Campionamento e quantizzazione
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Campionamento e quantizzazione
Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Campionamento e quantizzazione A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Conversione analogico-digitale • L’elaborazione e la trasmissione dei segnali possono avvenire sia in forma analogica che numerica. • Spesso, è molto più conveniente, sotto vari aspetti, effettuare una trasmissione o elaborazione in forma numerica. • A tal fine, è necessario convertire i segnali analogici in numerici e, dopo aver effettuato la trasmissione o l’elaborazione, riconvertirli in segnali analogici. DELEN–DAUIN 2 1 Conversione analogico-digitale (cont.) • La conversione di un segnale analogico in segnale numerico si divide in due fasi. – Il campionamento: consiste nel “leggere” il valore del segnale ad istanti di tempo equispaziati x(kTc). – La quantizzazione: consiste nel codificare i valori x(kTc) assegnando ad ognuno di essi un valore discreto. 3 DELEN–DAUIN Campionamento • È dato un segnale x(t) con spettro di ampiezza X( f ). • Si estrae da x(t) una sequenza di campioni x[n] = x(nTc) • È possibile, a partire da x[n], ricostruire x(t)? DELEN–DAUIN 4 2 Campionamento (cont.) • Per ricostruitre il segnale originario x(t), si deve risolvere un problema di interpolazione, cioè si deve trovare una funzione K(t) con le seguenti caratteristiche: in modo da poter scrivere 5 DELEN–DAUIN Campionamento (cont.) • Se non si fissano ulteriori vincoli su K(t), si ottiene un segnale xK(t) = x(t) per t = i Tc . • Per risolvere il problema di interpolazione è però necessario trovare una funzione K(t) tale che xK(t) = x(t) ∀ t ∈ R • Esiste una funzione K(t) tale che DELEN–DAUIN xK(t) = x(t) ∀ t ∈ R? 6 3 Campionamento (cont.) • Si definisce il segnale x(t) campionato come x(t) t 7 DELEN–DAUIN Campionamento (cont.) • Ricordando che la trasformata di Fourier di un “treno di δ” vale si ottiene la trasformata del segnale campionato: DELEN–DAUIN 8 4 Campionamento (cont.) • Quindi lo spettro di ampiezza del segnale campionato è la somma di infinite repliche dello spettro di x(t), traslate in frequenza di multipli interi di fc = 1/Tc, la frequenza di campionamento. Xδ ( f ) -fc 0 B fc f 9 DELEN–DAUIN Campionamento (cont.) • • La possibilità di ricostruire esattamente un segnale analogico a partire dai suoi campioni è legata alla relazione tra la banda del segnale B e la frequenza di campionamento fc = 1/ Tc Se B < fc / 2, le repliche dello spettro di x(t) non si sovrappongono, rendendo possibile la ricostruzione Xδ ( f ) -fc DELEN–DAUIN 0 B fc f 10 5 Campionamento (cont.) • • La ricostruzione avviene mediante filtro passa-basso ideale con frequenza di taglio pari alla banda del segnale B. Se invece B > fc / 2, le repliche dello spettro di x(t) si sovrappongono, rendendo impossibile la ricostruzione: Xδ ( f ) -fc 0 B fc f 11 DELEN–DAUIN Teorema del campionamento • Il primo criterio di Nyquist enuncia che un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito se la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della banda del segnale. DELEN–DAUIN 12 6 Ricostruzione del segnale analogico • La ricostruzione del segnale avviene mediante moltiplicazione nel dominio della frequenza di Xδ ( f ) per un segnale porta in frequenza pfc( f ) Xδ ( f ) -fc 0 B pfc( f ) fc f DELEN–DAUIN 13 Ricostruzione del segnale analogico (cont.) • Nel dominio del tempo, il prodotto diventa una convoluzione: DELEN–DAUIN 14 7 Ricostruzione del segnale analogico (cont.) • Si è ottenuta una funzione K(t) che soddisfa le condizioni richieste e consente di ricostruire esattamente il segnale di partenza: x(t) 2Tc -Tc 0 Tc t 15 DELEN–DAUIN Aliasing • • Se il segnale analogico x(t) non è limitato in banda, non è possibile campionarlo in modo da poterlo ricostruire esattamente. Tuttavia, in pratica, spesso la maggior parte dell’energia è concentrata in un intervallo [-Be, Be]. X( f ) -Be DELEN–DAUIN 0 Be f 16 8 Aliasing (cont.) • • Scegliendo fc = 2 Be, si ottiene una sequenza di campioni che non consente la esatta ricostruzione, poiché si ha sovrapposizione spettrale (aliasing). In tal caso, prima del campionamento, si applica un filtro passa-basso analogico con risposta in frequenza H( f ) = p2Be( f ) allo scopo di limitare tale fenomeno X( f ) H( f ) -Be 0 Be fc f 17 DELEN–DAUIN Campionamento reale • • Nella realtà, il campionamento è effettuato mediante un circuito che può essere esemplificato da un interruttore e un condensatore. Idealmente, l’interruttore rimane chiuso per un tempo infinitesimo, durante il quale il condensatore viene caricato. x(t) DELEN–DAUIN iTc x[n] 18 9 Campionamento reale (cont.) • In realtà, l’interruttore rimane chiuso per un tempo finito, chiamato aperture time. • La non idealità dei dispositivi di campionamento provoca quindi una alterazione del segnale. • È possibile compensare parzialmente tale alterazione mediante filtri di compensazione. 19 DELEN–DAUIN Quantizzazione • Dopo il campionamento, la conversione analogicodigitale viene completata con la quantizzazione, che consiste nell’associare ad ogni campione x[n] ∈ R un valore discreto. • Le tecniche di quantizzazione più comunemente usate sono il troncamento e l’arrotondamento. DELEN–DAUIN 20 10 Quantizzazione (cont.) • La caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore è la seguente: Arrotondamento Troncamento xq[n] xq[n] 3q 2q q 3q 2q q q/2 5q/2 3q/2 x[n] q 2q 3q x[n] 21 DELEN–DAUIN Quantizzazione (cont.) • La quantizzazione introduce un errore nella sequenza di campioni. Dopo la quantizzazione non è più possibile effettuare l’esatta ricostruzione del segnale analogico x(t). • Si modella la quantizzazione nel seguente modo: dove e[n] è il segnale errore introdotto dal quantizzatore. DELEN–DAUIN 22 11 Quantizzazione (cont.) • Nel caso di quantizzazione per troncamento: • Nel caso di quantizzazione per arrotondamento: 23 DELEN–DAUIN Rapporto segnale-rumore di quantizzazione • Nel caso di arrotondamento, si modella e[n] come un processo casuale stazionario avente densità di probabilità uniforme in [-q/2, q/2]. • La potenza di rumore vale [ ] N q = E e2 = DELEN–DAUIN q2 12 24 12 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) • • • Il quantizzatore ha a disposizione B bit per codificare i campioni alla sua uscita. Per convenzione, si assume che l’intervallo in cui opera il quantizzatore sia [-1, 1]. Ciò permette di determinare l’ampiezza dell’intervallo di quantizzazione q a partire dal numero di bit a disposizione: DELEN–DAUIN 25 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) • • Si definisce il rapporto segnale-rumore di quantizzazione come dove S è la potenza del segnale e Nq è la potenza di e[n]. Nel caso di quantizzazione per arrotondamento: DELEN–DAUIN 26 13 Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) • Nel caso in cui il segnale analogico sia x(t ) = sin(2πf 0t ) si ottiene S = ½ e quindi 27 DELEN–DAUIN Rapporto segnale-rumore di quantizzazione (cont.) • Se il segnale analogico è un processo casuale con densità di probabilità Gaussiana con media nulla e varianza σ 2, si applica un guadagno opportuno in modo di avere σ = ¼ e quindi σ 2 = S = 1/16: SNRq = 1 / 16 ×12 3 2 B = 2 q2 16 e quindi DELEN–DAUIN 28 14 Degradazione • Dato un segnale in ingresso al quantizzatore caratterizzato dal rapporto segnale-rumore si definisce il rapporto segnale-rumore d’uscita del quantizzatore come dove Nq è la potenza del errore di quantizzazione. 29 DELEN–DAUIN Degradazione (cont.) • Si ottiene: • La degradazione è definita come la differenza tra il rapporto segnale-rumore in ingresso al quantizzatore e il rapporto segnale-rumore in uscita: DELEN–DAUIN 30 15 Pulse-Coded Modulation (PCM) • Si tratta di una tecnica di codifica e trasmissione per segnali analogici. • Consiste nel campionamento del segnale analogico ad una frequenza opportuna, seguita dalla quantizzazione con codifica lineare o logaritmica. • Viene usata nelle reti telefoniche numeriche (ad es., ISDN) 31 DELEN–DAUIN Pulse-Coded Modulation (cont.) • Nelle reti telefoniche, la codifica vocale avviene mediante campionamento con fc = 8 kHz e quantizzazione logaritmica – Legge µ (Nord America) µ = 100 oppure µ = 255 • – Legge A (Europa) • A = 87.6 DELEN–DAUIN 32 16 Esercizio 1 • È dato il seguente segnale analogico con f0 = 10 kHz. 1. Determinare lo spettro di ampiezza del segnale. 2. Determinare lo spettro di ampiezza del segnale x(t) campionato con frequenza di campionamento fc = 15 kHz. 33 DELEN–DAUIN Esercizio 1 (cont.) 1. Lo spettro di ampiezza del segnale vale X( f ) A/2 -f0 DELEN–DAUIN 0 f0 f 34 17 Esercizio 1 (cont.) 2. Lo spettro di ampiezza del segnale campionato vale X( f ) A/2 -fc -f0 0 f0 fc f 35 DELEN–DAUIN Esercizio 2 • • • Un segnale passa-banda ha spettro di ampiezza non nullo per | f | ∈ [f1, f2]. Secondo il teorema del campionamento, fC > 2 f2 Si tratta della minima frequenza di campionamento necessaria per evitare la sovrapposizione spettrale? XPB ( f ) -f2 DELEN–DAUIN -f1 f1 f2 f 36 18 Esercizio 2 - soluzione • Per evitare la sovrapposizione spettrale, è necessario rispettare la seguente relazione: – Per f1 = 0, f2 = B, la precedente relazione implica k = 0 e si riduce al teorema del campionamento: B · fc / 2. XPB,δ ( f ) -f2 -f1 fc f 37 DELEN–DAUIN Esercizio 3 • È dato un segnale Gaussiano (µ = 0, σ = 0.25) con spettro nullo al di fuori dell’intervallo f ∈ [260 kHz, 360 kHz]. 1. Determinare la minima frequenza di campionamento necessaria per una corretta ricostruzione del segnale. 2. Se il segnale è quantizzato utilizzando 8 bit, determinare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione e la velocità di trasmissione necessaria. DELEN–DAUIN 38 19 Esercizio 3 (cont.) • La minima frequenza di campionamento necessaria per una corretta ricostruzione del segnale è determinabile applicando la seguente relazione: che implica 39 DELEN–DAUIN Esercizio 3 (cont.) • Si ottiene • Si determina ora il rapporto segnale-rumore di quantizzazione: DELEN–DAUIN 40 20 Esercizio 4 • Un segnale con densità di probabilità di ampiezza Gaussiana ha un rapporto segnale-rumore di 40 dB. • Determinare il numero di bit di quantizzazione in modo da avere una degradazione inferiore a 0.3 dB. 41 DELEN–DAUIN Esercizio 4 (cont.) • Si deve ottenere • Applicando si ottiene DELEN–DAUIN 42 21 Esercizio 4 (cont.) • Si ottiene • Poiché il segnale è Gaussiano, applicando si ottiene B = 10 43 DELEN–DAUIN Esercizio 5 • • • In un sistema di comunicazione di tipo telefonico, la voce è filtrata mediante un filtro passa-banda con frequenze di taglio f1 = 300 Hz e f2 = 3400 Hz. Determinare la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare l’aliasing. Se il segnale viene campionato con fc = 8 kHz e quantizzato mediante quantizzatore a 256 livelli, qual è il bit rate all’uscita del quantizzatore? DELEN–DAUIN 44 22 Esercizio 6 • Un sistema per la memorizzazione di segnali audio ad alta fedeltà stereofonico (compact disc) usa una frequenza di campionamento fc = 44.1 kHz. Il quantizzatore codifica i livelli su 16 bit (216 livelli di quantizzazione). – – • Determinare il rapporto segnale-rumore di quantizzazione, assumendo che il segnale sia un processo casuale Gaussiano stazionario con deviazione standard σ = 1/6. Determinare il bit rate totale all’uscita del/i quantizzatore/i. Un CD audio può memorizzare fino a 80 minuti di musica stereofonica ad alta fedeltà. – Determinare la capacità totale (in bit e in byte) di un CD. 45 DELEN–DAUIN Riferimenti bibliografici [1] G. Prati, Videocorso “Teoria dei Segnali” [2] L. Lo Presti, F. Neri, L’Analisi dei Segnali, CLUT, Torino, 1992 DELEN–DAUIN 46 23