggi Shark diretti ai battelli
in profondità dell'Oceano su reti ausiliarie dirette ai rimorchiatori in rada, +che gli Inglesi non
esitarono a catturare.