ESERCIZI DI GEOMETRIA II (G) G1 Nello spazio vettoriale R3 `e

ESERCIZI DI GEOMETRIA II (G)
G1
Nello spazio vettoriale
è assegnata la forma bilineare simmetrica (prodotto scalare generalizzato)
F associata, rispetto alla base canonica, alla matrice


2h
0 1−h
h
0  con h parametro reale.
A= 0
1−h 0
2h
R3
Studiare la segnatura di F al variare di h, precisando in quali casi F definisce un prodotto scalare.
Per h = 2 trovare una base di R3 ortonormale rispetto ad F .
G2
Nello spazio vettoriale R3 è assegnata la forma bilineare simmetrica (prodotto scalare generalizzato)
G associata, rispetto alla base canonica, alla matrice


k 1 0
A =  1 1 1  con k parametro reale.
0 1 k
Studiare la segnatura di G al variare di k, precisando in quali casi G definisce un prodotto scalare.
Per k = 3 trovare una base di R3 ortonormale rispetto a G.
G3
Nello spazio vettoriale
è assegnata la forma bilineare simmetrica (prodotto scalare generalizzato)
f associata, rispetto alla base canonica, alla matrice


0 0 −1
A =  0 1 0 .
−1 0 0
R3
a) Determinare tutti i sottospazi V di dimensione positiva tali che la restrizione di f a V sia nulla.
b) Dato il sottospazio W = {(x, y, z) | 2x − y = y − z = 0} ⊆ R3 trovare una base di R3 ortogonale
rispetto ad f che contenga un vettore di W oppure giustificare la non esistenza di una base di
questo tipo.
c) Trovare una base di R3 ortogonale sia rispetto ad f che rispetto al prodotto scalare euclideo di
R3 .
G4
Sia ϕn : Rn → Rn l’endomorfismo associato alla matrice

1
1 ... 1
 1
1 ... 1
M (ϕn ) = 
 ... ... ... ...
1
1 ... 1


 ∈ Rn,n .

Verificare che ϕn è semplice per ogni intero positivo n e trovare una base di autovettori ortogonale
rispetto al prodotto scalare euclideo di Rn .
G5
Sono assegnati in R3 i vettori v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1). Determinare un prodotto
scalare (ce ne sono infiniti) rispetto al quale A = [v1 , v2 , v3 ] sia una base ortogonale. Trovare le
matrici associate a questo prodotto scalare rispetto alla base canonica e rispetto alla base A.
G6
Nello spazio vettoriale R4 si consideri il sottospazio V = {(x, y, z, t) | x + y − z = z − t = 0}.
Determinare il sottospazio V ⊥ . Determinare il generico endomorfismo ϕ : R4 → R4 autoaggiunto che
abbia V e V ⊥ come autospazi.
1
Nello spazio vettoriale
G7
sono assegnati il prodotto scalare
R3
(x, y, z) ◦ (x0 y 0 z 0 ) = xx0 + 2yy 0 + zz 0
ed il sottospazio V = {(x, y, z) | x + y = x − z = 0}.
Determinare il sottospazio V ⊥ . Per ogni vettore v ∈ R3 determinare i vettori v1 ∈ V e v2 ∈ V ⊥
tali che v = v1 + v2 . Determinare il generico endomorfismo ϕ : R3 → R3 per il quale V e V ⊥ sono
autospazi. Verificare che questi endomorfismi sono autoaggiunti.
G8
Nello spazio vettoriale R4 sia S il prodotto scalare associato, rispetto alla base canonica, alla matrice


2 0 0 1
 0 1 0 1 

SE = 
 0 0 1 0 
1 1 0 0
e sia V = {(x, y, z, t) | x + 2 = z + t = 0} ⊆ R4 . Determinare il sottospazio V ⊥ ed una sua base
[u1 , u2 ]. Dire se esistono basi di V ⊥ per le quali l’endomorfismo ϕ : V ⊥ → V ⊥ definito da:
ϕ(u1 ) = u1 + 2u2
ϕ(u2 ) = 2u1 + u2
è semplice e, in caso affermativo, determinarne una.
G9
Nello spazio proiettivo P (R) sono assegnati i punti A ≡ (1, −1, 0, 0, 0), B ≡ (0, 0, 0, 1, −1), C ≡
(0, 1, −1, 1, 0). Considerati i piani
x1 + hx5 = 0
α = hA, B, Ci , βh :
x2 + hx4 = 0
4
determinare, al variare del parametro reale h, la loro intersezione α ∩ β ed il loro congiungente α + β.
G10
Nello spazio proiettivo P (R) sono assegnati il piano βh , la retta r, ed il punto P :

 x1 + x2 = 0
x1 + hx5 = 0
x =0
; r:
; P ≡ (0, 1, −1, 1, 0)
βh :
x2 + hx4 = 0
 3
x4 + x5 = 0
4
Detto α il piano determinato dalla retta r e dal punto P , determinare, al variare del parametro reale
h, la loro intersezione α ∩ β ed il loro congiungente α + β.
G11
Nello spazio proiettivo P 4 (R) determinare tre piani (sottospazi lineari di dimensione 2) α, β, γ tali
che α + β ( P 4 , α + γ ( P 4 , β + γ ( P 4 e che per il loro congiungente si abbia: α + β + γ = P 4 .
G12
Nello spazio affine
sono assegnati i sottospazi lineari

 x−y−t=1
x − y + kz − t = 1
x−y =1+k
L1 :
L2 :
x−y−t=1−k

kz − t = 0
A4 (R)
Determinare, al variare di k, il sottospazio congiungente L1 + L2 .
2
con k ∈ R parametro.
G13
Nello spazio affine
R1 :
A4 (R)







sono assegnate le rette

x=λ+1
x = 2µ + 1



y=0
y = −µ
R2 :
z = −2
z =µ−2



t = −λ
t=0

x = (k + 2)ν + 1



y = (2k − 3)ν
R3 :
.
z = (3k − 2)ν − 2



t = (2 − k)ν
Verificare che le tre rette hanno a comune un punto e determinare questo punto. Determinare il piano
R1 + R2 . Determinare, al variare di k, il sottospazio congiungente R1 + R2 + R3 .
G14
Nello spazio affine A4 (R) sono assegnati il piano π e l’iperpiano γ:
x − y + hz − 1 = 0
π:
γ : x + 5y − z − t − 1 = 0 con h, k ∈ R parametri.
ky − t = 0
Determinare, al variare dei parametri, il sottospazio L = π ∩ γ; dire in quali casi L risulta parallelo
all’iperpiano π 0 : y + z − 123 = 0.
G15
Nello spazio affine A4 (R) sono assegnati i punti P1 ≡ (0, 1, 0, 0), P2 ≡ (2, −1, 1, 1), P3 ≡ (1, 0, 1, 0).
1) Determinare il sottospazio lineare L congiungente i tre punti.
2) Determinare le rette del piano π : x−y+z +3 = y+z +t = 0 passanti per il punto P ≡ (−1, 1, −1, 0)
e parallele ad L .
Nello spazio affine
A4 (k),
G16
con k campo qualsiasi, sono assegnati i piani π1 , π2 :
x+y =0
x−z =0
.
π1 :
;
π2 :
z+t=0
y+t=0
Determinare il sottospazio intersezione π1 ∩ π2 ed il sottospazio congiungente π1 + π2 .
G17
Nello spazio affine A4 (R) sono assegnali l’iperpiano H : x + y − z = 0 ed i punti A ≡ (1, 2, 0, 0),
B ≡ (0, 1, 1, 1), C ≡ (0, 0, 0, 1). Determinare:
1) il luogo D dei punti D ∈ H tali che la retta CD è complanare alla retta AB;
2) il minimo sottospazio lineare contenente D e la retta AB.
G18
Nello spazio affine
in cui è fissato il sistema di riferimento canonico (O, e1 , e2 , e3 ), sia π il piano
di equazione x + y − hz + 1 = 0. Sia F l’affinità di A3 che lascia fisso il punto O ed è associata
all’isomorfismo f : R3 → R3 definito da:
A3 (R)
f (e1 ) = e2 + e3 ,
f (e2 ) = e1 − e2 ,
f (e3 ) = e3 .
1) Determinare il piano π 0 = F (π).
2) Determinare il luogo descritto dall’intersezione π ∩ π 0 al variare di h.
G19
Nello spazio affine A4 (R) sono assegnati il piano π ed il punto A1 :
x1 + x2 + x3 = 0
π:
A1 ≡ (1, 0, 0, 1).
x2 + x3 + x4 = 0
1) Determinare l’iperpiano H congiungente π con A1 .
2) Verificare che esiste una sola affinità ϕ di A4 che trasforma i punti O ≡ (0, 0, 0, 0), A1 ≡ (1, 0, 0, 1),
3
A2 ≡ (1, −1, 1, 0), A3 ≡ (−2, 1, 1, 0) in se stessi ed il punto A4 ≡ (1, 0, 0, 0) nel punto A04 ≡ (0, 0, 0, 1).
3) Determinare l’iperpiano L = ϕ−1 (H).
G20
Nello spazio proiettivo P 4 (R) determinare:
1) le proiettività di P 4 per le quali il punto A ≡ (1, 0, 0, 0, 1) è unito e l’iperpiano x1 − x2 = 0 è luogo
di punti uniti;
2) il trasformato, da una qualsiasi di queste proiettività, del piano x1 + x2 = x3 + x4 + x5 = 0.
G21
Nello spazio proiettivo P 4 (R) sono dati i piani S, T e la retta R:
S:
x3 = 0
x4 + x5 = 0
T :
x2 + x3 = 0
x4 = 0

 x1 = 0
x + 2x3 = 0 .
R:
 2
x5 = 0
1) Verificare che
S + R = T + R = P4
e
S ∩R=T ∩R=∅
e calcolare S ∩ T .
2) Determinare la proiezione da R su T del punto (1, 1, 0, 1, −1).
G22
Nello spazio proiettivo P 5 (k) sono dati i sottospazi lineari


x − x2 = 0


 1
 ax1 − x2 = 0
x1 − x3 = 0
x − ax3 = 0
L1 :
L2 :
x1 − x4 = 0

 2

x2 = 0

x1 − x5 = 0
(a ∈ k).
Calcolare il sottospazio congiungente L1 + L2 al variare di a, precisandone nei vari casi la dimensione.
G23
Nello spazio proiettivo P 4 (R) sono dati i punti A e B ed i piani S, T :
x1 − x2 = 0
x3 = 0
A ≡ (2, 0, 1, 0, 1)
.
T :
S:
x3 + x4 = 0
x5 = 0
B ≡ (0, −1, 0, 0, 1)
Sia π la proiezione di S su T avente centro la retta R = AB. Per ogni punto P ∈ S calcolare π(P ).
G24
Nello spazio proiettivo P 4 (R) sono dati il punto A ≡ (1, 1, 1, 1, 1) ed il piano π : x1 + x2 − x3 =
x2 + x3 − x4 = 0. Per ogni punto B ≡ (2, k, −k, 0, 1) (k ∈ R) determinare, al variare di k:
1) l’intersezione di π con la retta AB;
2) il sottospazio congiungente π + AB.
G25
Nello spazio proiettivo P (R) sono dati i piani π1 , π2 :
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + x2 = 0
π1 :
;
π2 :
x4 + x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0
4
1) Determinare l’intersezione π1 ∩ π2 .
2) Dire se esistono parametri reali λ1 , λ2 , λ3 , λ4 per cui il sottospazio congiungente π1 + π2 abbia
equazione
λ1 (x1 + x2 + x3 ) + λ2 (x4 + x5 ) + λ3 (x1 + x2 ) + λ4 (x3 + x4 + x5 ) = 0
4
G26
Si consideri lo spazio proiettivo P(V ) con V = L (v1 , v2 , v3 ) R-spazio vettoriale di dimensione 3. Sia
ω : P(V ) → P(V ) una proiettività che ha una retta r luogo di punti uniti ed un punto P ∈
/ r unito, e
sia f : V → V il corrispondente isomorfismo. Verificare che esiste una base di V rispetto alla quale la
matrice associata ad f è


λ 0 0
 0 λ 0  con λ 6= µ.
0 0 µ
G27
Sia V = L (v1 , v2 , v3 , v4 ) un k-spazio vettoriale di dimensione 4, con k campo di caratteristica 6= 2 e
sia T : V → V l’endomorfismo definito da:
T (v1 ) = v1 ,
1
T (v2 ) = − v1 + v2 ,
4
T (v3 ) = −v3 ,
1
T (v4 ) = −v3 + v4 .
4
Verificare che T è un isomorfismo e trovare i punti uniti della proiettività di P(V ) indotta da T .
G28
È data la matrice


h + 1 −1 0
0
 k
2
0 h+k 
 ∈ R4,4 .
A=
 0
0
1
−2 
0
0 −2
h
1) Detto ϕ : R4 → R4 l’endomorfismo associato ad A, determinare h e k in modo che ϕ sia autoaggiunto.
2) Per questi valori dei parametri determinare una base A = [u1 , u2 , u3 , u4 ] ortogonale di autovettori.
3) Determinare il generico endomorfismo ψ : R4 → R4 per il quale A sia una base di autovettori.
Verificare che ψ è autoaggiunto.
4) Detta B = M ( ψ) la matrice associata a ψ rispetto alla base canonica, sia F la forma bilineare
associata a B. Studiare la segnatura di F .
G29
Sia ω : P (R) → P (R) la proiettività associata all’isomorfismo f : R4 → R4 la cui matrice rispetto
alla base canonica è


0 0 1 0
 0 1 0 2 

M (f ) = 
 h 0 0 0  con 0 6= h ∈ R.
0 2 0 1
3
3
Determinare i punti uniti di ω al variare di h.
G30
Sia τ : P (R) → P (R) la proiettività associata all’isomorfismo ϕ : R4 → R4 la cui matrice rispetto
alla base canonica è


a
0
0
0
 − 3 1 −3 −3 
2
 con a, b ∈ R.
M (ϕ) = 
 0
0 −2 0 
3
−3 3
b
2
3
3
Dire per quali valori di a e b ϕ è un isomorfismo. Determinare a e b in modo che τ abbia uniti i punti
P ≡ (2, 1, 0, 0) e Q ≡ (0, 1, 0, −1) e determinare tutti i suoi punti uniti.
G31
Determinare le equazioni delle proiettività ω : P 4 (R) → P 4 (R) per la quale sono uniti i punti A ≡
(1, 0, 0, 1, 0), B ≡ (0, 1, 1, 1, 0) ed i punti del piano π di equazioni x1 + x2 − x3 = x4 − x5 = 0.
5
G32
Nello spazio proiettivo P (C) si consideri la cubica gobba (curva razionale normale standard)
3
C3 = {(λ3 , λ2 µ, λµ2 , µ3 )}.
Determinare le proiettività ω di P 3 per le quali C3 è fissa, cioè ω(C3 ) = C3 .
G33
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Studiare la conica Γ di equazione
Γ : xy − x − 1 = 0
calcolandone vertici, fuochi ed assi di simmetria. Determinare la conica Γ0 simmetrica di Γ rispetto
all’origine e la conica Γ00 simmetrica di Γ rispetto all’asse ~x.
G34
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Studiare il fascio di coniche di equazione
φ : x2 − hxy + (h − 1)y 2 + x − hy = 0
determinando, in particolare, i punti base e le coniche spezzate di φ. Per l’unica parabola del fascio
trovare vertice, fuoco, direttrice.
G35
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Determinare e studiare il fascio φ delle coniche che passano per O ed hanno ivi tangente l’asse ~y e
passano per i punti (1, 0), (1, 1). Per l’iperbole equilatera di Φ determinare un’equazione canonica,
assi di simmetria, asintoti e fuochi.
G36
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Determinare e studiare il fascio φ delle coniche che passano per O con tangente la retta x + y = 0 e
per P ≡ (1, 1) con tangente la retta x + y − 2 = 0. Determinare le rette uscenti dal punto (−1, −1) e
tangenti alla circonferenza di Φ.
G37
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Determinare l’equazione del cerchio c avente centro nell’origine e raggio 1 e della parabola p tangente
in O alla retta x + y = 0 e passante per i punti (1, 0), (0, 1). Studiare il fascio generato da c e da p.
In particolare determinarne i punti base e le coniche spezzate.
G38
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Determinare l’iperbole tangente in O all’asse ~y , avente centro sulla retta y = 1 e passante per i punti
impropri (1, 0, 0), (1, 1, 0).
G39
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Determinare la circonferenza c passante per i punti O, (2, 0), (0, 2). Determinare e studiare il fascio φ
delle coniche che iperosculano c in O. Trovare il luogo dei centri delle coniche di φ. Studiare l’iperbole
equilatera di φ.
G40
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Si consideri il fascio φ delle coniche che hanno centro H ≡ (2, 2) e passano per i punti A ≡ (−1, 1),
B ≡ (−2, −2). Spiegare perché φ non può contenere circonferenze e parabole. Studiare il fascio φ.
G41
6
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Determinare il fascio ψ delle coniche (iperboli! Perché?) che hanno l’asse ~y per asintoto e passano per
il punto (1, 1) con tangente la retta 3x − 2y − 1 = 0. Determinare il secondo asintoto per la generica
iperbole di ψ. Determinare il luogo dei centri delle coniche di ψ.
G42
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort.
O.~x, ~y , ~z.u.
x−z+1=0
Sono dati il punto P ≡ (1, 1, 1), la retta r :
ed il piano α : x−y+z = 0. Determinare
x+y+2=0
la sfera S avente centro nel punto C di α che ha distanza minima da P e tangente ad r. Determinare
i piani tangenti ad S ed ortogonali ad r.
G43
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Studiare le quadriche che contengono le rette
y=0
x=0
x−z =0
,
,
,
t=0
x + 2y = 0
t=0
x−z =0
y+z =0
G44
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Date le rette
x−y =0
x+y =0
r:
, s:
z−1=0
x+z =0
studiare il luogo delle rette complanari con r e con s che formano un angolo di
π
4
con l’asse ~z.
G45
Sono assegnate nello spazio due rette sghembe, r, s ed un piano α ortogonale ad r. Determinare e
studiare la quadrica luogo delle rette incidenti ad r e ad s e parallele ad α.
G46
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Determinare e studiare le quadriche che contengono le coniche
t=0
z=0
,
2
2
2
x2 + y 2 + 2x + y − z = 0
x +y −z =0
G47
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort.
O.~x, ~y , ~z.u.
2x − 1 = 0
Dati il punto P ≡ (1, 1, 0) e la retta r :
determinare le equazioni della circonferenza
y+z =0
descritta da P con una rotazione attorno ad r.
G48
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Sono assegnati il punto A ≡ (3, −1, 2) e le rette
x − 2z + 3 = 0
x + 2z + 15 = 0
r:
s:
y−z−3=0
y+z−3=0
Detta t la retta passante per A e perpendicolare ad r e ad s, determinare la sfera che ha centro su t
ed è tangente ad r e ad s.
G49
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
x+y =2
Data la retta r :
determinare il punto P di r equidistante dagli assi cartesiani. Detery−z =0
minare la sfera avente centro su r e tangente agli assi ed il cono luogo delle rette che passano per P e
formano con r un angolo il cui coseno è √13 .
7
G50
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Studiare, al variare del parametro reale k, il fascio di quadriche:
ψ:
x2 + 2y 2 + 2yz + kz 2 − 2kx + 2ky = 0.
G51
Sia Φ la famiglia degli iperpiani di P 4 (R) passanti per i punti A ≡ (1, 0, 0, 0, 0), B ≡ (0, 1, 1, 0, 0).
1) Dato il piano α : x1 − x2 = x3 − x4 = 0, verificare che ogni iperpiano di Φ interseca α in una retta.
2) Determinare gli iperpiani di Φ per i quali l’intersezione con α è contenuta nell’iperpiano x1 + x2 +
x3 + x4 = 0.
G52
Nello spazio proiettivo P 4 (R) sono assegnati i piani
x1 + x2 = 0
x1 + λx3 + µx4 = 0
π0 :
π:
x3 + x5 = 0
x2 + (λ − µ)x3 + x5 = 0
con λ, µ parametri reali.
1) Determinare il sottospazio π ∩ π0 al variare di λ e µ.
2) Trovare le equazioni del sottospazio congiungente π ∩ π0 col punto P ≡ (0, 0, 0, 0, 1).
G53
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Determinare e studiare la quadrica Q che contiene la conica e le rette
x=0
x+y =0
x−z =0
r2 :
r1 :
Γ:
y−1=0
z=0
y2 − x − y = 0
Studiare la conica sezione di Q col piano tangente nell’origine.
G54
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Determinare e studiare il fascio φ delle quadriche contenenti la conica
z=0
Γ:
4x2 − 4y 2 − 4x + 4y − 1 = 0
e passanti per i punti A ≡ (1, 0, 1), B ≡ (0, 0, 1), C ≡ (1, 1, 1).
G55
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Determinare e studiare le quadriche contenenti le coniche
x=0
y=0
Γ1 :
Γ2 :
.
y2 + z2 − 1 = 0
x2 + z 2 − 1 = 0
G56
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Studiare, al variare del parametro reale k, le quadriche di equazione
Q : x2 + y 2 + 2kyz + z 2 − 2kx − 1 = 0
Studiare le sezioni di Q coi piani paralleli al piano z = 0.
G57
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Dati la quadrica Q ed il piano π, rispettivamente di equazione
Q : x2 + 2kxy − y 2 − kz 2 + 2(k + 1)x + 2(k + 1)z = 0 ;
sia Γ = Q ∩ π.
8
π : x−y =0
a) Riconoscere la quadrica Q al variare del parametro reale k.
b) Determinare i valori di k per cui Γ risulta riducibile.
c) Per i valori di k per cui Γ risulta irriducibile, determinare la natura di Γ.
G58
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Studiare, al variare del parametro reale k, la famiglia di quadriche di equazione
Qk : k 2 x2 + k 2 y 2 − z 2 + 2kz − k 2 = 0.
Verificare che le quadriche Q1 e Q−1 si secano in due coniche distinte.
G59
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Studiare, al variare di k, la famiglia ψ di quadriche di equazione
ψ : x2 + 2kxy + y 2 − 2kyz − z 2 + k − 1 = 0
determinando le quadriche di rotazione di ψ.
G60
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Studiare, al variare del parametro reale h, la famiglia Ch di superficie cubiche di equazione
Ch : x3 + x2 y + z 3 + hx2 − hy 2 + z 2 = 0
In particolare determinare i suoi punti singolari ed il cono tangente in detti punti.
G61
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
è data la superficie F di equazione
F : x3 − y 2 + z 2 + 2z = 0
1) Determinare i suoi punti singolari (propri o impropri) e in ciascuno di essi trovare il cono tangente;
2) Detta C la curva sezione di F col piano z + 1 = 0, determinare la proiezione di C sul piano z = 0
dal punto improprio Z∞ .
G62
È assegnato nel piano un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y .u.
Verificare che la cubica piana di equazione
(x − y)2 y + x2 = 0
è razionale e trovare le sue equazioni parametriche.
G63
È assegnato nello spazio un sist. di rif. cart.ort. O.~x, ~y , ~z.u.
Sono assegnate le rette r, s e la curva C:
x−1 =0
x =0
y−z =0
r:
; s:
; C:
z
=0
y =0
x2 − y = 0
Detto P ∈ C un punto generico, siano π1 il piano congiungente P con r e π2 il piano congiungente P
con s. Determinare la superficie luogo delle rette π1 ∩ π2 e determinarne i punti singolari.
G64
Nel piano proiettivo sono assegnati i punti A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , tre dei quali non sono mai allineati.
Verificare che esiste una sola cubica piana per la quale A1 ed A2 sono doppi e che passa per A3 , A4 , A5 .
Determinare l’equazione di questa cubica nel caso che A1 ≡ (1, 0, 1), A2 ≡ (0, 1, 1), A3 ≡ (−1, −1, 1),
A4 ≡ (1, 0, 0), A5 ≡ (0.1.0).
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