INTEGRALI DI LINEA Esercizi 1. Calcolare l`integrale di linea dei

INTEGRALI DI LINEA
Esercizi
1. Calcolare l’integrale di linea dei seguenti campi lungo le curve indicate:
a)
b)
c)
d)
e)
F (x, y) = (2 − y, x)
F (x, y, z) = x2(2x,1,4z)
+y+2z 2 +1
F (x, y, z) = (2x2 y, xz, −x),
F (x, y, z) = (y, z, x)
F (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y)
γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π]
γ(t) = (t, t3 , t2 ), t ∈ [0, 2]
γ(t) = (1 + cos t, sin t, −2 sin2 t), t ∈ [0, 2π]
γ(t) = (A cos t, A sin t, B), t ∈ [0, 2π], A, B > 0
γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π], a, b > 0
2. Calcolare l’integrale del campo F (x, y) = (y 2 , x2 ) lungo la curva γ data dall’insieme di
punti {(x, y) : y ≥ 0, a12 x2 + b12 y 2 = 1}, percorso in senso antirorario.
3. Determinare per quali valori a ∈ R si annulla
e γ(t) = (cos t, sin t), con t ∈ [0, 2π].
R
γ
F · dP , dove F (x, y) = (2x2 + y 2 , axy)
4. Calcolare γ F · dP , dove F (x, y) = (0, x) e γ è una parametrizzazione del triangolo di
vertici (0, 0), A(2, 0), B(1, 3) percorso in senso antiorario.
R
Svolgimento
1. a)
γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π]
γ 0 (t) = (1 − cos t, sin t)
F (γ(t)) · γ 0 (t) = (1 + cos t, t − sin t) · (1 − cos t, sin t) = t sin t
Ne risulta quindi che:
Z
F · dP =
γ
Z
0
2π
t sin t dt = [−t cos t + sin t]2π
0 = −2π.
b)
γ(t) = (t, t3 , t2 ), t ∈ [0, 2]
F (γ(t)) · γ 0 (t) =
Z
γ
F · dP =
Z
0
2
γ 0 (t) = (1, 3t2 , 2t)
(2t, 1, 4t2 )
2t + 3t2 + 8t3
2
·
(1,
3t
,
2t)
=
t2 + t3 + 2t4 + 1
t2 + t3 + 2t4 + 1
i2
2t + 3t2 + 8t3
2
3
4
dt
=
log(t
+
t
+
2t
+
1)
= log 45
0
t2 + t3 + 2t4 + 1
1
c)
γ(t) = (1 + cos t, sin t, −2 sin2 t), t ∈ [0, 2π]
γ 0 (t) = (− sin t, cos t, −4 sin t cos t)
F (γ(t)) · γ 0 (t) = −2 sin2 t − 6 sin2 t cos t − 4 sin2 t cos2 t + 4 cos t sin t = g(t)
Dato che −4 sin2 t cos2 t = −4 sin2 t(1 − sin2 t) = −4 sin2 t + 4 sin4 t,
g(t) = −6 sin2 t cos t + 4 sin t cos t − 6 sin2 t + 4 sin4 t
Calcoliamo gli integrali dei singoli addendi:
R 2π
0
R 2π
0
R 2π
0
R 2π
0
4 cos t sin t dt = 4
h
−6 sin2 t cos t dt =
sin2 t dt =
sin4 t dt =
h
1
4
1
(t
2
h
i2π
sin2 t
=0
2
h 0 3 i2π
−6 sin3 t
0
i2π
=0
− sin t cos t)
=π
− sin3 t cos t
+3
0
i2π
0
R 2π
0
sin2 t dt = 32 π.
d)
γ(t) = (A cos t, A sin t, B), t ∈ [0, 2π]
γ 0 (t) = (−A sin t, B cos t, 0)
F (γ(t)) · γ 0 (t) = −A2 sin2 t + AB cos t
Z
F · dP =
γ
Z
2π
0
2π
t − sin t cos t
−A sin t + AB cos t dt = −A ·
+ AB sin t
2
2
2
2
= −A2 π.
0
e)
γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ [0, 2π]
γ 0 (t) = (−a sin t, a cos t, b)
F (γ(t)) · γ 0 (t) = abt sin t + abt cos t + ab cos t − ab sin t − a2 = g(t)
Z
F · dP =
Z
γ
2π
g(t)dt = −2πa2 − 2πab = −2πa(a + b).
0
2. Il semiellisse di semiassi a, b si parametrizza in senso antiorario come (a cos t, b sin t),
con t ∈ [0, π]. In questo modo risulta quindi parametrizzata
la curva
Z −γ(t), percorsa
Z
F · dP = −
in senso opposto a quello richiesto. Ricordando che
−γ
F · dP , potremo
γ
procedere come negli esercizi precedenti.
−γ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, π]
−γ 0 (t) = (−a sin t, a cos t)
2
3
0
2
2
2
2
2
3
F
Z (γ(t)) · (−γ (t))
Z = (b sin t, a cos t) · (−a sin t, b cos t) = −ab sin t + a b cos t
π
F · dP = −
γ
(−ab2 sin3 t + a2 b cos3 t) dt
0
= −ab2
Z
π
(1 − cos2 t) sin t dt − a2 b
0
Z
0
2
π
2
(1 − sin2 t) cos t dt = ab2 .
3
3.
γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]
γ 0 (t) = (− sin t, cos t)
F (γ(t)) · γ 0 (t) = (cos2 t + 1, a cos t sin t) · (− sin t, cos t) = (a − 1) cos2 t sin t − sin t
Z
γ
Z
F · dP =
2π
((a − 1) cos2 t sin t − sin t) dt
"0
#2π
cos3 t
+ cos t
= −(a − 1)
3
∀a ∈ R.
= 0,
0
4. Il triangolo di vertici O(0, 0), A(2, 0), B(1, 3) può essere decomposto in tre segmenti:
OA :
AB :
OB :
γ10 (t) = (1, 0)
γ20 (t) = (−1, 3)
γ30 (t) = (1, 3)
t ∈ [0, 2]
t ∈ [0, 1]
t ∈ [0, 1]
γ1 (t) = (t, 0)
γ2 (t) = (−t + 2, 3t)
γ3 (t) = (t, 3t)
Affinché il triangolo sia percorso in senso antiorario, OA va percorso da O verso A, AB
va percorso da A verso B, mentre OB va percorso da B verso O. Ne segue che la terza
curva è orientata in senso opposto a quello richiesto. Dunque avremo che γ può essere
scritta come somma in queto modo: γ = γ1 + γ2 − γ3 . Nel calcolo dell’integrale, ne
terremo conto.
Z
Zγ1
Zγ2
F · dP =
F · dP =
F · dP =
γ3
Z
2
Z01
Z01
(0, t) · (1, 0)dt = 0
(0, −t + 2) · (−1, 3)dt =
(0, t) · (1, 3)dt =
0
Z
Z
1
(−3t + 6)dt =
0
1
3t dt =
0
3
2
Mettendo insieme i vari calcoli, abbiamo che:
Z
γ
F · dP =
Z
F · dP +
γ1
Z
γ2
3
F · dP −
Z
γ3
F · dP = 3.
9
2