Campionamento e quantizzazione

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Campionamento e quantizzazione
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica
Corso di Comunicazioni Elettriche
Campionamento e quantizzazione
A.A. 2008-09
Alberto Perotti
DELEN-DAUIN
Conversione analogico-digitale
•
L’elaborazione e la trasmissione dei segnali possono
avvenire sia in forma analogica che numerica.
•
Spesso, è molto più conveniente, sotto vari aspetti,
effettuare una trasmissione o elaborazione in forma
numerica.
•
A tal fine, è necessario convertire i segnali analogici in
numerici e, dopo aver effettuato la trasmissione o
l’elaborazione, riconvertirli in segnali analogici.
DELEN–DAUIN
2
1
Conversione analogico-digitale (cont.)
•
La conversione di un segnale analogico in segnale
numerico si divide in due fasi.
–
Il campionamento: consiste nel “leggere” il valore del segnale
ad istanti di tempo equispaziati x(kTc).
–
La quantizzazione: consiste nel codificare i valori x(kTc)
assegnando ad ognuno di essi un valore discreto.
3
DELEN–DAUIN
Campionamento
• È dato un segnale x(t) con spettro di ampiezza X( f ).
• Si estrae da x(t) una sequenza di campioni x[n] = x(nTc)
• È possibile, a partire da x[n], ricostruire x(t)?
DELEN–DAUIN
4
2
Campionamento (cont.)
• Per ricostruitre il segnale originario x(t), si deve risolvere
un problema di interpolazione, cioè si deve trovare una
funzione K(t) con le seguenti caratteristiche:
in modo da poter scrivere
5
DELEN–DAUIN
Campionamento (cont.)
• Se non si fissano ulteriori vincoli su K(t), si ottiene un
segnale xK(t) = x(t) per t = i Tc .
• Per risolvere il problema di interpolazione è però
necessario trovare una funzione K(t) tale che
xK(t) = x(t) ∀ t ∈ R
• Esiste una funzione K(t) tale che
DELEN–DAUIN
xK(t) = x(t) ∀ t ∈ R?
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3
Campionamento (cont.)
• Si definisce il segnale x(t) campionato come
x(t)
t
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DELEN–DAUIN
Campionamento (cont.)
• Ricordando che la trasformata di Fourier di un “treno di δ”
vale
si ottiene la trasformata del segnale campionato:
DELEN–DAUIN
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4
Campionamento (cont.)
•
Quindi lo spettro di ampiezza del segnale campionato è la
somma di infinite repliche dello spettro di x(t), traslate in
frequenza di multipli interi di fc = 1/Tc, la frequenza di
campionamento.
Xδ ( f )
-fc
0
B
fc
f
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DELEN–DAUIN
Campionamento (cont.)
•
•
La possibilità di ricostruire esattamente un segnale
analogico a partire dai suoi campioni è legata alla
relazione tra la banda del segnale B e la frequenza di
campionamento fc = 1/ Tc
Se B < fc / 2, le repliche dello spettro di x(t) non si
sovrappongono, rendendo possibile la ricostruzione
Xδ ( f )
-fc
DELEN–DAUIN
0
B
fc
f
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5
Campionamento (cont.)
•
•
La ricostruzione avviene mediante filtro passa-basso
ideale con frequenza di taglio pari alla banda del segnale
B.
Se invece B > fc / 2, le repliche dello spettro di x(t) si
sovrappongono, rendendo impossibile la ricostruzione:
Xδ ( f )
-fc
0
B
fc
f
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DELEN–DAUIN
Teorema del campionamento
•
Il primo criterio di Nyquist enuncia che un segnale
tempo-continuo può essere campionato e perfettamente
ricostruito se la frequenza di campionamento è maggiore
del doppio della banda del segnale.
DELEN–DAUIN
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6
Ricostruzione del segnale analogico
•
La ricostruzione del segnale avviene mediante
moltiplicazione nel dominio della frequenza di Xδ ( f ) per
un segnale porta in frequenza pfc( f )
Xδ ( f )
-fc
0
B
pfc( f )
fc
f
DELEN–DAUIN
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Ricostruzione del segnale analogico (cont.)
•
Nel dominio del tempo, il prodotto diventa una
convoluzione:
DELEN–DAUIN
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7
Ricostruzione del segnale analogico (cont.)
•
Si è ottenuta una funzione K(t) che soddisfa le condizioni
richieste e consente di ricostruire esattamente il segnale
di partenza:
x(t)
2Tc
-Tc
0
Tc
t
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DELEN–DAUIN
Aliasing
•
•
Se il segnale analogico x(t) non è limitato in banda, non è
possibile campionarlo in modo da poterlo ricostruire
esattamente.
Tuttavia, in pratica, spesso la maggior parte dell’energia
è concentrata in un intervallo [-Be, Be].
X( f )
-Be
DELEN–DAUIN
0
Be
f
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8
Aliasing (cont.)
•
•
Scegliendo fc = 2 Be, si ottiene una sequenza di campioni
che non consente la esatta ricostruzione, poiché si ha
sovrapposizione spettrale (aliasing).
In tal caso, prima del campionamento, si applica un filtro
passa-basso analogico con risposta in frequenza
H( f ) = p2Be( f ) allo scopo di limitare tale fenomeno
X( f ) H( f )
-Be
0
Be
fc
f
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DELEN–DAUIN
Campionamento reale
•
•
Nella realtà, il campionamento è effettuato mediante un
circuito che può essere esemplificato da un interruttore e
un condensatore.
Idealmente, l’interruttore rimane chiuso per un tempo
infinitesimo, durante il quale il condensatore viene
caricato.
x(t)
DELEN–DAUIN
iTc
x[n]
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9
Campionamento reale (cont.)
•
In realtà, l’interruttore rimane chiuso per un tempo finito,
chiamato aperture time.
•
La non idealità dei dispositivi di campionamento provoca
quindi una alterazione del segnale.
•
È possibile compensare parzialmente tale alterazione
mediante filtri di compensazione.
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DELEN–DAUIN
Quantizzazione
•
Dopo il campionamento, la conversione analogicodigitale viene completata con la quantizzazione, che
consiste nell’associare ad ogni campione x[n] ∈ R un
valore discreto.
•
Le tecniche di quantizzazione più comunemente usate
sono il troncamento e l’arrotondamento.
DELEN–DAUIN
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Quantizzazione (cont.)
•
La caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore è la
seguente:
Arrotondamento
Troncamento
xq[n]
xq[n]
3q
2q
q
3q
2q
q
q/2
5q/2
3q/2
x[n]
q
2q 3q
x[n]
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DELEN–DAUIN
Quantizzazione (cont.)
•
La quantizzazione introduce un errore nella sequenza di
campioni. Dopo la quantizzazione non è più possibile
effettuare l’esatta ricostruzione del segnale analogico x(t).
•
Si modella la quantizzazione nel seguente modo:
dove e[n] è il segnale errore introdotto dal quantizzatore.
DELEN–DAUIN
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Quantizzazione (cont.)
•
Nel caso di quantizzazione per troncamento:
•
Nel caso di quantizzazione per arrotondamento:
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DELEN–DAUIN
Rapporto segnale-rumore di quantizzazione
•
Nel caso di arrotondamento, si modella e[n] come un
processo casuale stazionario avente densità di probabilità
uniforme in [-q/2, q/2].
•
La potenza di rumore vale
[ ]
N q = E e2 =
DELEN–DAUIN
q2
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12
Rapporto segnale-rumore di quantizzazione
(cont.)
•
•
•
Il quantizzatore ha a disposizione B bit per codificare i
campioni alla sua uscita.
Per convenzione, si assume che l’intervallo in cui opera il
quantizzatore sia [-1, 1].
Ciò permette di determinare l’ampiezza dell’intervallo di
quantizzazione q a partire dal numero di bit a
disposizione:
DELEN–DAUIN
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Rapporto segnale-rumore di quantizzazione
(cont.)
•
•
Si definisce il rapporto segnale-rumore di
quantizzazione come
dove S è la potenza del segnale e Nq è la potenza di e[n].
Nel caso di quantizzazione per arrotondamento:
DELEN–DAUIN
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Rapporto segnale-rumore di quantizzazione
(cont.)
•
Nel caso in cui il segnale analogico sia
x(t ) = sin(2πf 0t )
si ottiene S = ½ e quindi
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DELEN–DAUIN
Rapporto segnale-rumore di quantizzazione
(cont.)
•
Se il segnale analogico è un processo casuale con densità
di probabilità Gaussiana con media nulla e varianza σ 2,
si applica un guadagno opportuno in modo di avere
σ = ¼ e quindi σ 2 = S = 1/16:
SNRq =
1 / 16 ×12 3 2 B
= 2
q2
16
e quindi
DELEN–DAUIN
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Degradazione
•
Dato un segnale in ingresso al quantizzatore
caratterizzato dal rapporto segnale-rumore
si definisce il rapporto segnale-rumore d’uscita del
quantizzatore come
dove Nq è la potenza del errore di quantizzazione.
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DELEN–DAUIN
Degradazione (cont.)
•
Si ottiene:
•
La degradazione è definita come la differenza tra il
rapporto segnale-rumore in ingresso al quantizzatore e il
rapporto segnale-rumore in uscita:
DELEN–DAUIN
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15
Pulse-Coded Modulation (PCM)
•
Si tratta di una tecnica di codifica e trasmissione per
segnali analogici.
•
Consiste nel campionamento del segnale analogico ad
una frequenza opportuna, seguita dalla quantizzazione
con codifica lineare o logaritmica.
•
Viene usata nelle reti telefoniche numeriche (ad es.,
ISDN)
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DELEN–DAUIN
Pulse-Coded Modulation (cont.)
•
Nelle reti telefoniche, la codifica vocale avviene
mediante campionamento con fc = 8 kHz e
quantizzazione logaritmica
–
Legge µ (Nord America)
µ = 100 oppure µ = 255
•
–
Legge A (Europa)
•
A = 87.6
DELEN–DAUIN
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Esercizio 1
•
È dato il seguente segnale analogico
con f0 = 10 kHz.
1. Determinare lo spettro di ampiezza del segnale.
2. Determinare lo spettro di ampiezza del segnale x(t)
campionato con frequenza di campionamento
fc = 15 kHz.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 1 (cont.)
1. Lo spettro di ampiezza del segnale vale
X( f )
A/2
-f0
DELEN–DAUIN
0
f0
f
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Esercizio 1 (cont.)
2. Lo spettro di ampiezza del segnale campionato vale
X( f )
A/2
-fc -f0
0
f0 fc
f
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DELEN–DAUIN
Esercizio 2
•
•
•
Un segnale passa-banda ha spettro di ampiezza non
nullo per | f | ∈ [f1, f2].
Secondo il teorema del campionamento, fC > 2 f2
Si tratta della minima frequenza di campionamento
necessaria per evitare la sovrapposizione spettrale?
XPB ( f )
-f2
DELEN–DAUIN
-f1
f1
f2
f
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Esercizio 2 - soluzione
•
Per evitare la sovrapposizione spettrale, è necessario
rispettare la seguente relazione:
–
Per f1 = 0, f2 = B, la precedente relazione implica k = 0 e si
riduce al teorema del campionamento: B · fc / 2.
XPB,δ ( f )
-f2
-f1
fc
f
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DELEN–DAUIN
Esercizio 3
•
È dato un segnale Gaussiano (µ = 0, σ = 0.25) con
spettro nullo al di fuori dell’intervallo
f ∈ [260 kHz, 360 kHz].
1. Determinare la minima frequenza di campionamento
necessaria per una corretta ricostruzione del segnale.
2. Se il segnale è quantizzato utilizzando 8 bit, determinare
il rapporto segnale-rumore di quantizzazione e la velocità
di trasmissione necessaria.
DELEN–DAUIN
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19
Esercizio 3 (cont.)
•
La minima frequenza di campionamento necessaria per
una corretta ricostruzione del segnale è determinabile
applicando la seguente relazione:
che implica
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DELEN–DAUIN
Esercizio 3 (cont.)
•
Si ottiene
•
Si determina ora il rapporto segnale-rumore di
quantizzazione:
DELEN–DAUIN
40
20
Esercizio 4
•
Un segnale con densità di probabilità di ampiezza
Gaussiana ha un rapporto segnale-rumore di 40 dB.
•
Determinare il numero di bit di quantizzazione in modo
da avere una degradazione inferiore a 0.3 dB.
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DELEN–DAUIN
Esercizio 4 (cont.)
•
Si deve ottenere
•
Applicando
si ottiene
DELEN–DAUIN
42
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Esercizio 4 (cont.)
•
Si ottiene
•
Poiché il segnale è Gaussiano, applicando
si ottiene
B = 10
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DELEN–DAUIN
Esercizio 5
•
•
•
In un sistema di comunicazione di tipo telefonico, la voce
è filtrata mediante un filtro passa-banda con frequenze di
taglio f1 = 300 Hz e f2 = 3400 Hz.
Determinare la minima frequenza di campionamento
necessaria per evitare l’aliasing.
Se il segnale viene campionato con fc = 8 kHz e
quantizzato mediante quantizzatore a 256 livelli, qual è il
bit rate all’uscita del quantizzatore?
DELEN–DAUIN
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Esercizio 6
•
Un sistema per la memorizzazione di segnali audio ad alta
fedeltà stereofonico (compact disc) usa una frequenza di
campionamento fc = 44.1 kHz. Il quantizzatore codifica i
livelli su 16 bit (216 livelli di quantizzazione).
–
–
•
Determinare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione,
assumendo che il segnale sia un processo casuale Gaussiano
stazionario con deviazione standard
σ = 1/6.
Determinare il bit rate totale all’uscita del/i quantizzatore/i.
Un CD audio può memorizzare fino a 80 minuti di musica
stereofonica ad alta fedeltà.
–
Determinare la capacità totale (in bit e in byte) di un CD.
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DELEN–DAUIN
Riferimenti bibliografici
[1]
G. Prati, Videocorso “Teoria dei Segnali”
[2]
L. Lo Presti, F. Neri, L’Analisi dei Segnali, CLUT, Torino, 1992
DELEN–DAUIN
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