QUADERNI

UNIVERSITÀ
DI TORINO
QUADERNI
del
Dipartimento di Matematica
Elisabetta Tornatore, Luigi Manca
& Hisao Fujita Yashima
COMPORTAMENTO ASINTOTICO DELLA
SOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI
STOCASTICHE PER DUE SPECIE IN COMPETIZIONE
QUADERNO N. 36/2003
We consider the equation system of population dynamics for two species in competition with a
stochastic perturbation of environmental variation type and study the asymptotic behaviour of
the solution according to different relations between the coefficients. In some cases both of the
two species are destined to the extinction, in some cases one of them is destined to the extinction
and the other goes to the equilibrium state represented by an invariant measure on R , in some
cases the populations of the two species continue to coexist and go to the equilibrium state
represented by an invariant measure in R2 . The support of the invariant measure of the these
last cases is also studied: if the population is represented by its logarithm, it can be the whole
space R2 or a half space of R2 or a line, according to the relation between the coefficients.
Stampato nel mese di Ottobre 2003 presso il Centro Stampa
del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino.
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COMPORTAMENTO ASINTOTICO DELLA SOLUZIONE
DEL SISTEMA DI EQUAZIONI STOCASTICHE
PER DUE SPECIE IN COMPETIZIONE
ELISABETTA TORNATORE1) , LUIGI MANCA2) , HISAO FUJITA YASHIMA3)
§ 1. - Introduzione.
È ben noto il comportamento asintotico delle soluzioni delle equazioni differenziali
di tipo Lotka-Volterra per due specie ([15], [2], ecc.). Per le analoghe equazioni con
perturbazioni stocastiche, recentemente Rudnicki [13] è riuscito a chiarirne i comportamenti asintotici delle soluzioni nel caso di due specie preda e predatrice. Nel presente
lavoro, consideriamo il sistema di equazioni stocastiche di dinamica di popolazioni di
due specie in competizione soggette ad una perturbazione stocastica rappresentante
variazioni aleatorie di condizioni ambientali (per la motivazione si vedano [4], [10]) e
cerchiamo di individuarne i comportamenti asintotici delle soluzioni.
Indicando con Ni (t) la popolazione della specie i-esima (i = 1, 2) all’istante t,
consideriamo il sistema di equazioni
(1.1)
dN1 (t) = (a1 − b11 N1 (t) − b12 N2 (t))N1 (t)dt + 1 N1 (t)dW (t)
,
dN2 (t) = (a2 − b21 N1 (t) − b22 N2 (t))N2 (t)dt + 2 N2 (t)dW (t)
ove ai , bij e i (i, j = 1, 2) sono costanti positive, mentre W (t) è il moto browniano
a valori reali definito su una base stocastica (Ω, F , (Ft)t≥0 , IP). Il sistema di equazioni
(1.1) dovrà essere considerato con le condizioni iniziali
(1.2)
Ni (0) = N0i > 0 q.s.,
i = 1, 2.
Poiché nelle equazioni (1.1) i termini non lineari Ni (t)Nj (t) (i, j = 1, 2) sono moltiplicati per una costante negativa −bij , si dimostrano in maniera analoga a [14] (si veda
anche [3]) l’esistenza, l’unicità e la positività della soluzione del problema (1.1)–(1.2),
cioè si ha la
1)
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni, Università di Palermo, via Archirafi,
34, 90123 Palermo, Italy. E-mail: [email protected]
2)
Scuola Normale Superiore di Pisa, Piazza dei Cavalieri, 7, 56126 Pisa, Italy. E-mail:
[email protected]
3)
Dipartimento di Matematica, Università di Torino, via Carlo Alberto, 10, 10123
Torino, Italy. E-mail: [email protected]
1
PROPOSIZIONE 1.1. Il problema (1.1)–(1.2) ammette una e una sola (a meno di
modificazione) soluzione (N1 (t), N2 (t)) nell’intervallo 0 ≤ t < ∞ e si ha Ni (t) > 0 q.s.
(i = 1, 2) per ogni t ≥ 0.
Per esaminare il comportamento asintotico della soluzione del problema (1.1)–(1.2),
è conveniente trasformare le equazioni in una forma logaritmica. Infatti, posto
(1.3)
ξ(t) = log N1 (t),
(1.4)
c1 = a1 −
η(t) = log N2 (t),
21
,
2
c2 = a2 −
22
,
2
il sistema di equazioni (1.1) si trasforma, grazie alla formula di Ito, in
(1.5)
dξ(t) = (c1 − b11 eξ(t) − b12 eη(t) )dt + 1 dW (t)
,
dη(t) = (c2 − b21 eξ(t) − b22 eη(t) )dt + 2 dW (t)
che va considerato con la condizione iniziale
ξ(0) = log N01 ,
(1.6)
η(0) = log N02 .
Lo scopo del presente lavoro è di caratterizzare il comportamento asintotico della
soluzione del sistema di equazioni (1.5) a seconda delle relazioni tra i coefficienti. Distinguiamo infatti i seguenti casi:
[I]
c1 < 0,
c2 < 0,
[II]
c1 < 0,
c2 = 0,
[III]
c1 = 0,
c2 < 0,
[IV]
c1 = 0,
c2 = 0,
[V]
c1 > 0 e
i) det B ≥ 0 e cc21 < bb21
,
11
c2
b22
o ii) det B < 0 e c1 < b12 ,
[VI]
c2 > 0 e
i) det B ≥ 0 e cc12 < bb12
,
22
c1
b11
o ii) det B < 0 e c2 < b21 ,
[VII]
c1 > 0, c2 > 0, det B > 0 e
[VIII]
c1 > 0, c2 > 0, det B = 0 e
b21
c2
b22
b11 < c1 < b12 ,
b21
= cc21 = bb22
,
b11
12
ove det B = b11 b22 − b12 b21 .
Nei casi [I] – [IV] si prova l’estinzione delle due specie, in alcuni casi quasi sicuramente e in alcuni casi in media. Invece, nei casi [V] e [VI] si dimostra che una specie si
estingue mentre l’altra tende allo stato di equilibrio di una sola specie. Nel caso [VII]
si dimostra che le due popolazioni continuano a coesistere e tendono ad uno stato di
2
equilibrio rappresentato da una misura invariante. Nel caso [VIII] si trova un comportamento particolare della soluzione (ξ(t), η(t)). Come si potrà constatare facilmente,
i comportamenti asintotici nei casi sopra elencati travano una certa corrispondenza ai
comportamenti asintotici della soluzione del sistema di equazioni differenziali ordinarie
per le popolazioni di due specie in competizione.
Nell’analisi riportata in questo lavoro non è incluso il caso
< cc21 < bb21
.
[IX]
c1 > 0, c2 > 0, det B < 0 e bb22
12
11
Infatti il caso [IX] avrà un comportamento alquanto simile al caso del sistema di
equazioni differenziali ordinarie per due specie in competizione in cui esistono due punti
di equilibrio asintoticamente stabili caratterizzati dall’estinzione di una specie e dalla
convergenza al punto di equilibrio dell’altra specie come specie isolata. Per caratterizzare in maniera soddisfacente il comportamento del sistema di equazioni (1.5) nel caso
[IX] occorrerebbe introdurre strumenti diversi da quelli impiegati nel presente lavoro.
Si ringrazia il prof. Ryszard Rudnicki dell’Accademia delle Scienze polacca per le
discussioni particolarmente utili che gli autori hanno avuto con lui.
§ 2. - Caso di estinzione delle due specie.
In questo paragrafo esaminiamo i casi [I] – [IV]. Innanzitutto dimostriamo il seguente lemma.
LEMMA 2.1.
allora si ha
Sia (ξ(t), η(t)) la soluzione del problema (1.5)–(1.6). Se c1 < 0,
lim ξ(t) = −∞
t→∞
q.s..
Analogamente, se c2 < 0, allora si ha
lim η(t) = −∞
t→∞
q.s..
DIMOSTRAZIONE. Dalla disuguaglianza c1 − b11 eξ − b12 eη ≤ c1 e dalla prima
equazione della (1.5) segue
dξ(t) ≤ c1 dt + 1 dW (t).
Poiché c1 < 0 e che quindi
ξ(0) + c1 t + 1 W (t) → −∞
q.s.
per t → ∞,
per il teorema di confronto per le equazioni stocastiche (si veda [5]) si ha
lim ξ(t) = −∞ q.s..
t→∞
In modo analogo, dalla seconda equazione della (1.5) segue
dη(t) ≤ c2 dt + 2 dW (t)
3
e quindi, se c2 < 0, le stesse considerazioni ci conducono a
lim η(t) = −∞
t→∞
q.s..
Il lemma è dimostrato.
Dal lemma 2.1 segue immediatamente la
PROPOSIZIONE 2.1.
caso
[I]
si ha
c1 < 0,
Sia (ξ(t), η(t)) la soluzione del problema (1.5)–(1.6). Nel
c2 < 0,
lim ξ(t) = −∞,
lim η(t) = −∞
t→∞
t→∞
q.s..
Dimostriamo ora il seguente lemma.
LEMMA 2.2. Sia ζ(t) la soluzione dell’equazione stocastica
dζ(t) = −b0 eζ(t) dt + 0 dW (t),
(2.1)
ove b0 e 0 sono costanti positive, mentre W (t) è il moto browniano considerato nella
(1.5). Allora si ha
IE ζ(t) → −∞
(2.2)
per t → ∞.
DIMOSTRAZIONE. Poiché f (z) = ez è una funzione convessa in z ∈ IR, si ha
IE eζ(t) ≥ eIE ζ(t) .
Perciò dalla (2.1) segue
IE ζ(t) = IE ζ(0) − b0
t
ζ(t )
IE e
0
dt ≤ IE ζ(0) − b0
t
eIE ζ(t ) dt .
0
In virtù del teorema di confronto per le equazioni differenziali ordinarie, ne segue
(2.3)
IE ζ(t) ≤ Z(t),
ove Z(t) è la soluzione del problema di Cauchy
Z (t) = −b0 eZ(t) ,
Z(0) = IE ζ(0).
Esprimendo esplicitamente la funzione Z(t), si ha
(2.4)
Z(t) = − log b0 t + e− IE ζ(0) → −∞
4
per t → ∞.
Dalle (2.3) e (2.4) segue la (2.2).
Grazie al lemma 2.2 assieme al lemma 2.1 si ottiene facilmente la seguente caratterizzazione per i casi [II], [III] e [IV].
PROPOSIZIONE 2.2.
Sia (ξ(t), η(t)) la soluzione del problema (1.5)–(1.6). Nel
caso
c1 < 0,
[II]
c2 = 0,
si ha
lim ξ(t) = −∞ q.s.,
lim IE η(t) = −∞.
t→∞
t→∞
Nel caso
c1 = 0,
[III]
c2 < 0,
si ha
lim IE ξ(t) = −∞,
lim η(t) = −∞ q.s..
t→∞
t→∞
Nel caso
[IV]
c1 = 0,
c2 = 0,
si ha
lim IE ξ(t) = −∞,
lim IE η(t) = −∞.
t→∞
t→∞
DIMOSTRAZIONE. Per il caso [II], dal lemma 2.1 segue immediatamente che
lim ξ(t) = −∞ q.s..
t→∞
D’altra parte, dalla seconda equazione della (1.5) con c2 = 0 segue
dη(t) ≤ −b22 eη(t) dt + 2 dW (t).
Pertanto, grazie al teorema di confronto per le equazioni stocastiche si ha
η(t) ≤ η̄(t),
ove η̄(t) è la soluzione dell’equazione
dη̄(t) = −b22 eη̄(t) dt + 2 dW (t).
Di conseguenza dal lemma 2.2 segue
IE η(t) ≤ IE η̄(t) → −∞ per t → ∞.
Il caso [III] è ovviamente del tutto analogo al caso [II], scambiando il ruolo di ξ(t)
con quello di η(t).
5
Inoltre, nel caso [IV], applicando lo stesso ragionamento qui sopra riportato, si
verificano immediatamente le relazioni
lim IE ξ(t) = −∞,
lim IE η(t) = −∞.
t→∞
t→∞
La proposizione è dimostrata.
§ 3. - Caso di estinzione di una specie e di convergenza all’equilibrio dell’altra.
Nel presente paragrafo esaminiamo i casi [V] e [VI]. Ne risulterà la seguente caratterizzazione.
PROPOSIZIONE 3.1.
Sia (ξ(t), η(t)) la soluzione del problema (1.5)–(1.6). Nel
caso
[V]
c1 > 0 e
i) det B ≥ 0 e cc21 < bb21
,
11
o ii) det B < 0 e cc21 < bb22
,
12
si ha
ξ(t) → ξ̃0 in legge
per t → ∞,
lim η(t) = −∞ q.s.,
t→∞
ove ξ˜0 è una variabile aleatoria avente la legge rappresentata dalla densità
ψ1 (x) = C exp
(3.1)
2c
1
x
21
con la costante C determinata dalla relazione
Nel caso
[VI]
−
∞
−∞
2b11 x e
21
ψ1 (x)dx = 1.
c2 > 0 e
i) det B ≥ 0 e cc12 < bb12
,
22
c1
b11
o ii) det B < 0 e c2 < b21 ,
si ha
lim ξ(t) = −∞ q.s.,
t→∞
η(t) → η̃0 in legge
per t → ∞,
ove η̃0 è una variabile aleatoria avente la legge rappresentata dalla densità
(3.2)
ψ2 (y) = C exp
2c
2
y
2
2
con la costante C determinata dalla relazione
2b22 y − 2 e
2
∞
−∞
ψ2 (y)dy = 1.
DIMOSTRAZIONE. Poiché il caso [VI] è del tutto analogo al caso [V] con lo
scambio del ruolo di ξ(t) con quello di η(t), esaminiamo solo il caso [V].
6
Ricordiamo innanzitutto alcune conseguenze del teorema di confronto per le equazioni stocastiche e dei noti teoremi riguardanti il comportamento asintotico di un’equazione stocastica a valori reali (si veda [5]).
Dalla prima equazione della (1.5) segue
dξ(t) ≤ (c1 − b11 eξ(t) )dt + 1 dW (t);
perciò per il teorema di confronto per le equazioni stocastiche si ha
˜
ξ(t) ≤ ξ(t),
(3.4)
ove ξ̃(t) è la soluzione dell’equazione stocastica
˜ = (c1 − b11 eξ̃(t) )dt + 1 dW (t).
dξ(t)
(3.5)
Come è noto, l’equazione (3.5) ammette la misura invariante rappresentata dalla densità
ψ1 (x) data nella (3.1). Poiché
∞
d
ψ1 (x)dx =
dx
0=
−∞
si ha
∞
2c
∞
1
2
1
−∞
c1
e ψ1 (x)dx =
b11
−∞
x
2b11 x − 2 e ψ1 (x)dx,
1
∞
−∞
ψ1 (x)dx =
c1
.
b11
Perciò per il teorema ergodico si ha
(3.6)
1
lim
t→∞ t
t
ξ̃(t )
e
0
∞
dt =
−∞
ex ψ1 (x)dx =
c1
b11
q.s..
. È chiaro che, se
Consideriamo il sottocaso [V]–i): c1 > 0, det B ≥ 0, cc21 < bb21
11
c2 < 0, allora dal lemma 2.1 segue immediatamente che limt→∞ η(t) = −∞ q.s.. Ma
per ottenere la stessa caratterizzazione nella nostra ipotesi, moltiplichiamo la prima
equazione della (1.5) per b21 e la seconda per b11 ; cosı̀ si ha
d[b21 ξ(t)] = (c1 b21 − b11 b21 eξ(t) − b12 b21 eη(t) )dt + 1 b21 dW (t),
d[b11 η(t)] = (c2 b11 − b21 b11 eξ(t) − b22 b11 eη(t) )dt + 2 b11 dW (t).
Facendone la differenza, si ha
d[b21 ξ(t) − b11 η(t)] = (c1 b21 − c2 b11 + (det B)eη(t) )dt + (1 b21 − 2 b11 )dW (t),
ossia
b21 ξ(t) − b11 η(t) = b21 ξ(0) − b11 η(0)+
7
+(c1 b21 − c2 b11 )t + det B
t
0
eη(t ) dt + (1 b21 − 2 b11 )W (t).
Poiché det B ≥ 0, posto
Z(t) = b21 ξ(0) − b11 η(0) + (c1 b21 − c2 b11 )t + (1 b21 − 2 b11 )W (t),
si ha b21 ξ(t) − b11 η(t) ≥ Z(t) e quindi
η(t) =
1
b21
1
b21
ξ(t) −
(b21 ξ(t) − b11 η(t)) ≤
ξ(t) −
Z(t).
b11
b11
b11
b11
Tenuto conto che limt→∞
W (t)
t
= 0 q.s., si ha
Z(t)
= c1 b21 − c2 b11 > 0 q.s..
t→∞
t
lim
Ricordiamo inoltre che per le (3.4)–(3.6) si ha
˜
ξ(t)
ξ(t)
1
lim
≤ lim
= c1 − b11 lim
t→∞ t
t→∞ t
t→∞ t
t
eξ̃(t ) dt = 0
q.s..
0
Pertanto si ha
(3.7)
lim
t→∞
b21
1
1
η(t)
ξ(t)
Z(t)
≤
−
≤−
lim
lim
(c1 b21 − c2 b11 ) < 0 q.s..
t→∞
t→∞
t
b11
t
b11
t
b11
La (3.7) implica evidentemente che
(3.8)
lim η(t) = −∞
t→∞
q.s..
. Moltiplicando
Ora consideriamo il sottocaso [V]–ii): c1 > 0, det B < 0, cc21 < bb22
12
la prima equazione della (1.5) per b22 e la seconda per b12 e facendone la differenza, si
ha
d[b22 ξ(t) − b12 η(t)] = (c1 b22 − c2 b12 − (det B)eξ(t) )dt + (1 b22 − 2 b12 )dW (t).
Si ricorda che c1 b22 − c2 b12 > 0 e che det B < 0. Ciò essendo, un ragionamento analogo
a quello del sottocaso [V]–i) ci conduce di nuovo alla (3.8). Cioè in tutti i due sottocasi
viene verificata la relazione (3.8).
Poiché η(t) tende a −∞ quasi sicuramente, qualunque siano ε > 0 e ε > 0 esiste
t0 > 0 tale che
(3.9)
IP{ sup η(t) > log ε } ≤ ε .
t≥t0
8
Perciò per ω ∈ { supt≥t0 η(t) > log ε } e per t ≥ t0 vale la disuguaglianza
(3.10)
(c1 − b11 eξ(t) − b12 ε)dt + 1 dW (t) ≤ dξ(t) ≤ (c1 − b11 eξ(t) )dt + 1 dW (t).
Per l’arbitrarietà di ε > 0 e di ε > 0, dalle (3.9)–(3.10) si deduce che ξ(t) converge in
legge ad una variabile aleatoria ξ˜0 avente la legge rappresentata dalla densità ψ1 (x).
§ 4. - Caso di coesistenza stabile: (i) - funzione di Has’minskij e misura
invariante.
In questo paragrafo e nel paragrafo successivo esaminiamo il caso [VII]. Nel presente
paragrafo, costruendo una funzione di Has’minskij, si dimostra l’esistenza di una misura
invariante su IR2 .
Diremo infatti che una funzione non negativa V di classe C 2 (IRn ) è funzione di
Has’minskij per l’equazione stocastica a valori in IRn
(4.1)
dX(t) = b(X(t))dt + σ(X(t))dW (t)
con un moto browniano W (t) a valori in IRm , se essa verifica la relazione
sup A∗ V (x) → −∞
(4.2)
|x|≥r
per r → ∞,
ove A∗ è l’operatore definito da
(4.3)
n
n
1 ∂ 2v
∂v
aij (x)
+
bi (x)
,
A v=
2 i,j=1
∂xi∂xj
∂xi
i=1
∗
aij (x) =
m
σik (x)σjk (x).
k=1
L’esistenza di una funzione di Has’minskij implica l’esistenza di una misura invariante per una classe sufficientemente ampia di equazioni stocastiche (si veda [6], Chap.
III). Per trovare una funzione di Has’minskij, è utile il seguente lemma.
LEMMA 4.1. Sia U una funzione non negativa di classe C 2 (IRn ). Se esistono due
costanti positive ε, M ed un compatto K di IRn tali che
sup A∗ U (x) ≤ −ε,
(4.4)
(4.5)
(4.6)
x∈K
inf U (x) → ∞
|x|≥r
per r → ∞,
n
∂U ∂U
1 aij (x)
≤ M < ∞,
2 i,j=1
∂xi ∂xj
9
allora la funzione V = 12 U 2 è una funzione di Has’minskij per l’equazione (4.1) (nel
senso qui sopra precisato).
DIMOSTRAZIONE. Applicando l’operatore A∗ alla funzione V = 12 U 2 , si ha
n
1 ∂U ∂U
aij (x)
.
A V = UA U +
2 i,j=1
∂xi ∂xj
∗
∗
Dalle (4.4) e (4.6) segue che per r > maxx∈K |x| si ha
sup A∗ V (x) ≤ −ε
|x|≥r
inf U (x) + M.
|x|≥r
Pertanto in virtù della condizione (4.5) la funzione V verifica la (4.2).
Con l’aiuto del lemma 4.1 dimostriamo l’esistenza di una funzione di Has’minskij
per l’equazione (1.5).
PROPOSIZIONE 4.1. Se valgono le disuguaglianze
[VII]
c1 > 0,
c2 > 0,
det B > 0,
b21
c2
b22
<
<
,
b11
c1
b12
allora esiste una funzione di Has’minskij per l’equazione stocastica (1.5).
DIMOSTRAZIONE. Ricordiamo innanzitutto che per l’equazione (1.5) la (4.3) ha
l’espressione
A∗ v =
(4.7)
1 ∂ 2v
∂ 2v
1 2 ∂ 2v
1 2 + 1 2
+ 22 2 +
2 ∂x
∂x∂y 2 ∂y
+(c1 − b11 ex − b12 ey )
∂v
∂v
+ (c2 − b21 ex − b22 ey ) .
∂x
∂y
Grazie al lemma 4.1, per dimostrare la proposizione 4.1, è sufficiente costruire una
funzione U ∈ C 2 (IR2 ) ed un compatto K di IR2 che verifichino le condizioni del lemma
4.1, in cui l’operatore A∗ ha l’espressione precisata nella (4.7).
< cc21 < bb22
, scegliamo quattro costanti
Ricordando che si ha per ipotesi 0 < bb21
11
12
positive κ, λ, µ, ν tali che valga
κ
µ
b21
c2
b22
< <
< <
.
b11
ν
c1
λ
b12
(4.8)
Scegliamo inoltre quattro numeri negativi α1 , α2 , β1 , β2 tali che α1 < α2 < 0, β1 < β2 <
0 e che
1 2 κ+µ
,
2 1 α2 − α1
1 2 λ+ν
,
2 2 β2 − β1
(µb11 + νb21 )eα2 ,
10
(µb12 + νb22 )eβ2
siano sufficientemente piccoli (come sarà precisato in seguito). Con le rette {x = αi },
{y = βi } (i = 1, 2) dividiamo il piano IR2 in nove parti
D1 = {(x, y) | α2 ≤ x, β2 ≤ y},
D2 = {(x, y) | x < α1 , β2 ≤ y},
D3 = {(x, y) | x < α1 , y < β1 },
D4 = {(x, y) | α2 ≤ x, y < β1 },
E1 = {(x, y) | α1 ≤ x < α2 , β2 ≤ y},
E2 = {(x, y) | x < α1 , β1 ≤ y < β2 },
E3 = {(x, y) | α1 ≤ x < α2 , y < β1 },
E4 = {(x, y) | α2 ≤ x, β1 ≤ y < β2 },
G = {(x, y) | α1 ≤ x < α2 , β1 ≤ y < β2 }.
Poniamo
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
(4.9)
κx + λy + C1
−µx + λy + C2
−µx − νy + C3
κx − νy + C4
κ+µ
κα1 +µα2 2
+ λy + C1
U (x, y) = 2(α2 −α1 ) x − κ+µ
⎪
⎪
λβ1 +νβ2 2
λ+ν
⎪
⎪
y
−
− µx + C2
⎪
2(β2 −β1 )
λ+ν
⎪
⎪
⎪
κ+µ
κα1 +µα2 2
⎪
− νy + C3
x
−
⎪
2(α2 −α1 )
κ+µ
⎪
⎪
⎩ λ+ν λβ1 +νβ2 2
y
−
+ κx + C4
2(β2 −β1 )
λ+ν
per (x, y) ∈ D1 ,
per (x, y) ∈ D2 ,
per (x, y) ∈ D3 ,
per (x, y) ∈ D4 ,
per (x, y) ∈ E1 ,
per (x, y) ∈ E2 ,
per (x, y) ∈ E3 ,
per (x, y) ∈ E4 .
Non è difficile constatare che le costanti Ci e Ci (i = 1, · · · , 4) possono essere scelte
in modo che la funzione U (x, y) sia continua in IR2 \G. Inoltre calcolando le derivate
parziali di U (x, y) nei punti di {x = αi } e di {y = βi } (i = 1, 2), si constata che
le derivate della funzione U (x, y) cosı̀ costruita sono continue. È chiaro che U (x, y)
può essere prolungata anche in G in modo che essa risulti di classe C 1 (IR2 ). Inoltre è
chiaro che la scelta delle costanti Ci e Ci (i = 1, · · · , 4) ci permette di avere U (x, y) non
negativa in tutto IR2 .
Come risulta immediatamente da calcoli espliciti (si ricordino le (4.7) e (4.9)), A∗ U
ha, all’interno di ciascuna delle regioni Di , Ei (i = 1, 2), l’espressione
(4.10)1
(4.10)2
A∗ U (x, y) = κ(c1 − b11 ex − b12 ey ) + λ(c2 − b21 ex − b22 ey )
in D1 ,
A∗ U (x, y) = −µ(c1 − b11 ex − b12 ey ) + λ(c2 − b21 ex − b22 ey ) =
= (−µc1 + λc2 ) + (µb11 − λb21 )ex + (µb12 − λb22 )ey
11
in D2 ,
(4.10)3
A∗ U (x, y) = −µ(c1 − b11 ex − b12 ey ) − ν(c2 − b21 ex − b22 ey )
in D3 ,
A∗ U (x, y) = κ(c1 − b11 ex − b12 ey ) − ν(c2 − b21 ex − b22 ey ) =
(4.10)4
= (κc1 − νc2 ) + (−κb11 + νb21 )ex + (−κb12 + νb22 )ey
(4.10)5
A∗ U (x, y) =
1 2 κ+µ
+ λ(c2 − b21 ex − b22 ey )+
2 1 α2 − α1
+(c1 − b11 ex − b12 ey )
(4.10)6
A∗ U (x, y) =
κα1 + µα2 κ+µ x−
α2 − α1
κ+µ
A∗ U (x, y) =
A∗ U (x, y) =
κα1 + µα2 κ+µ x−
α2 − α1
κ+µ
in E2 ,
in E3 ,
1 2 λ+ν
+ κ(c1 − b11 ex − b12 ey )+
2 2 β2 − β1
+(c2 − b21 ex − b22 ey )
Poniamo
λβ1 + νβ2 λ+ν y−
β2 − β1
λ+ν
1 2 κ+µ
− ν(c2 − b21 ex − b22 ey )+
2 1 α2 − α1
+(c1 − b11 ex − b12 ey )
(4.10)8
in E1 ,
1 2 λ+ν
− µ(c1 − b11 ex − b12 ey )+
2 2 β2 − β1
+(c2 − b21 ex − b22 ey )
(4.10)7
in D4 ,
λβ1 + νβ2 λ+ν y−
β2 − β1
λ+ν
in E4 .
Kγ = { (x, y) ∈ IR2 | |x| ≤ γ, |y| ≤ γ }.
Dalle espressioni delle (4.10)1 –(4.10)4 e dalla condizione (4.8) si vede facilmente che
esiste un numero positivo ε tale che, se si sceglie un γ sufficientemente grande, allora si
abbia
A∗ U (x, y) ≤ −ε
all’interno di Di \Kγ (i = 1, · · · , 4).
Per l’espressione (4.10)5 si osserva che, grazie alla condizione (4.8) e alla disuguaglianza x ≥ α1 , per il coefficiente di ey vale
−b12
κα1 + µα2 κ+µ x−
− b22 λ ≤
(α2 − α1 )
κ+µ
12
≤ −b12
κ+µ κα1 + µα2 α1 −
− b22 λ = b12 µ − b22 λ < 0.
(α2 − α1 )
κ+µ
Analogamente per il coefficiente di ex nell’espressione (4.10)8 si ha
−b21
≤ −b21
λβ1 + νβ2 λ+ν y−
− b11 κ ≤
(β2 − β1 )
λ+ν
λ+ν λβ1 + νβ2 β1 −
− b11 κ = b21 ν − b11 κ < 0.
(β2 − β1 )
λ+ν
Perciò, se γ è sufficientemente grande, all’interno di E1 \Kγ e di E4 \Kγ si ha
A∗ U (x, y) ≤ −ε
con un certo ε > 0.
D’altra parte, per l’espressione (4.10)6 si osserva che, grazie alla condizione (4.8) e
alla restrizione β1 ≤ y < β2 , si ha
−c1 µ + c2
λ+ν λβ1 + νβ2 ≤
y−
β2 − β1
λ+ν
λ+ν λβ1 + νβ2 = −c1 µ + c2 λ < 0,
β2 −
β2 − β1
λ+ν
λ+ν λβ1 + νβ2 y
e ≤
y−
µb12 − b22
β2 − β1
λ+ν
λ+ν λβ1 + νβ2 y
e ≤ (µb12 + νb22 )eβ2 .
β1 −
≤ µb12 − b22
β2 − β1
λ+ν
≤ −c1 µ + c2
Analogamente per l’espressione (4.10)7 , grazie alla (4.8) e alla restrizione α1 ≤ x < α2 ,
si ha
κ+µ κα1 + µα2 ≤
x−
−c2 ν + c1
α2 − α1
κ+µ
κ+µ κα1 + µα2 = −c2 ν + c1 κ < 0,
α2 −
α2 − α1
κ+µ
κα1 + µα2 x
κ+µ x−
νb21 − b11
e ≤
α2 − α1
κ+µ
κα1 + µα2 x
κ+µ α1 −
≤ νb21 − b11
e ≤ (µb11 + νb21 )eα2 .
α2 − α1
κ+µ
≤ −c2 ν + c1
Perciò, avendo scelto α1 , α2 , β1 , β2 in modo che
1 2 κ+µ
,
2 1 α2 − α1
1 2 λ+ν
,
2 2 β2 − β1
(µb11 + νb21 )eα2 ,
13
(µb12 + νb22 )eβ2
siano sufficientemente piccoli, vale la disuguaglianza
A∗ U (x, y) ≤ −ε
con un certo ε > 0 all’interno di E1 \Kγ e di E4 \Kγ .
Riassumendo le osservazioni qui sopra riportate, si può constatare che, per un γ
sufficientemente grande, al di fuori del compatto Kγ e all’interno di Di e di Ei (i =
1, · · · , 4) vale la disuguaglianza
A∗ U (x, y) ≤ −ε
con un certo ε > 0.
Infine, sostituendo U (x, y) con (U ∗ ϑ)(x, y) con una funzione regolarizzatrice ϑ
avente il supporto contenuto nel cercio di raggio 1, si ottiene una funzione che verifica
le condizioni del lemma 4.1. Ne segue la proposizione.
PROPOSIZIONE 4.2. Se vale la [VII], esiste una misura invariante per il sistema
di equazioni (1.5).
DIMOSTRAZIONE. Segue immediatamente dalla proposizione 4.1 e dal teorema
di Has’minskij ([6], Chap. III, Th 5.1 (p. 90)).
§ 5. - Caso di coesistenza stabile: (ii) - convergenza alla misura invariante.
Il fatto che nelle due equazioni della (1.5) le perturbazioni stocastiche sono dovute
allo stesso moto browniano W (t) a valori reali corrisponde alla degenerazione della matrice di diffusione, il che rende necessari ulteriori esami dell’equazione (1.5) per dedurre
dall’esistenza di una misura invariante la convergenza della legge di (ξ(t), η(t)) a tale
misura, enunciata nella seguente proposizione.
PROPOSIZIONE 5.1. Nel caso
c1 > 0,
[VII]
c2 > 0,
det B > 0,
b21
c2
b22
<
<
,
b11
c1
b12
l’equazione (1.5) ammette una e una sola misura invariante e la soluzione (ξ(t), η(t)) del
problema (1.5)–(1.6) converge in legge per t → ∞ ad una variabile aleatoria Z0 a valori
in IR2 la cui legge è la misura invariante dell’equazione (1.5). Inoltre, suddividendo il
caso [VII] in quattro sottocasi a), b), c), d):
a) vale uno dei seguenti quattro casi a1 ), a2 ), a3 ), a4 ):
a1 )
a2 )
a3 )
a4 )
b)
2
1
≥
2
c2
1 ≤ c1 ,
1 ≤ 21 , bb22
≤ 21 ,
12
2
2
b21
1 ≤ 1, 1 ≤ b11 ,
c2
≤ 21 < 1,
c1
1, cc21 < 21 < bb22
,
12
1<
14
c)
2
1
2
1
≤ 1,
b21
b11
2
1
<
<
c2
c1 ,
= cc21 = 1,
d)
ed indicando con E il supporto della misura invariante, si ha,
nel sottocaso a), E = IR2 ,
nel sottocaso b), ∃ C ∈ IR tale che E = { (x, y) ∈ IR2 | 1 y ≤ 2 x + C },
nel sottocaso c), ∃ C ∈ IR tale che E = { (x, y) ∈ IR2 | 1 y ≥ 2 x + C },
nel sottocaso d), E = Γ0 = {(x, y) ∈ IR2 | y = x + log(b11 − b21 ) − log(b22 − b12 ) }.
In particolare, nel sottocaso d), la densità della misura invariante sulla retta Γ0 è, se si
fa riferimento a ξ,
(5.1)
ψ1 (x) = C exp
2c1 x − [b11 + b21 +
b11 −b21
(b
b22 −b12 12
21
+ b22 )]ex ,
o, se si fa riferimento a η,
2c2 y − [ b22 −b12 (b11 + b21 ) + b12 + b22 ]ey b11 −b21
ψ2 (y) = C exp
,
22
(5.2)
ove C e C sono costanti di normalizzazione.
Si noti che i sottocasi a1 ), a2 ), a3 ), a4 ), b), c), d) esauriscono tutti i possibili
sottocasi del caso [VII].
Per dimostrare la proposizione 5.1, osserviamo innanzitutto che nei sottocasi a),
b), c) la funzione di transizione markoviana definita dalla (1.5) ammette la densità.
LEMMA 5.1.
Nei sottocasi a), b), c) la funzione di transizione markoviana
P (t, x, y, A) (t > 0, (x, y) ∈ IR2 , A ∈ B(IR2 )) che l’equazione stocastica (1.5) definisce
ammette la densità p(t, x, y, x, y ) di classe C ∞ ( ]0, ∞[ × IR2 × IR2 ).
DIMOSTRAZIONE. Posto
X1 = 1
∂
∂
+ 2 ,
∂x
∂y
X0 = (c1 − b11 ex − b12 ey )
∂
∂
+ (c2 − b21 ex − b22 ey ) ,
∂x
∂y
l’operatore A∗ dato nella (4.7) può essere scritto nella forma
(5.3)
A∗ =
1 2
X + X0 .
2 1
D’altra parte, indicando il commutatore con la parentesi di Lie ([X, Y ] = XY − Y X),
si ha
∂
∂
+ (1 b21 ex + 2 b22 ey ) ,
[X0 , X1 ] = (1 b11 ex + 2 b12 ey )
∂x
∂y
[X1 , [X0 , X1 ]] = (21 b11 ex + 22 b12 ey )
15
∂
∂
+ (21 b21 ex + 22 b22 ey ) .
∂x
∂y
Perciò, se 1 = 2 , allora in ogni punto (x, y) di IR2 tra i tre campi vettoriali X1 ,
[X0 , X1 ], [X1 , [X0 , X1 ]] ne esistono due linearmente indipendenti. Se invece 1 = 2 ,
allora [X0 , [X0 , X1 ]] si riduce a
[X0 , [X0 , X1 ]] = 1 (c1 b11 ex + c2 b12 ey )
∂
∂
+ 2 (c1 b21 ex + c2 b22 ey ) .
∂x
∂y
Perciò nel caso in cui 1 = 2 e c1 = c2 , in ogni punto (x, y) di IR2 tra i tre campi
vettoriali X1 , [X0 , X1 ], [X0 , [X0 , X1 ]] ne esistono due linearmente indipendenti. Cioè,
per il criterio di Hörmander [7], l’operatore A∗ dato nella (5.3) è ipoellittico.
∂
In modo analogo, si osserva inoltre che, posto Y = X0 + ∂t
, tra i campi vettoriali
3
X1 , Y , [Y, X1 ], [Y, [Y, X1]], [X1 , [Y, X1]] (considerati su IR ) ne esistono in ogni punto
(x, y, t) ∈ IR3 tre linearmente indipendenti.
Pertanto in virtù del teorema 3 di [8] la funzione di transizione P (t, x, y, A) ammette
la densità p(t, x, y, x, y ) di classe C ∞ ( ]0, ∞[ × IR2 × IR2 ).
Per determinare il supporto della misura invariante, dimostriamo il seguente lemma.
LEMMA 5.2. Poniamo
(5.4)
2
2
Φ(h; x) = −2 (c1 − b11 ex − b12 eh+ 1 x ) + 1 (c2 − b21 ex − b22 eh+ 1 x )
e consideriamo i quattro sottocasi a), b), c), d) introdotti nella proposizione 5.1.
Nel sottocaso a) si ha
sup Φ(h; x) > 0,
x∈IR
inf Φ(h; x) < 0
∀h ∈ IR;
inf Φ(h; x) < 0
∀h < h0 ,
x∈IR
nel sottocaso b) esiste h0 ∈ IR tale che
sup Φ(h; x) > 0,
x∈IR
x∈IR
sup Φ(h; x) = 0
x∈IR
sup Φ(h; x) < 0
x∈IR
per h = h0 ,
∀h > h0 ;
nel sottocaso c) esiste h0 ∈ IR tale che
sup Φ(h; x) > 0,
x∈IR
inf Φ(h; x) < 0
x∈IR
sup Φ(h; x) = 0
x∈IR
sup Φ(h; x) > 0
x∈IR
16
∀h > h0 ,
per h = h0 ,
∀h < h0 ;
nel sottocaso d), posto
h0 = log(b11 − b21 ) − log(b22 − b12 ),
si ha
Φ(h; x) < 0
∀h > h0 , ∀x ∈ IR,
∀x ∈ IR,
Φ(h0 ; x) = 0
Φ(h; x) > 0
∀h < h0 , ∀x ∈ IR .
DIMOSTRAZIONE. Esprimendo la funzione Φ(h; x) nella forma
(5.5)
Φ(h; x) = 1 c1
c2
2
2
2 b21 x
b22 h 2 x
−
−
−
+ 1 b11
e + 1 b12
e e 1 ,
c1
1
1
b11
1
b12
si può esaminare facilmente il comportamento dei tre termini del secondo membro della
, 21 − bb22
determinati
(5.5) (e della loro somma) in base ai segni di cc21 − 21 , 21 − bb21
11
12
dalle disuguaglianze che definiscono i quattro sottocasi a), b), c) e d), da cui segue il
lemma.
Ora dimostriamo la proposizione 5.1.
DIMOSTRAZIONE DELLA PROPOSIZIONE 5.1. Nei sottocasi a), b) e c) per
il lemma 5.1 la funzione di transizione markoviana ammette la densità p(t, x, y, x, y )
di classe C ∞ ( ]0, ∞[ × IR2 × IR2 ). Perciò anche la misura invariante, la cui esistenza è
provata nella proposizione 4.2 (la sua unicità è ancora da dimostrare), ammette una
densità ψ(x, y) regolare e soddisfacente alla relazione
(5.6)
IR2
∀t > 0, ∀(x , y ) ∈ IR2 .
ψ(x, y)p(t, x, y, x, y )dxdy = ψ(x , y )
Si osserva che l’equazione (1.5) può essere scritta nella forma
(5.7)
d
ξ(t)
η(t)
= Φ(h(t); ξ(t)) b dt + g(ξ(t), η(t)) a dt + (21 + 22 ) a dW (t),
ove Φ(·, ·) è la funzione definita nella (5.4), mentre
a =
1
2
,
b =
−2
1
,
i =
1
2
h(t) = η(t) − ξ(t) = b ·
1
1
21
i
+ 22
ξ(t)
η(t)
(i = 1, 2),
,
g(x, y) = 1 (c1 − b11 ex − b12 ey ) + 2 (c2 − b21 ex − b22 ey ).
17
Poniamo inoltre
Γh = { (x, y) ∈ IR2 | y = (2 /1 )x + h } = {v ∈ IR2 | v = ϑa + (0, h)T , ϑ ∈ IR}
(h ∈ IR),
Q+ = { (x, y) ∈ IR2 | Φ(y − (2 /1 )x; x) > 0 },
Q− = { (x, y) ∈ IR2 | Φ(y − (2 /1 )x; x) < 0 }.
Supponiamo che ψ(x, y) > 0 su una parte non vuota di Γh1 ∩ Q+ . Allora, data la
regolarità delle funzioni p(t, x, y, x, y ), ψ(x, y), dalle (5.6)–(5.7) segue che per alcuni
h > h1 si ha ψ(x, y) > 0 su tutto Γh ; più precisamente, Q+ essendo aperto e semplicemente connesso come si vede immediatamente dalla sua definizione, per ogni h > h1
tale che Γh ∩ Q+ = ∅ si ha ψ(x, y) > 0 su Γh . Inoltre, è chiaro che, se ψ(x, y) > 0 su
una parte non vuota di Γh1 ∩ Q+ , allora esiste un ε > 0 tale che ψ(x, y) > 0 su una
parte non vuota di Γh1 −ε ∩ Q+ e quindi ψ(x, y) > 0 su tutto Γh1 . Cioè, riepilogando, se
si ha ψ(x, y) > 0 su una parte non vuota di Γh1 ∩ Q+ , allora si ha ψ(x, y) > 0 su Γh per
ogni h ≥ h1 tale che Γh ∩ Q+ = ∅. Analogamente, se si ha ψ(x, y) > 0 su una parte non
vuota di Γh1 ∩ Q− , allora si ha ψ(x, y) > 0 su Γh per ogni h ≤ h1 tale che Γh ∩ Q− = ∅.
Da questa osservazione e dal lemma 5.2 segue che nel sottocaso a) la densità ψ(x, y)
della misura invariante è IR2 . Pertanto in virtù del teorema 2 di [11] (si vedano anche
[12], [9]), la misura invariante è unica e si ha
(5.8)
lim Pt µ − ψL1 (IR2 ) = 0,
t→∞
ove µ è la legge della variabile aleatoria (ξ(0), η(0)), mentre l’operatore Pt è dato da
Pt µ(x, y) =
µ(dx dy )p(t, x , y , x, y).
IR2
È dimostrata la proposizione per il sottocaso a).
Nel sottocaso b) poniamo
E0 = { (x, y) ∈ IR2 | y − (2 /1 )x ≤ h0 },
ove h0 è il numero dato nel sottocaso b) del lemma 5.2. Dall’equazione (5.7) e dal
lemma 5.2 segue che se (x0 , y0 ) ∈ E0 e se (x, y) ∈ IR2 \E0 allora per ogni t > 0 si ha
p(t, x0 , y0 , x, y) = 0. Perciò lo stesso ragionamento per il sottocaso a) ci conduce ad
affermare che E0 è il supporto di una misura invariante. Quindi, se IP{ (ξ(0), η(0)) ∈
E0 } = 1, allora, considerando E0 come spazio delle fasi (al posto di IR2 ), dal teorema
2 di [11] si deduce che vale la (5.8).
Nel caso in cui IP{ (ξ(0), η(0)) ∈ E0 } < 1, ricordando l’equazione (5.9), si deduce in
maniera del tutto analoga al lemma 3 di [13] che IP{ (ξ(t), η(t)) ∈ E0 } → 1 per t → ∞.
Ne segue l’affermazione della proposizione per il sottocaso b).
Il sottocaso c) è del tutto analogo al sottocaso b), scambiando il ruolo di ξ(t) con
quello di η(t).
18
Per quanto concerne il sottocaso d), introduciamo
(5.9)
ζ(t) =
ξ(t) + η(t)
,
2
ϑ(t) =
ξ(t) − η(t)
.
2
Allora dalla (1.5) segue
21 ζ(t) ϑ(t)
22 ζ(t) −ϑ(t)
e e
− b12 +b
e e
dt + 1 dW (t)
dζ(t) = c1 − b11 +b
2
2
b −b ζ(t) ϑ(t) b −b ζ(t) −ϑ(t) .
(5.10)
11
21
22
12
dt
e e
+
e e
dϑ(t) = −
2
2
La seconda equazione della (5.11) può essere scritta nella forma
(5.11)
1
d
ϑ(t) = eζ(t) [(b22 − b12 )e−ϑ(t) − (b11 − b21 )eϑ(t) ].
dt
2
Poiché per la funzione f (u) = (b22 − b12 )e−u − (b11 − b21 )eu valgono le relazioni
f (u) < 0 ∀u ∈ IR,
f (u0 ) = 0 con u0 =
1
(log(b22 − b12 ) − log(b11 − b21 )),
2
dalla (5.11) segue che la misura invariante per l’equazione (5.10) è concentrata sulla
retta
1
Γ̃0 = {(z, u) ∈ IR2 | u = (log(b22 − b12 ) − log(b11 − b21 )) };
2
inoltre per quasi ogni traiettoria (ζ(t), ϑ(t)), cioè quasi sicuramente, si ha
(5.12)
ϑ(t) →
1
(log(b22 − b12 ) − log(b11 − b21 )).
2
Ora supponiamo che la variabile aleatoria (ζ(0), ϑ(0)) sia concentrata su Γ̃0 . È
chiaro che si ha allora
ϑ(t) =
1
(log(b22 − b12 ) − log(b11 − b21 )) ∀t ≥ 0.
2
Perciò la prima equazione della (5.10) si riduce a
(5.13)
dζ(t) = (c1 − (1/2)b̄eζ(t) )dt + 1 dW (t),
ove
b̄ = (b11 + b21 )
b22 − b12
+ (b12 + b22 )
b11 − b21
b11 − b21
.
b22 − b12
Come è noto, il processo stocastico ζ(t) soddisfacente all’equazione stocastica (5.13)
converge in legge per t → ∞ ad una variabile aleatoria ζ̃0 avente la legge rappresentata
dalla densità
(5.14)
2c z − b̄ez 1
ψ3 (z) = C exp
,
21
19
ove C è la costante di normalizzazione.
Nel caso generale in cui la variabile aleatoria (ζ(0), ϑ(0)) non sia necessariamente
concentrata su Γ̃0 , visto che la (5.12) vale quasi sicuramente, qualunque siano ε > 0 e
ε > 0, esiste t0 > 0 tale che
IP(Ωε,t0 ) ≥ 1 − ε ,
Ωε,t0 =
b − b 1
22
12 sup ϑ(t) − log
≤ε .
2
b11 − b21
t≥t0
Perciò per ω ∈ Ωε,t0 vale la disuguaglianza
(c1 − b̄eε eζ(t) )dt + 1 dW (t) ≤ dζ(t) ≤ (c1 − b̄e−ε eζ(t) )dt + 1 dW (t) per t ≥ t0 .
Per l’arbitrarietà di ε > 0 e di ε > 0 si deduce che ζ(t) converge in legge alla variabile
aleatoria ζ̃0 avente la legge rappresentata dalla legge ψ3 (z) data nella (5.14).
Ciò essendo, per verificare l’affermazione della proposizione per il sottocaso d), è
sufficiente tradurre il risultato ottenuto nelle espressioni di ξ(t) e di η(t) mediante la
(5.10) (e, conformemente a ciò, per il cambiamento di variabili x = z + u, y = z − u).
La proposizione è dimostrata.
Le affermazioni della proposizione 5.1 per i sottocasi a), b) e c) si possono ottenere
anche ricorrendo ad una procedura analoga al lemma 2 di [13], basata su un metodo
legato al calcolo di Malliavin (si veda [1]).
§ 6. - Caso di concorrenza a pari condizioni.
Il caso [VIII] corrisponderebbe al caso di pari condizioni di concorrenza per le
due specie. Ma diversamente dal caso deteministico, la differenza della sensibilità alla
variazione di condizioni ambientali tra le due specie può provocare la diminuzione di
popolazione di una o altra specie. Più precisamente, si ha la
PROPOSIZIONE 6.1. Supponiamo che valgono
[VIII]
c1 > 0, c2 > 0, det B = 0 e bb21
= cc21 = bb22
.
11
12
2
c2
Se si ha inoltre c1 = 1 , allora si ha
(6.1)
c2 ξ(t) − c1 η(t) = c2 ξ(0) − c1 η(0)
∀t ≥ 0
e (ξ(t), η(t)) converge ad una variabile aleatoria Z0 = (Z01 , Z02 ), Z02 = cc21 Z01 +
1
c1 (c1 η(0) − c2 ξ(0)); la legge di Z0 è caratterizzata dalla densità di legge di Z01
(6.2) ψ1 (x) = IE ψ̃1 (Ξ0 , x),
ψ̃1 (Ξ0 , x) = C exp
2
c2 c1
x
c x
x
−
b
e
−
b
Ξ
e
c
,
1
11
12
0 1
21
c2
o ugualmente da quella di Z02
(6.3) ψ2 (y) = IE ψ̃2 (Θ0 , y),
2
c1 c2
y
y
ψ̃2 (Θ0 , y) = C exp 2 c2 y − b22 e − b21 Θ0 e c2
,
2
c1
20
ove C, C sono le costanti di normalizzazione, mentre
Θ0 = exp c12 (c2 ξ(0) − c1 η(0)) .
Ξ0 = exp c11 (c1 η(0) − c2 ξ(0)) ,
Se invece cc21 = 21 , allora per ogni N > 0 si ha
IP{ min (ξ(t), η(t)) < −N } → 1
(6.4)
per t → ∞.
DIMOSTRAZIONE. Dal sistema di equazioni (1.5) si deduce facilmente la relazione
d[c2 ξ(t) − c1 η(t)] = (c2 1 − c1 2 )dW (t),
ossia
c2 ξ(t) − c1 η(t) = c2 ξ(0) − c1 η(0) + (c2 1 − c1 2 )W (t).
(6.5)
Se
c2
c1
=
2
1 ,
allora la (6.1) segue immediatamente dalla (6.5) e, poiché risulta
c2
1
c2
1
ξ(t) − (c2 ξ(t) − c1 η(t)) = ξ(t) − (c2 ξ(0) − c1 η(0)),
c1
c1
c1
c1
posto Ξ0 = exp c11 (c1 η(0) − c2 ξ(0)) , si ha
η(t) =
(6.6)
c2
dξ(t) = (c1 − b11 eξ(t) − b12 Ξ0 e c1
ξ(t)
)dt + 1 dW (t).
Se Ξ0 è un numero reale, allora, come è noto, ξ(t) converge in legge ad una variabile
aleatoria avente la legge rappresentata dalla densità ψ̃1 (Ξ0 , x) riportata nella (6.2).
Tenendo conto che Ξ0 è in generale una variabile aleatoria, si ottiene la densità di Z0
proiettata sull’asse x, che è evidentemente IE ψ̃1 (Ξ0 , x).
Utilizzando la relazione (6.1) si può trasformare la (6.2) in un’espressione rispetto
a η come nella (6.3).
Ora consideriamo il caso in cui cc21 = 21 . Come abbiamo visto nel paragrafo 3,
risulta che ξ(t) ≤ ξ̃(t), η(t) ≤ η̃(t) con le soluzioni ξ̃(t), η̃(t) delle equazioni
dξ̃(t) = (c1 − b11 eξ̃(t) )dt + 1 dW (t),
dη̃(t) = (c2 − b22 eη̃(t) )dt + 2 dW (t),
che convergono in legge a variabili aleatorie avente la legge corrispondenti alle misure
invarianti date nelle (3.1), (3.2). Perciò, dato ε > 0, esistono M > 0 e t0 > 0 tali che
IP{ ξ(t) ≥ M } ≤ ε/4,
IP{ η(t) ≥ M } ≤ ε/4
∀t ≥ t0 .
D’altra parte, dato N > 0 e posto m = max(c1 M + c2 N, c1 N + c2 M ), in virtù della
(6.5) esiste un t0 ≥ t0 tale che
IP{ |c2 ξ(t) − c1 η(t)| ≤ m } ≤ ε/2 ∀t ≥ t0 .
21
Pertanto per ogni t ≥ t0 si ha
IP{ min (ξ(t), η(t)) < −N } ≥ IP{ ξ(t) ≤ M, η(t) ≤ M, |c2 ξ(t) − c1 η(t)| > m } ≥ 1 − ε.
Ne segue la (6.4).
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