Algebra

Algebra
Problemi dimostrativi (lavoro singolo)
A1. Siano a, b, c numeri reali positivi tali che a + b + c = 1 e sia n un intero positivo.
Dimostrare che
(3b)n
(3c)n
27
(3a)n
+
+
≥
.
(b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) (a + 1)(b + 1)
16
A2. È definita la successione di reali positivi seguente
a1 = 1,
n2 + 1
an =
an−1 ,
(n − 1)2
Dimostrare che
1
1
1
+
+···+
≤1+
a1 a2
an
n ≥ 2.
r
1
1− .
an
A3. Sia n un intero positivo e siano a1 , a2 , . . . , an numeri interi positivi. Si estenda questa n-upla ad una successione infinita periodica ponendo an+i = ai per ogni i ≥ 1.
Supponendo che
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ a1 + n
e che
aai ≤ n + i − 1 per i = 1, 2, . . . n,
dimostrare che necessariamente si ha
a1 + · · · + an ≤ n2 .
A4. Sia n un numero intero assegnato. Trovare tutte le funzioni f : Z → Z tali che per
ogni scelta degli interi x e y si abbia
f (x + y + f (y)) = f (x) + ny
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Problemi dimostrativi (lavoro di gruppo)
A5. Determinare il massimo valore di α > 0 tale che
p
a2 + b2 + c2 + α(ab + bc + ca) ≥ (1 + α) 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ).
per ogni terna di reali positivi a, b, c.
A6. Diciamo che una n-upla di reali a1 , a2 , . . . , an è concava se per ogni 2 ≤ i ≤ n − 1, si
i+1
ha ai ≥ ai−1 +a
. Determinare il massimo valore di c > 0 (dipendente da n) tale che
2
per ogni n-upla concava di reali non negativi si abbia
n
X
i=1
ia2i
≥c
n
X
a2i
i=1
A7. Sia n ≥ 2 un intero assegnato. Determinare tutti i polinomi non costanti f a coefficienti
complessi che soddisfano
1 + f (xn + 1) = f (x)n .
A8. Determinare tutte le funzioni f : R → R tali che
f (1 + xy) − f (x + y) = f (x)f (y) per ogni x, y ∈ R,
e tali che f (−1) 6= 0.
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Combinatoria
Problemi dimostrativi (lavoro singolo)
C1. Trovare per quali (a, b) naturali esiste una colorazione di Z2 in ab colori in modo che
ogni rettangolo a × b o b × a contiene tutti i colori.
C2. Due giocatori dicono a turno numeri naturali maggiori di 1, con la regola che non si
può dire un numero che si possa scrivere come somma di multipli positivi di numeri
già detti. Chi fa sı̀ che l’avversario non abbia più nessun numero da dire vince. Quale
giocatore ha una strategia vincente?
C3. In un grafo (finito) ogni vertice ha grado minore o uguale a m + n + 1; dimostrare che
è possibile partizionare i vertici in due sottoinsiemi A e B in modo che il grafo indotto
tra i vertici di A abbia grado minore o uguale a m e il grafo indotto tra i vertici di B
abbia grado minore o uguale a n.
C4. Nella casella nell’angolo Nord-Ovest di una scacchiera 2015 × 2015 ci sono alcuni
canguri-SE, che sanno fare salti di una casella solo verso Sud o verso Est. Nella casella
nell’angolo Sud-Ovest ci sono alcuni canguri-NE, che sanno fare salti di una casella
solo verso Nord o verso Est. Quanti canguri al minimo dovranno esserci in totale perché dopo un certo numero di salti tutte le caselle siano state visitate da almeno un
canguro?
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Problemi dimostrativi (lavoro di gruppo)
C5. Un grafo su n città ha la proprietà che per ogni coppia c’è un cammino unico di 1 o 2
lati che le connette; inoltre nessuna città ha grado n − 1. Dimostrare che allora n − 1
è un quadrato.
C6. È dato un grafo completo con n vertici con un peso per ogni arco. Una formica parte
da una città a sua scelta e tocca una sola volta tutte le città, ogni volta scegliendo
uno degli archi di prezzo minimo tra quelli che la portano in città non ancora visitate;
una cicala parte da una città a sua scelta e tocca una sola volta tutte le città, ogni
volta scegliendo uno degli archi di prezzo massimo tra quelli che la portano in città
non ancora visitate. Dimostrare che la cicala spende almeno quanto la formica.
C7. In una griglia 100 × 100 sono stati disposti a caso, ma uno per casella, i numeri da 1 a
10000. Pierino deve segnare tutti i numeri, con queste regole: all’inizio può segnarne
k a sua scelta e poi può segnarne uno nuovo, diciamo a, se sulla colonna di a ce n’è
uno già segnato maggiore di a, o se sulla riga di a ce n’è uno già segnato minore di a.
Qual è il minimo k per cui può farcela?
C8. In un grafo completo su n vertici ogni arco ha un peso diverso. Dimostrare che allora
esiste un cammino di n − 1 archi con pesi strettamente decrescenti (il cammino può
anche passare più volte dallo stesso vertice).
C9. [LUNCH PROBLEM] A e B giocano su una scacchiera n × n al gioco seguente. Inizialmente l’intera scacchiera è bianca, fuorché per una casella d’angolo, che è nera; una
torre viene posta su questa casella. I giocatori muovono a turno a partire da A, e in
ogni turno muovono la torre orizzontalmente o verticalmente; immediatamente dopo la
mossa tutte le caselle attraversate dalla torre, inclusa quella di arrivo, divengono nere.
E‘ proibito far passare o fermare la torre su una casella già nera; il primo giocatore che
non può più muovere, perde. Determinare chi ha una strategia vincente.
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Geometria
Problemi dimostrativi (lavoro singolo)
G1. M e’ il punto medio del lato AC di un triangolo △ABC. P e Q sono punti interni
AC
rispettivamente di AM e CM tale che P Q =
. La circonferenza passante per A,B
2
e Q interseca BC in X 6= B e la circonferenza passante per B,C e P interseca BA in
Y 6= B. Provare che il quadrilatero BXMY e’ ciclico.
G2. Sia Γ una circonferenza passante per il vertice A di un triangolo △ABC. Γ interseca
AC, AB in F e E rispettivamente. Detta P 6= A l’intersezione di Γ con la circonferenza
circoscritta, mostrare che il simmetrico di P rispetto a EF appartiene ad BC se e solo
se Γ passa per il circocentro O di △ABC
G3. Sia △ABC un triangolo. X e Y sono due punti che giacciono sulla retta cui appartiene
BC, e sono tali che ∠XAY = 90. Sia H l’ortocentro di ABC. Sia X ′ l’intersezione di
BH e AX e Y ′ l’intersezione di CH e AY . Provare che le circonferenze circoscritte a
△CY Y ′ , △BXX ′ e X ′ Y ′ concorrono.
G4. Sia ABCD un quadrilatero ciclico. Le bisettrici degli angoli ∠BAD e ∠BCD si intersecano in un punto K che appartiene a BD. Sia M il punto medio di BD. La
retta passante per C e parallela ad AD interseca AM in un punto P . Provare che il
triangolo △DP C e’ isoscele.
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Problemi dimostrativi (lavoro di gruppo)
G5. Sia △ABC un triangolo acutangolo e AD la bisettrice dell’angolo ∠BAC con D ∈ BC.
Siano E ed F i piedi delle perpendicolari da D ad AB e AC rispettivamente. Sia K
l’intersezione di BF e CE e sia L l’intersezione di BF e della circonferenza circoscritta
a △AKE diversa da K.
Dimostrare che DL ⊥ BF .
G6. Sia ABC un triangolo e sia A′ B ′ C ′ il suo triangolo mediale. Sia I l’incentro di ABC.
Siano D, E e F i punti di tangenza dell’incerchio di ABC con i lati BC, AC e AB
rispettivamente. Siano D ′ , E ′ e F ′ i punti di tangenza dei tre excerchi di ABC con i lati
BC, AC e AB rispettivamente. E’ ben noto che le rette AD ′ , BE ′ e CF ′ concorrono;
il punto di concorrenza di tali rette prende il nome di punto di Nagel del triangolo
ABC, e lo indicheremo come N. Siano ora A1 = B ′ C ′ ∩ EF , Y = A1 B ∩ A′ C ′ e
Z = A1 C ∩ A′ B ′ .
Dimostrare che i punti Y , Z, I e N sono allineati.
G7. Sia Ω una circonferenza e sia ABCD un quadrilatero inscritto in Ω. Sia E = AC ∩ BD
e sia F = CB ∩ DA (supponiamo A compreso tra F e D, e B compreso tra F e C.
Sia M il punto medio dell’arco AB non contenente C. Sia N il punto medio dell’arco
CD contenente A. Siano I1 , I2 , I3 e I4 gli incentri dei triangoli ABE, CDE, ABF e
CDF rispettivamente.
• Dimostrare che I1 , I3 e M sono allineati. Dimostrare che I2 , I4 e N sono allineati.
• Detto X il punto di intersezione delle due rette del punto precedente, dimostrare
che X ∈ Ω.
G8. Sia △ABC un triangolo con circonferenza circoscritta Γ e incentro I. La retta passante
per I e perpendicolare a CI interseca BC e l’arco BC di Γ, che non contiene A, in U
e V rispettivamente. La retta passante per U e parallela ad AI interseca AV in X e la
retta per V parallela ad AI interseca AB in Y . Siano W e Z i punti medi di AX e BC
rispettivamente. Mostrare che se I, X, Y sono allineati, allora I, W, Z sono allineati.
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Teoria dei numeri
Problemi dimostrativi (lavoro singolo)
N1. Determinare tutte le coppie (m, n) di interi positivi tali che 2n + n = m!.
N2. Siano dati due interi positivi m ed n. Dimostrare che esiste un intero positivo c tale
che, per ogni cifra k 6= 0, la scrittura decimale di cm e di cn contenga la cifra k lo
stesso numero di volte.
N3. Sia n > 3 un intero positivo dispari e m = φ(n), dove φ è la funzione di Eulero.
Dimostrare che esiste un numero primo che divide 2m − 1 ma non divide n.
N4. Un intero positivo a si dice amichevole se l’equazione (m2 + n)(m + n2 ) = a(m − n)3
ammette soluzioni intere positive.
(a) Dimostrare che ci sono almeno 500 interi amichevoli nell’intervallo [1, . . . , 2015].
(b) Dire se a = 2 è amichevole o meno.
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Problemi dimostrativi (lavoro di gruppo)
N5. Siano a, b interi positivi tali che ab non è un quadrato perfetto. Dimostrare che esiste
un intero positivo n tale che (an − 1)(bn − 1) non è un quadrato perfetto.
N6. Determinare tutti i polinomi a coefficienti interi f (x) con la seguente proprietà: se p è
un primo, a e b sono interi positivi, e p | ab − 1, allora p divide f (a)f (b) − 1.
N7. Determinare tutte le coppie di naturali (m, n) tali che
m2 + 2 · 3n = m 2n+1 − 1 .
N8. Sia N+ l’insieme degli interi positivi, e sia f : N+ → N+ una funzione che soddisfa le
condizioni seguenti:
(a) se (m, n) = 1 allora (f (m), f (n)) = 1.
(b) n ≤ f (n) ≤ n + 2014 per ogni n ∈ N+ .
Dimostrare che, per ogni intero positivo n e per ogni numero primo p, se p|f (n) allora
p|n.
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Team(s) Selection Test
A1. Determinare se esistono funzioni f : (0, +∞) → (0, +∞) tali che
(x2 + y)f (yf (x) + f (y 2 )) = x3 f (y 2f (x))
per ogni coppia di numeri reali positivi x e y.
A2. Sia ABCD un quadrilatero convesso. Le rette AD e BC si intersecano in E. Le rette
AC e BD si intersecano in P . Le circonferenze circoscritte ai triangoli AP D e BP C
si intersecano nuovamente in Q.
Sia M il punto medio di AD, sia N il punto medio di BC, sia K l’intersezione tra AC
ed MN, e sia L l’intersezione tra BD ed MN.
(a) Dimostrare che EMQN è ciclico.
(b) Dimostrare che le circonferenze circoscritte ai triangoli AMK e BNL passano per
il punto Q.
(c) Dimostrare che le circonferenze circoscritte ai triangoli AMK e BNL passano per
uno stesso punto della retta AB.
A3. Sia n ≥ 2 un numero intero, e sia
An = 2n − 2k : k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .
Determinare, in funzione di n, il più grande intero positivo che non può essere scritto
come somma di uno o più elementi di An (non necessariamente distinti).
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B1. In una nazione ci sono 20 città e 18 aerei. Ogni aereo fa regolarmente un percorso
circolare di 5 tratte che tocca 5 città diverse. Ogni città è toccata dal percorso di
almeno 3 aerei. Per ogni coppia di città, c’è al più un aereo che le collega direttamente
(in un verso o nell’altro), senza fare scali intermedi in altre città.
Dimostrare che da ogni città della nazione è possibile raggiungere ogni altra città
sfruttando in modo opportuno i voli operati da questi aerei.
B2. Determinare tutte le coppie di interi positivi (x, y) con questa proprietà: se a e b sono
due divisori positivi di x3 + y 3, e sono relativamente primi tra di loro, allora anche
a + b − 1 è un divisore di x3 + y 3 .
B3. Sia ABC un triangolo acutangolo, con AB > BC. Sia O il suo circocentro e Ω la
sua circonferenza circoscritta. Sia M il secondo punto di intersezione della bisettrice
uscente da B con Ω. Sia K il punto medio di BM. Sia Γ la circonferenza di diametro
BM. Le bisettrici di ∠AOB e ∠BOC intersecano Γ nei punti P e Q, rispettivamente
(si intende che le bisettrici sono pensate come semirette).
(a) Dimostrare che P QKO è ciclico.
(b) Detto R il punto della retta P Q tale che RB = RM, dimostrare che le rette BR
ed AC sono parallele.
Modalità di svolgimento della prova: 3 problemi al giorno con 4 ore e 30 minuti di tempo
a disposizione.
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